·34 智能系统学报 第12卷 达到Cramer-Rao下界的无偏估计量称为有效 估计量，即式(10)的不等式变为等式： 0=∑Σai0aa- E[(80-80)(80-80)]≥J-(80)(13)》 Σaoao (19) 由式(l3)可以看出，最大化Fisher信息矩阵将 使得估计误差的协方差矩阵最小化⑧劉。因此，传感 式中σ2是一个常数，不会影响传感器优化布置结 器优化布置的目标就是选择适当的S,使得Fisher 果，所以规定第k个自由度对应的Fisher信息矩阵 信息阵的某一种范数最大化，从而使结构损伤参数 为A=∑)a(),则 的估计误差尽可能小。 2.2 Fisher信息矩阵的计算 0-E4 (20) 从式(12)可以看出，Fisher信息矩阵计算的关 如果有两个自由度所对应的Fisher信息矩阵是 键在于求得雅可比矩阵VX(t),即结构响应对损伤 非常相似的，那么测量这两个自由度上的结构响应 参数的灵敏度a。一。根据模态分析方法[刀，结 与仅测量其中一个自由度得到的信息量是基本相 同的，即使这两个自由度对于结构损伤参数的估计 构响应为 都有很大的贡献。 X(8,t)=Φ(8)q(8,t) 采用欧氏距离来度量两个测点之间的信息阵 X(0,to)=Xo,X(0,to)=Xo (14) 的相似性。根据定义，n维向量x=(x1,x2,…, 式中：X。、X。为结构初始状态；④(0)为结构模态矩 x.)和y=(y2,…,yn)之间的欧氏距离为d(x,y)= 阵；9(0，t)为模态坐标，在比例阻尼的条件下， q(0,)满足如下解耦的模态坐标微分方程： (：，-)广，将该定义从一维向量扩展到二维矩 j=1 阵，则测点k和测点1所对应的信息矩阵之间的欧氏距 q(0,t)+C(0)q(0,1)+A(0)q(0,t)= 离为 Φ(0)F(t) (15) 式中：C(0)=diag(21ω1,22ω2，…，2vww)为模 ∑IA-AgP (21) 态阻尼矩阵；51,52，…，5v为阻尼比；(0)=dig N=1j= 式中信息矩阵的维数N。即为损伤参数0中元素的 (ω21，，…，0），ω1，w2,…,ωw为模态固有频率。 数目。为了方便引入权重系数，对欧氏距离做标准 式(14)两边对0求偏导，得到 化处理 aK(9.2=(0g(g.2+p(og ae ae 09(0,t) u 1A-A (16) D=- (22) 定义r(0.)-9g,在式(15)的两边对0 0≤Du≤1，Hk,L 求微分，整理可得 式中：d为一组候选测点中最大的欧氏距离。 若用s表示已经选择的传感器测点集合，定义 r(0,t)+C(0)(0,t)+A(0)r(0,t)= 待选测点k对应的Fisher信息矩阵的距离系数为 29(0,t)+aD0)F(t) 、CC9)g(a,)-a4C) R=min(De),Vs (23) 3e 利用R加权式(20)中的Fisher信息阵，得到 (17) 新的有效信息阵，即 假定初始条件r(0,)=0,r(0,t)=0,可求解 J(80)=∑RA (24) r(0,)。M(®和3DC分别为系统特征值和特征 以距离系数修正的有效Fisher信息矩阵范数最 a0 a0 大化为目标的传感器布置准则，称为传感器优化布 向量对参数的灵敏度，求解过程可参考文献[18]。 置的距离系数-Fisher信息准则。 3 距离系数-Fisher信息准则 4 距离系数-Fisher信息准则下的传 考虑结构全部自由度对应的Fisher信息矩阵： 感器优化布置算法 J(δ0)=∑(x(t)'((t))-(7X(t) 本文以常用的行列式作为待优化的范数形式， (18) 采用逐步累加的方法[2o]来实现距离系数-Fisher信 令a,(t)为雅可比矩阵VX(t)的第i行，由于(t) 息准则下的传感器优化布置，以得到同时满足损伤 为对角阵，可将Fisher信息矩阵表达为各个自由度 参数可识别和避免信息冗余的测点布置方案，从测 贡献之和的形式，即 量的N个自由度中选择N。个位置布设传感器，具达到 Ｃｒａｍｅｒ⁃Ｒａｏ 下界的无偏估计量称为有效 估计量，即式（１０）的不等式变为等式： Ｅ［（δθ＾ － δθ）（δθ＾ － δθ） Ｔ ］ ≥ Ｊ －１ （δθ） （１３） 由式（１３）可以看出，最大化 Ｆｉｓｈｅｒ 信息矩阵将 使得估计误差的协方差矩阵最小化［８］ 。 因此，传感 器优化布置的目标就是选择适当的 Ｓ，使得 Ｆｉｓｈｅｒ 信息阵的某一种范数最大化，从而使结构损伤参数 的估计误差尽可能小。 ２．２ Ｆｉｓｈｅｒ 信息矩阵的计算 从式（１２）可以看出，Ｆｉｓｈｅｒ 信息矩阵计算的关 键在于求得雅可比矩阵∇θＸ（ｔ），即结构响应对损伤 参数的灵敏度 􀆟Ｘ（θ，ｔ） 􀆟θ 。 根据模态分析方法［１７］ ，结 构响应为 Ｘ（θ，ｔ） ＝ Φ（θ）ｑ（θ，ｔ） Ｘ（θ，ｔ ０ ） ＝ Ｘ０ ，Ｘ · （θ，ｔ ０ ） ＝ Ｘ · ０ （１４） 式中：Ｘ０ 、Ｘ · ０ 为结构初始状态；Φ（θ）为结构模态矩 阵；ｑ （ θ， ｔ） 为模态坐标， 在比例阻尼的条件下， ｑ（θ，ｔ）满足如下解耦的模态坐标微分方程： ｑ ·· （θ，ｔ） ＋ Ｃ ∗ （θ）ｑ · （θ，ｔ） ＋ Λ（θ）ｑ（θ，ｔ） ＝ Φ（θ） ＴＦ（ｔ） （１５） 式中：Ｃ ∗ （θ） ＝ ｄｉａｇ（２ξ１ω１ ，２ξ２ω２ ，…，２ξＮｄ ωＮｄ ）为模 态阻尼矩阵； ξ１ ， ξ２ ，…， ξＮｄ 为阻尼比；Λ （ θ） ＝ ｄｉａｇ （ω２ １ ，ω ２ ２ ，…，ω ２ Ｎｄ ），ω１ ，ω２ ，…，ωＮｄ为模态固有频率。 式（１４）两边对 θ 求偏导，得到 􀆟Ｘ（θ，ｔ） 􀆟θ ＝ Φ（θ） 􀆟ｑ（θ，ｔ） 􀆟θ ＋ 􀆟Φ（θ） 􀆟θ ｑ（θ，ｔ） （１６） 定义 ｒ（ θ，ｔ） ＝ 􀆟ｑ（θ，ｔ） 􀆟θ ，在式（１５） 的两边对 θ 求微分，整理可得 ｒ ·· （θ，ｔ） ＋ Ｃ ∗ （θ）ｒ · （θ，ｔ） ＋ Λ（θ）ｒ（θ，ｔ） ＝ － 􀆟Ｃ ∗ （θ） 􀆟θ ｑ · （θ，ｔ） － 􀆟Λ（θ） 􀆟θ ｑ（θ，ｔ） ＋ 􀆟Φ Ｔ （θ） 􀆟θ Ｆ（ｔ） （１７） 假定初始条件 ｒ（θ，ｔ ０ ）＝ ０，ｒ · （θ，ｔ ０ ）＝ ０，可求解 ｒ（θ，ｔ）。 􀆟Λ（θ） 􀆟θ 和 􀆟Φ（θ） 􀆟θ 分别为系统特征值和特征 向量对参数的灵敏度，求解过程可参考文献［１８］。 ３ 距离系数⁃Ｆｉｓｈｅｒ 信息准则 考虑结构全部自由度对应的 Ｆｉｓｈｅｒ 信息矩阵： Ｊ（δθ）＝ ∑Ｎ ｔ ＝ １（∇θＸ（ｔ）） Ｔ （Σ（ｔ）） －１ （∇θＸ（ｔ）） （１８） 令 ａｉ（ｔ）为雅可比矩阵∇θＸ（ ｔ）的第 ｉ 行，由于 Σ（ ｔ） 为对角阵，可将 Ｆｉｓｈｅｒ 信息矩阵表达为各个自由度 贡献之和的形式，即 Ｊ（δθ） ＝ ∑ Ｎ ｔ ＝ １ １ σ ２∑ Ｎｄ ｉ ＝ １ ａ Ｔ ｉ （ｔ）ａｉ（ｔ） ＝ １ σ ２∑ Ｎｄ ｉ ＝ １∑ Ｎ ｔ ＝ １ ａ Ｔ ｉ （ｔ）ａｉ（ｔ） （１９） 式中 σ ２ 是一个常数，不会影响传感器优化布置结 果，所以规定第 ｋ 个自由度对应的 Ｆｉｓｈｅｒ 信息矩阵 为 Ａ ｋ ＝ ∑ Ｎ ｔ ＝ １ ａ Ｔ ｋ（ｔ）ａｋ（ｔ），则 Ｊ（δθ） ＝ １ σ ２∑ Ｎｄ ｔ ＝ １ Ａ ｋ （２０） 如果有两个自由度所对应的 Ｆｉｓｈｅｒ 信息矩阵是 非常相似的，那么测量这两个自由度上的结构响应 与仅测量其中一个自由度得到的信息量是基本相 同的，即使这两个自由度对于结构损伤参数的估计 都有很大的贡献。 采用欧氏距离来度量两个测点之间的信息阵 的相似性［１９］ 。 根据定义，ｎ 维向量 ｘ ＝ （ ｘ１ ，ｘ２ ，…， ｘｎ ）和 ｙ＝（ｙ１，ｙ２，…，ｙｎ ）之间的欧氏距离为 ｄ（ｘ，ｙ） ＝ ∑ ｎ ｊ ＝ １ （ｘｊ － ｙｊ） ２ ， 将该定义从一维向量扩展到二维矩 阵，则测点 ｋ 和测点 ｌ 所对应的信息矩阵之间的欧氏距 离为 ｄｋｌ ＝ ∑ Ｎθ ｉ ＝ １ ∑ Ｎθ ｊ ＝ １ Ａ ｋ ｉｊ － Ａ ｌ ｉｊ ２ （２１） 式中信息矩阵的维数 Ｎθ 即为损伤参数 θ 中元素的 数目。 为了方便引入权重系数，对欧氏距离做标准 化处理 Ｄｋｌ ＝ ｄｋｌ ｄｍａｘ ＝ ∑ Ｎθ ｉ ＝ １ ∑ Ｎθ ｊ ＝ １ Ａ ｋ ｉｊ － Ａ ｌ ｉｊ ２ ｄｍａｘ ０ ≤ Ｄｋｌ ≤ １，∀ｋ，ｌ （２２） 式中：ｄｍａｘ为一组候选测点中最大的欧氏距离。 若用 ｓ 表示已经选择的传感器测点集合，定义 待选测点 ｋ 对应的 Ｆｉｓｈｅｒ 信息矩阵的距离系数为 Ｒｋ ＝ ｍｉｎ（Ｄｋｓ），∀ｓ （２３） 利用 Ｒｋ 加权式（２０） 中的 Ｆｉｓｈｅｒ 信息阵，得到 新的有效信息阵，即 Ｊ′（δθ） ＝ ∑ Ｎｄ ｋ ＝ １ ＲｋＡ ｋ （２４） 以距离系数修正的有效 Ｆｉｓｈｅｒ 信息矩阵范数最 大化为目标的传感器布置准则，称为传感器优化布 置的距离系数⁃Ｆｉｓｈｅｒ 信息准则。 ４ 距离系数⁃Ｆｉｓｈｅｒ 信息准则下的传 感器优化布置算法 本文以常用的行列式作为待优化的范数形式， 采用逐步累加的方法［２０］ 来实现距离系数⁃Ｆｉｓｈｅｒ 信 息准则下的传感器优化布置，以得到同时满足损伤 参数可识别和避免信息冗余的测点布置方案，从测 量的 Ｎｄ 个自由度中选择 Ｎ０ 个位置布设传感器，具 ·３４· 智 能 系 统 学 报 第 １２ 卷