第六章不定积分 上的不定积分记作∫(x)d女或写成 f(x)dhx=F(x)+c(c∈R) (二)不定积分的性质 性质一:求不定积分是求导数微分的逆运算:即 (1)若f(x)有原函数, g /(x)dx)=f(x), ds(r)dx)=/(x)dx (2)若Wx∈l,F(x)可导,且导函数F(x)连续,则 「F(x)dk=F(x)+c,∫dF(x)=F(x)+ 定理:(不定积分运算的线性性)若f(x),g(x)有原函数,则 (1)[()+g(x)=(x)+∫8x)hk (2)若a≠0,则 af(x)dx=a/(x)d 例1:在区间(0,+∞),hx是一的原函数,∫-dtx=hx+c 在区间(-∞,0),h(-x)是一的原函数,∫dx=ln(-x)+c snx,x≥0 例2:设∫(x) 求∫(x)在区间(-∞+∞)上的不定 ,x<0 积分 解:在区间[0,+∞)上,cosx+c1是cosx的所有原函数 在区间(-∞,0)上,x2+c2是x的所有原函数.由于任 的数在区间内可导,当然连续,由此条件可知,只有当:1+C1=C2时, oS x+c F(x)+C1=1 x2+1 0 在区间(-∞,+∞)才连续可微,且处处有F(x)=f(x) 因此在区间(-∞,+∞)F(x)是f(x)的一个原函数且 Dax =f(x)+c 第六章不定积分第六章 不定积分 第六章 不定积分 上的不定积分.记作  f (x)dx 或写成：  f (x)dx = F(x) + c (c  R) (二) 不定积分的性质 性质一: 求不定积分是求导数微分的逆运算：即 (1) 若 f (x) 有原函数, 则 ( f (x)dx) = f (x)  ,  d( f (x)dx) = f (x)dx . （2）若 x I , F(x) 可导, 且导函数 F(x) 连续, 则  F(x)dx = F(x) + c , d F x = F x + c  ( ) ( ) 定理: (不定积分运算的线性性) 若 f (x), g(x) 有原函数,则 （1）    [ f (x) + g(x)]dx = f (x)dx + g(x)dx (2）若   0 ，则    f (x)dx =  f (x)dx 例 1: 在区间 (0,+) , ln x 是 x 1 的原函数, dx x c x  = ln + 1 ; 在区间 (−,0) , ln( −x) 是 x 1 的原函数, dx x c x  = ln( − ) + 1 ; 例2:设     −  = , 0 sin , 0 ( ) x x x x f x ,求 f (x) 在区间 (−,+) 上的不定 积分. 解: 在区间 [0,+) 上, 1 cos x + c 是 cos x 的所有原函数; 在区间 (−,0) 上, 2 2 2 1 x + c 是 x 的所有原函数.由于任一原 函数在区间内可导，当然连续, 由此条件可知，只有当: 1 1 2 + c = c 时，      + +  +  + = 1 , 0 2 1 cos , 0 ( ) 1 2 1 1 x c x x c x F x c 在区间 (−,+) 才连续可微, 且处处有 F(x) = f (x). 因此在区间 (−,+) F(x) 是 f (x) 的一个原函数.且  f (x)dx = F(x) + c