银川能源学院《高签数学》救案 第五童定积分 第二节定积分的基本性质 由定积分的定义及极限的运算法则，可以推出定积分有以下性质。为了叙 述方便，假设下列各性质中所列出的定积分都是存在的。 性质1函数的和（差）的定积分等于它们的定积分的和（差）即 x)±gx)k=心fx±心gxd. 正明*sk=把2s -2A±2 =心fxk±gxh 推论有限个函数的代数和的定积分等于各函数定积分的代数和，即 Lf()±i)士士fx=fx士∫(x)士士心f.x 性质2被积函数的常数因子可以提到积分号外面即 jx=kfx达. 这是因为机h=立=三rE4=7e 性质3如果将积分区间分成两部分则在整个区间上的定积分等于这两部 分区间上定积分之和即 fx=Cfx+心fx. 这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性 值得注意的是不论a,b,c的相对位置如何总有等式 心x=fx+心fx达 成立.例如，当a<b<c时，由于 [f(xdx=fdx+f(ds 于是有 f(xdx-f(xd-f(xxf(dx+f(d 这一性质可以用于求分段函数的定积分。 1+x,x<0 例1：己知fx)= 0求fe。 解：由于被积函数为连续的分段函数，所以定积分应分段积分，根据性质 3可得 ∫fx)k=0+xk+-) 第7页银川能源学院《高等数学》教案 第五章 定积分 第 7 页 第二节 定积分的基本性质 由定积分的定义及极限的运算法则，可以推出定积分有以下性质。为了叙 述方便，假设下列各性质中所列出的定积分都是存在的。 性质 1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差) 即       b a b a b a [f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx 证明:   b a [f (x) g(x)]dx       n i i i i f g x 1 0 lim [ ( ) ( )]            n i i i n i i i f x g x 1 0 1 0 lim ( ) lim ( )       b a b a f (x)dx g(x)dx  推论 有限个函数的代数和的定积分等于各函数定积分的代数和，即 1 2 1 2 [ ( ) ( ) ... ( )] ( ) ( ) ... ( ) b b b b n n a a a a f x f x f x dx f x dx f x dx f x dx            性质 2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面 即    b a b a kf(x)dx k f (x)dx  这是因为       n i i i b a kf x dx kf x 1 0 ( ) lim ( )         b a n i k lim f ( i ) xi k f (x)dx 1 0    性质如果将积分区间分成两部分则在整个区间上的定积分等于这两部 分区间上定积分之和 即      b c c a b a f (x)dx f (x)dx f (x)dx  这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性 值得注意的是不论 a b c 的相对位置如何总有等式      b c c a b a f (x)dx f (x)dx f (x)dx 成立 例如 当 a<b<c 时 由于      c b b a c a f (x)dx f (x)dx f (x)dx  于是有      c b c a b a f (x)dx f (x)dx f (x)dx     b c c a f (x)dx f (x)dx  这一性质可以用于求分段函数的定积分。 例 1：已知 1 , 0 ( ) 1 , 0 2 x x f x x x           ，求 2 1 f x dx ( )  。 解：由于被积函数为连续的分段函数，所以定积分应分段积分，根据性质 3 可得 2 0 2 1 1 0 ( ) (1 ) (1 ) 2 x f x dx x dx dx         