第1期 董小圆，等：传感器优化布置的距离系数-Fisher信息准则 ·35· 体步骤如下。 k~k2=600N/m,k13~k6=500N/m;采用比例阻 I)分别计算每个候选自由度对应的Fisher信息 尼，各阶模态阻尼比均为0.02。图2所示为模型前 矩阵的行列式，记录行列式值最大的候选自由度， 4阶振型。 作为第一个测点位置。 16 16 16 16 2)假设已经确定了m个测点位置，且m<N。,此 14 14 14 14 时还剩余N。-m个候选自由度。 ①根据式(21)分别计算第m个测点与剩余 12 12 12 12 N,-m个候选自由度的信息阵之间的欧氏距离d, 10 中 10 10 10 下标k表示第k个候选自由度，记录N-m个距离 8 8 8 中的最大值d,并由式(22)得到标准化的欧氏 6 6 6 6 距离D。 4 4 4 4 ②当m=1时，只有一个已选测点，所以R= D1;当m>1时，为保证式(23)成立，比较R和Dm, 2 2 e" 若Dm<R,则更新R=Dm,否则R不变。 0 0.204 0300590st0505005 ③将第k个候选自由度增加到已选测点集合 (a)1阶 (b)2阶 (c)3阶 (d)4阶 中，计算该m+1个测点所对应的有效信息阵的行列 图2模型前四阶振型 式，计算公式为 Fig.2 First 4 mode shapes of the spring-mass model 在试验之前，结构所受激励是未知的。由于可 TT1=det(∑R,A+RA) (25) 以利用自由振动响应重构结构的参数信息，因此通 i=1 遍历N,-m个候选自由度，记录使T'最大的 过在初始条件x16=0,元6=1下的自由振动响应来计 候选自由度作为第m+1个测点。 算Fisher信息矩阵。随着自由振动的衰减，Fisher 3)重复2)，确定剩余传感器布置位置，直至确 信息逐渐趋于稳定值，计算时间的选取应以isher 定全部N。个测点位置，得到基于距离系数-Fisher 信息的收敛为准则，根据图3中所示刚度变化量 信息准则的传感器优化布置方案。 δK,的Fisher信息随时间的变化，选取计算时间 180s,采样间隔0.02s,数值计算采用逐步积分法 5数值算例 Newmark-B法。仿真运算软件使用MATLAB 以图1所示的16自由度剪切型弹簧-质量模型为 R2009%,在华硕A56C(CPU:intel Core i5-3317U, 研究对象，将每个弹簧刚度的变化作为待识别参数。 1.7GHz,内存4GB)上运行。 以位移传感器为例，分别运用传统Fisher信息准则和 ×10 距离系数-Fisher信息准则进行传感器优化布置。 10 0.8 m =x() Aw 頭0.6 c -x(1) 04 0.2 04 20406080100120140160180 WMwJ 图38K,的Fisher信息 Fig.3 Fisher information of 6K +x(t0 W 5.2灵敏度分析 求得结构响应对损伤参数的灵敏度矩阵 m +x() W- 7,X(t)是计算Fisher信息矩阵的关键，可通过2.2 k 节介绍的方法实现。在实际工程中，结构自由度数 7777777777777777777 目巨大，为了提高计算效率，可选取振型灵敏度系 图116自由度剪切型弹簧一质量模型 数大的部分模态进行求解。 Fig.1 16 DOFs shear type spring-mass model 图4(a)为自由度4、12、16上的位移响应对损 5.1 模型简介 伤参数δK,的灵敏度，可以看出，越靠近悬臂顶端的 模型结构参数：m1~m4=5kg,ms~mg=4kg, 自由度，其位移响应对δK,越敏感，这一结论对其余 损伤参数依然成立。图4(b)显示了第16自由度上 mg~m12=3kg,m13~m16=2kg;k~kg=700N/m, 的位移响应对8K、δK、δK,的灵敏度，可见，损伤体步骤如下。 １）分别计算每个候选自由度对应的 Ｆｉｓｈｅｒ 信息 矩阵的行列式，记录行列式值最大的候选自由度， 作为第一个测点位置。 ２）假设已经确定了 ｍ 个测点位置，且 ｍ＜Ｎ０ ，此 时还剩余 Ｎｄ －ｍ 个候选自由度。 ①根据式（ ２１） 分别计算第 ｍ 个测点与剩余 Ｎｄ －ｍ 个候选自由度的信息阵之间的欧氏距离 ｄｋｎ ， 下标 ｋ 表示第 ｋ 个候选自由度，记录 Ｎｄ －ｍ 个距离 中的最大值 ｄｍａｘ，并由式（ ２２） 得到标准化的欧氏 距离 Ｄｋｍ 。 ②当 ｍ ＝ １ 时，只有一个已选测点，所以 Ｒｋ ＝ Ｄｋ１ ；当 ｍ＞１ 时，为保证式（２３）成立，比较 Ｒｋ 和 Ｄｋｍ ， 若 Ｄｋｍ ＜Ｒｋ，则更新 Ｒｋ ＝Ｄｋｍ ，否则 Ｒｋ 不变。 ③将第 ｋ 个候选自由度增加到已选测点集合 中，计算该 ｍ＋１ 个测点所对应的有效信息阵的行列 式，计算公式为 Ｔ ｍ＋１ ｋ ＝ ｄｅｔ（∑ ｍ ｉ ＝ １ ＲｉＡ ｉ ＋ ＲｋＡ ｋ ） （２５） 遍历 Ｎｄ －ｍ 个候选自由度，记录使 Ｔ ｍ＋１ ｋ 最大的 候选自由度作为第 ｍ＋１ 个测点。 ３）重复 ２），确定剩余传感器布置位置，直至确 定全部 Ｎ０ 个测点位置，得到基于距离系数⁃Ｆｉｓｈｅｒ 信息准则的传感器优化布置方案。 ５ 数值算例 以图 １ 所示的 １６ 自由度剪切型弹簧－质量模型为 研究对象，将每个弹簧刚度的变化作为待识别参数。 以位移传感器为例，分别运用传统 Ｆｉｓｈｅｒ 信息准则和 距离系数⁃Ｆｉｓｈｅｒ 信息准则进行传感器优化布置。 图 １ １６ 自由度剪切型弹簧—质量模型 Ｆｉｇ．１ １６ ＤＯＦｓ ｓｈｅａｒ ｔｙｐｅ ｓｐｒｉｎｇ⁃ｍａｓｓ ｍｏｄｅｌ ５．１ 模型简介 模型结构参数：ｍ１ ～ ｍ４ ＝ ５ ｋｇ，ｍ５ ～ ｍ８ ＝ ４ ｋｇ， ｍ９ ～ ｍ１２ ＝ ３ ｋｇ，ｍ１３ ～ ｍ１６ ＝ ２ ｋｇ；ｋ５ ～ ｋ８ ＝ ７００ Ｎ／ ｍ， ｋ９ ～ ｋ１２ ＝ ６００ Ｎ／ ｍ，ｋ１３ ～ ｋ１６ ＝ ５００ Ｎ／ ｍ；采用比例阻 尼，各阶模态阻尼比均为 ０．０２。 图 ２ 所示为模型前 ４ 阶振型。 图 ２ 模型前四阶振型 Ｆｉｇ．２ Ｆｉｒｓｔ ４ ｍｏｄｅ ｓｈａｐｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｐｒｉｎｇ⁃ｍａｓｓ ｍｏｄｅｌ 在试验之前，结构所受激励是未知的。 由于可 以利用自由振动响应重构结构的参数信息，因此通 过在初始条件 ｘ１６ ＝ ０，ｘ · １６ ＝ １ 下的自由振动响应来计 算 Ｆｉｓｈｅｒ 信息矩阵。 随着自由振动的衰减，Ｆｉｓｈｅｒ 信息逐渐趋于稳定值，计算时间的选取应以 Ｆｉｓｈｅｒ 信息的收敛为准则，根据图 ３ 中所示刚度变化量 δＫ１ 的 Ｆｉｓｈｅｒ 信息随时间的变化，选取计算时间 １８０ ｓ，采样间隔 ０．０２ ｓ，数值计算采用逐步积分法 Ｎｅｗｍａｒｋ⁃β 法。 仿 真 运 算 软 件 使 用 ＭＡＴＬＡＢ Ｒ２００９ｂ，在华硕 Ａ５６Ｃ （ ＣＰＵ： Ｉｎｔｅｌ Ｃｏｒｅ ｉ５⁃３３１７Ｕ， １．７ ＧＨｚ，内存 ４ ＧＢ）上运行。 图 ３ δＫ１ 的 Ｆｉｓｈｅｒ 信息 Ｆｉｇ．３ Ｆｉｓｈｅｒ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｏｆ δＫ１ ５．２ 灵敏度分析 求得 结 构 响 应 对 损 伤 参 数 的 灵 敏 度 矩 阵 ∇θＸ（ｔ）是计算 Ｆｉｓｈｅｒ 信息矩阵的关键，可通过 ２．２ 节介绍的方法实现。 在实际工程中，结构自由度数 目巨大，为了提高计算效率，可选取振型灵敏度系 数大的部分模态进行求解。 图 ４（ａ）为自由度 ４、１２、１６ 上的位移响应对损 伤参数 δＫ１ 的灵敏度，可以看出，越靠近悬臂顶端的 自由度，其位移响应对 δＫ１ 越敏感，这一结论对其余 损伤参数依然成立。 图 ４（ｂ）显示了第 １６ 自由度上 的位移响应对 δＫ１ 、δＫ６ 、δＫ１１的灵敏度，可见，损伤 第 １ 期 董小圆，等：传感器优化布置的距离系数⁃Ｆｉｓｈｅｒ 信息准则 ·３５·