《概率论》补充习题第五章 13.设X1,X2,…,Xn是独立同分布的随机变量,已知E(X)=ak(k=1,2,3,4,证明 当n充分大时随机变量Zn=1∑=1X2近似服从正态分布,并指出其分布参数 14.设X~N(,∑)给出Y=Ax+a服从的分布 15.设n维随机向量X~N(p,∑)正定求Y=∑=1X服从的分布 16.设X1,X2,…,Xn独立同分布都服从N(p,a2)分布, (1)求Sn=X1+X2+…+Xn的分布 (2)求Sn/m的分布, (3)求Y=a1X1+a2X2+….+anXn的分布 17.设X,Y独立X~(41,02,Y~(2,02).求Z=a+bX+cY的分布 18.设X~N(,2),证明Y=(X-p)/~N(0,1) 19.设{Xk}独立同分布有共同的数学期望μ,证明Sn=∑k=1Xk的依概率增长速度 是n,即对任何c>0,有 imP(n(-e)≤Sn≤n(+))=1 20.设{Xn}独立同分布有共同的数学期望μ和方差a2证明 21.设Xn服从参数λn(>0)的 Poisson分布 P(Xn=k)=AneAn/kl, k=0,1 当λn=nλ,证明: (0 22设某一个年龄段的男性身高Y服从正态分布N(y,03),在已知Y=y的条件下,体 重X服从正态分布N(ay+b,03),其中a(>0),b是常数 (a)求(Y,X)的联合密度 (b)求体重X的密度 23.设Xn独立同分布,有共同的概率密度 6x(1-x),0<x<1, f(x)= 其他 计算概率1意义下的极限limn→n-1∑h=1Xk 24.设(Xx,Y)~N(1,p2;02,02,p).求(X+Y)和(X-Y)独立的充分必要条件5V«ÿ6÷øSK1 Ÿ 13. X1, X2, ..., Xn¥’·”©ŸëÅC˛,ÆE(Xk ) = αk(k = 1, 2, 3, 4), y² nø©åû,ëÅC˛Zn = 1 n Pn i=1 X2 i Cq—l©Ÿ,øç—Ÿ©ŸÎÍ. 14. X ∼ N(µ, Σ),â—Y = AX + α—l©Ÿ. 15. nëëÅï˛X ∼ N(µ, Σ),Σ½,¶Y = Pn j=1 Xj—l©Ÿ. 16. X1, X2, ..., Xn’·”©Ÿ,——lN(µ, σ2 )©Ÿ, (1)¶Sn = X1 + X2 + ... + Xn©Ÿ, (2)¶Sn/n©Ÿ, (3)¶Y = a1X1 + a2X2 + ... + anXn©Ÿ. 17. X, Y ’·,X ∼ (µ1, σ2 1 ), Y ∼ (µ2, σ2 2 ). ¶Z = a + bX + cY ©Ÿ. 18. X ∼ N(µ, σ2 ),y²Y = (X − µ)/σ ∼ N(0, 1). 19. {Xk}’·”©Ÿ,k
”ÍÆœ"µ,y²Sn = Pn k=1 Xk ùV«OÑ› ¥n,=È?¤ε > 0,k limn→∞ P(n(µ − ε) ≤ Sn ≤ n(µ + ε)) = 1. 20. {Xn}’·”©Ÿ,k
”ÍÆœ"µ⁄êσ 2 .y² n 1/3 (Xn − µ) P −→ 0. 21. Xn—lÎÍλn(> 0)Poisson©Ÿ: P(Xn = k) = λ k n e −λn /k!, k = 0, 1, ... λn = nλ,y²: Xn − nλ √ nλ d −→ N(0, 1). 22. ,òác#„I5pY —l©ŸN(µY , σ2 Y ),3ÆY = y^áe,N ­X—l©ŸN(ay + b, σ2 X),Ÿ•a(> 0), b¥~Í. (a)¶(Y, X)È‹ó›, (b)¶N­Xó›. 23. Xn’·”©Ÿ,k
”V«ó› f(x) =    6x(1 − x), 0 < x < 1, 0, Ÿ¶. OéV«1ø¬e4Ålimn→∞ n −1 Pn k=1 Xk. 24. (X, Y ) ∼ N(µ1, µ2; σ 2 1 , σ2 2 , ρ). ¶(X + Y )⁄(X − Y )’·ø©7á^á. 3