第六章不定积分 在区间(-∞,0),h(-x)是一的一个原函数 在区间(-∞,+∞),Sm2x,是2 Sinx cosx的一个原函数 Cos2x也是2 Sinx cosx的一个原函数等等 因arcg ,可知 areg是,2在(0,+∞)上的原函数,也是,2在 1+x (-∞,0)上的原函数 注:一个函数在某区间I上是否存在原函数,这有侍下一章研究, 但有一个重要结论:在一区间上连续的函数一定有原函数。 (二)原函数的性质 性质一:F(x),G(x)都是f(x)在区间/上的原函数,则存在常数c, 使得G(x)=F(x)+c.或者说,同一函数的两个原函之间只差一个常 证明:F(x),G(x)是f(x)在区间/上的两个原函数 vx∈l,G(x)-F(x)≡0 x∈l,(G(x)-F(x)=0 →彐C,Vx∈l,G(x)=F(x)+C 性质二:若F(x)都是f(x)在区间I上的一个原函数,则 函数集合三=F(x)+C|C∈R是的所有原函数。 证明:首先,VC∈ (F(x)+C)=F(x)=f(x) →VC∈R,F(x)+C∈三 再者,Vx∈l,G'(x)=f(x) 彐C∈R,G(x)=F(x)+Cf(x) 重要结论:若f(x)在区间I上存在原函数F(x),则f(x)在区间 上的所有原函数都可以写成F(x)+c的形式 6-1-2不定积分概念及性质 ()不定积分定义:如果∫(x)在区间上存在原函数,则所有原函 数的集合三={F(x)+C|C∈R,称为f(x)在区间1 第六章不定积分第六章 不定积分 第六章 不定积分 在区间 (−,0) , ln( −x) 是 x 1 的一个原函数. 在区间 (−,+) , Sin x 2 ,是 2 SinxCosx 的一个原函数; Cos x 2 − 也是 2 SinxCosx 的一个原函数等等. 因 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 x x x x arctg +  =      −       + =        , 可知： x arctg 1 是 2 1 1 + x 在 (0,+) 上的原函数, 也是 2 1 1 + x 在 (−,0) 上的原函数 注：一个函数在某区间 I 上是否存在原函数，这有侍下一章研究， 但有一个重要结论：在一区间上连续的函数一定有原函数。 (二) 原函数的性质 性质一： F(x),G(x) 都是 f (x) 在区间 I 上的原函数,则存在常数 c , 使得 G(x) = F(x) + c .或者说，同一函数的两个原函之间只差一个常 数。 证明： F(x),G(x) 是 f (x) 在区间 I 上的两个原函数  x  I, G(x) − F(x)  0  , ( ( ) ( ))  0  x  I G x − F x  C, x  I, G(x) = F(x) + C . 性质二：若 F(x) 都是 f (x) 在区间 I 上的一个原函数, 则 函数集合  = F(x) +C C R 是的所有原函数。 证明： 首先, C  R , (F(x) C) = F(x) = f (x)  +  C  R, F(x) + C  ; 再者， x  I, G(x) = f (x)  C R, G(x) = F(x) + C f (x)  G(x)  . 重要结论： 若 f (x) 在区间 I 上存在原函数 F(x) ,则 f (x) 在区间 I 上的所有原函数都可以写成 F(x) + c 的形式. 6-1-2 不定积分概念及性质 (一)不定积分定义: 如果 f (x) 在区间 I 上存在原函数,则所有原函 数的集合  = F(x) +C C R, 称为 f (x) 在区间 I