第1期 董小圆，等：传感器优化布置的距离系数-Fisher信息准则 .33· 法[s-6),模型缩减法[]、Fisher信息准则[)等。李东 生变化，因此定义与刚度和阻尼有关的结构损伤 升等列对上述方法进行了综述，并分析了不同方法 参数： 之间数学本质上的内在联系与差异。其中，基于 0=[020]T (2) Fisher信息矩阵的传感器优化布置策略在现今发展 假设能够获得全部N。个自由度上的结构响应： 较为成熟，通过最大化isher信息矩阵的某一范数 Z(t)=g(X(8),t) (3) 实现传感器位置的优化。Kammertio]将信息阵准则 式中：Z(t)∈R为测得响应，函数g(·)表示测量 应用于结构模态识别的传感器布置问题，提出了有 过程。由于损伤识别的目的是准确识别结构损伤 效独立法，通过最大化信息阵的行列式来逐步消除 参数的变化，取式(3)的变分形式： 对目标模态向量线性无关贡献最小的自由度。 δZ(t)=(xg)(VX)δ0 (4) Kammer等川还提出了三维方向的有效独立法，实 式中：7xg=ag/aX,当测量g,(·)仅与X,线性相关 现了对多维传感器的优化布置：Yi等)结合有效 时，函数g(·)即为对角变换矩阵G=diag(g1, 独立法和模态保证准则提出了一种新的多维传感 82,…,8w),从而7xg=G;7X为结构响应对损伤参 器优化布置准则，并引入狼群算法提高了计算效 数的雅可比矩阵。 率：Castro等)将有效独立法应用到木结构中，在 考虑噪声的影响，则有 考虑材料参数的不确定性的情况下实现了传感器 δZ(t)=(Vxg)(7X)δ0+e(t) (5) 位置的优化；为了准确测量结构的中频振动特性， 式中：误差向量ε(t)∈R包含了测量噪声和模型 Nimityongskul等[14对结构频响函数进行主成分分 误差，一般假定为方差为σ2的高斯白噪声，即 析得到主方向，以各主方向对应的频率响应作为估 e-N(0,σ21x)。 计目标，构造Fisher信息矩阵，实现了基于频率响应 传感器优化布置就是以包含尽量多的损伤信 的有效独立法：Friswell等s]证明了当布置较多数 息为条件，从结构模型的全部N,个自由度中选择 量的传感器时，采用有效独立法得到的传感器布置 N。个位置作为传感器测点，这N。个位置的时程响 方案会出现测点局部聚集现象，从而不能保证目标 应要对损伤的变化足够敏感。其选择过程表示为 模态的线性无关性；为了避免测点聚集产生的信息 Y(t=SZ(t) (6) 冗余问题，i等6采用K-均值聚类算法，根据动态 式中：Y(t)∈为Ro个传感器的测量输出，S∈RNoxNa 特性的相似程度对结构自由度进行归类，在每一类 为测量矩阵，是模型全部自由度到测量自由度的映 中分别确定传感器位置，得到空间分布较为合理的 射。用由0和1组成的N4维向量p作为传感器布 传感器布置方案。 置向量，若p的第j个元素为1，表示在第j个自由 在对损伤参数识别的传感器优化布置问题中， 度布置传感器，否则在该自由度不安装传感器，则有 最大化Fisher信息矩阵的行列式得到的传感器优化 p diag(ST,S) (7) 测点集中于损伤参数敏感区，可以有效判定是否发 对式(6)求差分后代入式(5)，可得 δY(t)=S(7xg)(VX)δ0+Se(t) (8) 生损伤，但空间距离较近的候选测点往往会提供重 复的信息，测点集中产生信息冗余，不利于损伤定 当测量函数g:(·)与X,成线性关系时，式(8)又可 位)。为此，以反映信息独立程度的距离系数对候 简化为 8Y(t)=SG(7aX)(7gX)δ0+Sε(t) (9) 选自由度的Fisher信息矩阵进行加权修正，以修正 后的有效Fisher信息阵行列式最大化为目标，采用 2 Fisher信息准则及Fisher信息矩阵 逐步累加的方法确定传感器测点。采用该方法对 的计算 一个16自由度剪切型弹簧质量模型进行传感器优 2.1 Fisher信息准则 化布置，并与传统Fisher信息准则下的传感器配置 假定可以获得结构损伤参数的无偏估计量，根 结果进行对比分析。 据Cramer--Rao不等式则有 传感器优化布置问题的数学模型 E[(80-80)(80-80)T]≥J(80)(10) 对于一个具有N个自由度的线性结构模型， 式中：δ0为80的估计：J(80)为Fisher信息矩阵，即 其运动微分方程可以表示为 J(δ0)= Σ(SG7x(t))(SΣ(t)S)-(SG7X(t)) MX+CX+KX=F() (11) X(0)=o,X(0)=Xo (1) 式中：Σ(t)为噪声ε(t)的协方差矩阵。当测得的数 式中：M,C,K∈Ra分别为质量矩阵、阻尼矩阵和 据就是结构的响应时，G=1,式(11)可简化为 刚度矩阵；。和X。为初始状态：X∈R是对应于结 J(δ0)= 构外部激励F(t)eR的位移响应。通常结构在发 Σ(SX(t))'(SΣ(t)Sr)(S7X(t)) 生损伤时，质量不会发生变化，而刚度和阻尼会发 (12)法［５－６］ ，模型缩减法［７］ 、Ｆｉｓｈｅｒ 信息准则［８］ 等。 李东 升等［９］对上述方法进行了综述，并分析了不同方法 之间数学本质上的内在联系与差异。 其中，基于 Ｆｉｓｈｅｒ 信息矩阵的传感器优化布置策略在现今发展 较为成熟，通过最大化 Ｆｉｓｈｅｒ 信息矩阵的某一范数 实现传感器位置的优化。 Ｋａｍｍｅｒ ［１０］ 将信息阵准则 应用于结构模态识别的传感器布置问题，提出了有 效独立法，通过最大化信息阵的行列式来逐步消除 对目标 模 态 向 量 线 性 无 关 贡 献 最 小 的 自 由 度。 Ｋａｍｍｅｒ等［１１］还提出了三维方向的有效独立法，实 现了对多维传感器的优化布置；Ｙｉ 等［１２］ 结合有效 独立法和模态保证准则提出了一种新的多维传感 器优化布置准则，并引入狼群算法提高了计算效 率；Ｃａｓｔｒｏ 等［１３］ 将有效独立法应用到木结构中，在 考虑材料参数的不确定性的情况下实现了传感器 位置的优化；为了准确测量结构的中频振动特性， Ｎｉｍｉｔｙｏｎｇｓｋｕｌ 等［１４］ 对结构频响函数进行主成分分 析得到主方向，以各主方向对应的频率响应作为估 计目标，构造 Ｆｉｓｈｅｒ 信息矩阵，实现了基于频率响应 的有效独立法；Ｆｒｉｓｗｅｌｌ 等［１５］ 证明了当布置较多数 量的传感器时，采用有效独立法得到的传感器布置 方案会出现测点局部聚集现象，从而不能保证目标 模态的线性无关性；为了避免测点聚集产生的信息 冗余问题，Ｌｉ 等［１６］采用 Ｋ⁃均值聚类算法，根据动态 特性的相似程度对结构自由度进行归类，在每一类 中分别确定传感器位置，得到空间分布较为合理的 传感器布置方案。 在对损伤参数识别的传感器优化布置问题中， 最大化 Ｆｉｓｈｅｒ 信息矩阵的行列式得到的传感器优化 测点集中于损伤参数敏感区，可以有效判定是否发 生损伤，但空间距离较近的候选测点往往会提供重 复的信息，测点集中产生信息冗余，不利于损伤定 位［１７］ 。 为此，以反映信息独立程度的距离系数对候 选自由度的 Ｆｉｓｈｅｒ 信息矩阵进行加权修正，以修正 后的有效 Ｆｉｓｈｅｒ 信息阵行列式最大化为目标，采用 逐步累加的方法确定传感器测点。 采用该方法对 一个 １６ 自由度剪切型弹簧质量模型进行传感器优 化布置，并与传统 Ｆｉｓｈｅｒ 信息准则下的传感器配置 结果进行对比分析。 １ 传感器优化布置问题的数学模型 对于一个具有 Ｎｄ 个自由度的线性结构模型， 其运动微分方程可以表示为 ＭＸ ·· ＋ ＣＸ · ＋ ＫＸ ＝ Ｆ（ｔ） Ｘ · （０） ＝ Ｘ · ０ ，Ｘ（０） ＝ Ｘ０ （１） 式中：Ｍ，Ｃ，Ｋ∈Ｒ Ｎｄ ×Ｎｄ分别为质量矩阵、阻尼矩阵和 刚度矩阵；Ｘ · ０ 和Ｘ０ 为初始状态；Ｘ∈Ｒ Ｎｄ是对应于结 构外部激励 Ｆ（ｔ）∈Ｒ Ｎｄ的位移响应。 通常结构在发 生损伤时，质量不会发生变化，而刚度和阻尼会发 生变化，因此定义与刚度和阻尼有关的结构损伤 参数： θ ＝ ［θ Ｔ Ｃ θ Ｔ Ｋ ］ Ｔ （２） 假设能够获得全部 Ｎｄ 个自由度上的结构响应： Ｚ（ｔ） ＝ ｇ（Ｘ（θ），ｔ） （３） 式中：Ｚ（ｔ）∈Ｒ Ｎｄ为测得响应，函数 ｇ（·）表示测量 过程。 由于损伤识别的目的是准确识别结构损伤 参数的变化，取式（３）的变分形式： δＺ（ｔ）＝ （∇Ｘｇ）（∇θＸ）δθ （４） 式中：∇Ｘｇ ＝ 􀆟ｇ ／ 􀆟Ｘ，当测量 ｇｉ（·）仅与 Ｘｉ 线性相关 时，函数 ｇ （ ·） 即为对角变换矩阵 Ｇ ＝ ｄｉａｇ （ ｇ１ ， ｇ２ ，…，ｇＮｄ ），从而∇Ｘｇ ＝Ｇ；∇θＸ 为结构响应对损伤参 数的雅可比矩阵。 考虑噪声的影响，则有 δＺ（ｔ）＝ （∇Ｘｇ）（∇θＸ）δθ＋ε（ｔ） （５） 式中：误差向量 ε（ ｔ）∈Ｒ Ｎｄ包含了测量噪声和模型 误差， 一般假定为方差 为 σ ２ 的 高 斯 白 噪 声， 即 ε～Ｎ（０，σ ２ ＩＮｄ ）。 传感器优化布置就是以包含尽量多的损伤信 息为条件，从结构模型的全部 Ｎｄ 个自由度中选择 Ｎ０ 个位置作为传感器测点，这 Ｎ０ 个位置的时程响 应要对损伤的变化足够敏感。 其选择过程表示为 Ｙ（ｔ） ＝ ＳＺ（ｔ） （６） 式中：Ｙ（ｔ）∈为 Ｒ Ｎ０个传感器的测量输出，Ｓ∈Ｒ Ｎ０ ×Ｎｄ 为测量矩阵，是模型全部自由度到测量自由度的映 射。 用由 ０ 和 １ 组成的 Ｎｄ 维向量 ｐ 作为传感器布 置向量，若 ｐ 的第 ｊ 个元素为 １，表示在第 ｊ 个自由 度布置传感器，否则在该自由度不安装传感器，则有 ｐ ＝ ｄｉａｇ（Ｓ Ｔ ，Ｓ） （７） 对式（６）求差分后代入式（５），可得 δＹ（ｔ）＝ Ｓ（∇Ｘｇ）（∇θＸ）δθ＋Ｓε（ｔ） （８） 当测量函数 ｇｉ（·）与 Ｘｉ 成线性关系时，式（８）又可 简化为 δＹ（ｔ）＝ ＳＧ（∇θＸ）（∇θＸ）δθ＋Ｓε（ｔ） （９） ２ Ｆｉｓｈｅｒ 信息准则及 Ｆｉｓｈｅｒ 信息矩阵 的计算 ２．１ Ｆｉｓｈｅｒ 信息准则 假定可以获得结构损伤参数的无偏估计量，根 据 Ｃｒａｍｅｒ⁃Ｒａｏ 不等式则有 Ｅ［（δθ＾ － δθ）（δθ＾ － δθ） Ｔ ］ ≥ Ｊ －１ （δθ） （１０） 式中：δθ＾ 为 δθ 的估计；Ｊ（δθ）为 Ｆｉｓｈｅｒ 信息矩阵，即 Ｊ（δθ）＝ ∑Ｎ ｔ ＝ １（ＳＧ∇θＸ（ｔ）） Ｔ （ＳΣ（ｔ）Ｓ Ｔ ） －１ （ＳＧ∇θＸ（ｔ）） （１１） 式中：Σ（ｔ）为噪声 ε（ｔ）的协方差矩阵。 当测得的数 据就是结构的响应时，Ｇ ＝ ＩＮｄ ，式（１１）可简化为 Ｊ（δθ）＝ ∑Ｎ ｔ ＝ １（Ｓ∇θＸ（ｔ）） Ｔ （ＳΣ（ｔ）Ｓ Ｔ ） －１ （Ｓ∇θＸ（ｔ）） （１２） 第 １ 期 董小圆，等：传感器优化布置的距离系数⁃Ｆｉｓｈｅｒ 信息准则 ·３３·