因此,d1是X上的一度量 【例2】欧几里得( Euclidean)空间R”.这个空间是由 所有n个实数的有序组x=(1,…,5),y=(,…)等 组成的集合,并按 d(x, y) 5;-m;) (2) 定义欧几里得度量,则R"是度量空间 证明(M1)及(M3)显然成立.若,d(x,y)=0 那么,对于每个j有 0≤|,-n; (5;-n;) 0 所以,与;=η;(j=1,2,…,n),即,x=y,反过来,易 见当x=y时,d(x,y)=0.(M2)得证 在证明(M4)之前,先证柯西( Cauchy)不等式, (a)<(E,)( 这里ak,bk(k=1,2,…,n)均为实数.任取实数λ,有, ≤∑(ak+1bk)2=∑q+2λ∑akbk+12∑b 右端是λ的二次三项式,它对于λ的一切值都是非负的,故其 判别式不会大于零,即, ∑akbk)≤ k=1 成立.利用柯西不等式,得