第4期 张倩倩，等：基于关联嫡系数的粗糙Vague集相似性度量方法 ·653· 与Fuzzy集、粗糙模糊集的关联嫡系数类似， 在定义9中粗糙Vague集RVd、RVg的关联嫡系 rEXO 数的定义中，pRTA:RVg)是对两个粗糙Vague集 -∑(，xnx)+f,h RV,RVB上近似相似程度的度量，pRV,:RV)是 (.c)n.)+f.n®）= 对两个粗糙Vague集RVa、RVg下近似相似性度 量。为了有效度量两个粗糙Vague集间的相似 E(RVA:RVa) 性，关联熵系数pRV:RV)同时考虑了上、下近 其他3种情况证明类似。 似相似性程度，具有一定的合理性。 同理可以证明ERV:RVo)=ERV;RV),所以 性质8p(RVAURVR;RVORV)=p(RVA;RVB)o E(RVAURVE:RVAORVa)=E(RVA:RVa) 证明方法同性质5的证明类似，这里不再赘述。 定义9粗糙Vague集RV4、RVg的关联熵系 粗糙Vague集是针对现实世界中所研究对象 数定义为 兼具模糊性和不可分辨性特点的新的理论方法， P(RVA:RV8)=p(RV:RV)AP(RVA:RVg) 研究粗糙Vague集的关联嫡和关联熵系数可为粗 (E(RV)+E(RVg))nIn2 糙Vague集相似性度量提供一种新思路。 式中：pRV:RVa)= E(RV:RV) P(RVA: RVa)= (ERVA)+ER亚s)nln2 4实例分析与比较 E(RVA:RV) 为了进一步利用关联熵系数来度量粗糙Vague 例1给定一个知识库K=(U,R),其中论域 集的相似性，下面我们先给出粗糙Vague集相似 U={x1,2,…,x8,R是U上一个不分明关系，UR= 度的定义。 {E,E2,E3,E4},其中：E={x1,x4,x8},E2={x2,x5 定义10设论域U是一个非空集合，R是 x},E={x3},E={x6},假定U上两个Vague集分 U上的一个等价关系，A、B是U上两个Vague 别为： A={[0.7,0.8]/x1,[0.8,0.9]/x2,[0.3,0.4]/x,[0.1, 集，由R和A、B构成的粗糙Vague集分别为 0.2]/x4,[0.5,0.6]/x,[0.4,0.5]/x6,[0.3,0.5]/x,[0.5, RVA和RV,其中RVA=(RV,RVA,RVB=(RV,RVs), 0.7/x8 如果MRVa,RVg)满足性质： B={[0.7,0.9]x1,[0.6,0.7]k2,[0.5,0.6]/x3,[0.2 1)0≤MRVa.RVa)≤1： 0.3]/x4,[0.4,0.6]xs,[0.3,0.4]/x6,[0.4,0.5]/x[0.1, 2)如果RV4=RVB,则MRVa,RVa)=1; 0.2]/xg}。 3)M(RVRV)=M(RV RV). 对于每个对象Vague取值的依据，这里暂不 则称(RV4 RVB)为粗糙Vague集RVa与RVa 做讨论，有时候是凭借专家经验。由粗糙Vague 的相似度。 集的定义可知，论域U上的两个Vague集A、B在 显然，粗糙Vague集RV4、RVs的关联嫡系数 不分明关系R上的下、上近似Vague集分别为： p(RVa;RVa)是对称的，而且是非负的，即粗糙 RA={[0.1,0.2]/g1,[0.3,0.5]Vg2,[0.3,0.4]/g3 Vague集的关联熵系数具有如下性质： [0.4,0.5]g} 性质6p(RVA;RVB)=p(RVB;RVa)≥0。 RA={[0.7,0.8]Vg1,[0.8,0.9]Vg2,[0.3,0.4]Vg3 性质7RVa,RVa是任意的粗糙Vague集，则 [0.4,0.5]g4} 有0≤p(RVA:RVs)≤1；当且仅当RVa=RVB时， RB={[0.1,0.2]Vg1,[0.4,0.5]/g2,[0.5,0.6]Vg3 p(RV4 RV)=1。 [0.3,0.4]g4} 证明由定义6可知，当RV-RVE时，有型，(x)= RE={[0.7,0.9]/g1,[0.6,0.7]/g2,[0.5,0.6]/g3 y(),1-f匙(x)=1-fy(x)；且(x)=t(d), [0.4,0.5]g} 1-f,(o)=1-f,(m),所以根据粗糙Vague集关 式中：g,分别代表论域U上的对象在等价关系 联熵定义即有p(RVRV)Fl。 R下的等价类。这样，RVA=(RV,RTA,RVB=(RVg,RVs) 又因为pRV:RVs)≤Lp(RVA;RVa)≤lp(RVa;RVs)= 分别为等价关系R下的两个粗糙Vague集。 pRVa;RV)AP(RVA:RV),所以0≤pRV;RVg)≤I。 由粗糙Vague集关联嫡系数的定义，经计算 从性质6和性质7可以看出，粗糙Vague集 可得： 的关联嫡系数p(RV;RV)满足定义10中粗糙 P(RVRV)=0.95;p(RVA:RVB)=0.91 Vague集相似度的定义。 则RV4和RVB的关联熵系数p(RV:RVs)=− ∑ x∈X(1) ( tRVB (xi)lntRVA (xi)+ fRVA (xi)ln fRVB (xi) ) − ∑ x∈X(1) ( tRVA (xi)lntRVB (xi)+ fRVB (xi)ln fRVA (xi) ) = − ∑ x∈X(1) ( tRVB (xi)lntRVA (xi)+ fRVB (xi)ln fRVA (xi) ) − ∑ x∈X(1) ( tRVA (xi)lntRVB (xi)+ fRVA (xi)ln fRVB (xi) ) = E(RVA;RVB) 其他 3 种情况证明类似。 E(RVC ;RVD ) = E(RVA ;RVB ) E(RVA ∪RVB;RVA ∩RVB) = E (RVA;RVB) 同理可以证明 ，所以 有 。 定义 9 粗糙 Vague 集 RVA、RVB 的关联熵系 数定义为 ρ(RVA;RVB) = ρ(RVA ;RVB )∧ρ(RVA;RVB) ρ(RVA ;RVB )= (E(RVA )+E(RVB ))nln 2 E(RVA ;RVB ) ρ(RVA; RVB) = (E(RVA)+ E(RVB ))nln 2 E(RVA;RVB) 式中： ； 。 为了进一步利用关联熵系数来度量粗糙 Vague 集的相似性，下面我们先给出粗糙 Vague 集相似 度的定义。 RVA = (RVA ,RVA) RVB = (RVB ,RVB) 定义 10 设论域 U 是一个非空集合，R 是 U 上的一个等价关系，A、B 是 U 上两个 Vague 集 ，由 R 和 A、 B 构成的粗糙 Vague 集分别为 RVA 和 RVB，其中 ， ， 如果 M(RVA, RVB) 满足性质： 1) 0 ≤ M(RVA, RVB) ≤ 1； 2) 如果 RVA = RVB，则 M(RVA, RVB) = 1； 3) M(RVA, RVB) = M(RVB, RVA)， 则称 M(RVA, RVB) 为粗糙 Vague 集 RVA 与 RVB 的相似度。 显然，粗糙 Vague 集 RVA、RVB 的关联熵系数 ρ(RVA; RVB) 是对称的，而且是非负的，即粗糙 Vague 集的关联熵系数具有如下性质： 性质 6 ρ(RVA;RVB) = ρ(RVB;RVA) ⩾ 0。 0 ⩽ ρ(RVA;RVB) ⩽ 1 性质 7 RVA, RVB 是任意的粗糙 Vague 集，则 有 ；当且仅 当 R V A =RV B 时 ， ρ(RVA; RVB)=1。 tRVA (x) = tRVB (x) 1− fRVA (x) = 1− fRVB (x) tRVA (x) = tRVB (x) 1− fRVA (x) = 1− fRVB (x) 证明 由定义 6 可知，当 RVA=RVB 时，有 ， ； 且 ， ，所以根据粗糙 Vague 集关 联熵定义即有 ρ(RVA; RVB)=1。 ρ(RVA ;RVB )⩽1 ρ(RVA;RVB)⩽1 ρ(RVA;RVB)= ρ(RVA;RVB)∧ρ(RVA;RVB) 又因为 , , , 所以 0≤ρ(RVA; RVB)≤1。 从性质 6 和性质 7 可以看出，粗糙 Vague 集 的关联熵系数 ρ(RVA; RVB) 满足定义 10 中粗糙 Vague 集相似度的定义。 ρ(RVA;RVB) ρ(RVA ;RVB ) 与 Fuzzy 集、粗糙模糊集的关联熵系数类似， 在定义 9 中粗糙 Vague 集 RVA、RVB 的关联熵系 数的定义中， 是对两个粗糙 Vague 集 RVA, RVB 上近似相似程度的度量， 是 对两个粗糙 Vague 集 RVA、RVB 下近似相似性度 量。为了有效度量两个粗糙 Vague 集间的相似 性，关联熵系数 ρ(RVA; RVB) 同时考虑了上、下近 似相似性程度，具有一定的合理性。 性质 8 ρ(RVA ∪RVB;RVA ∩RVB) = ρ(RVA;RVB)。 证明方法同性质 5 的证明类似，这里不再赘述。 粗糙 Vague 集是针对现实世界中所研究对象 兼具模糊性和不可分辨性特点的新的理论方法， 研究粗糙 Vague 集的关联熵和关联熵系数可为粗 糙 Vague 集相似性度量提供一种新思路。 4 实例分析与比较 U = {x1, x2,··· , x8} 例 1 给定一个知识库 K = (U, R)，其中论域 ，R 是 U 上一个不分明关系，U/R = {E1 , E2 , E3 , E4}，其中：E1= {x1 , x4 , x8}，E2= {x2 , x5 , x7}，E3= {x3 }，E4= {x6 }，假定 U 上两个 Vague 集分 别为： A={[0.7, 0.8]/x1 , [0.8, 0.9]/x2 , [0.3, 0.4]/x3 , [0.1, 0.2]/x4 , [0.5, 0.6]/x5 , [0.4, 0.5]/x6 , [0.3, 0.5]/x7 , [0.5, 0.7]/x8}； B={[0.7, 0.9]/x1 , [0.6, 0.7]/x2 , [0.5, 0.6]/x3 , [0.2, 0.3]/x4 , [0.4, 0.6]/x5 , [0.3, 0.4]/x6 , [0.4, 0.5]/x7 , [0.1, 0.2]/x8}。 对于每个对象 Vague 取值的依据，这里暂不 做讨论，有时候是凭借专家经验。由粗糙 Vague 集的定义可知，论域 U 上的两个 Vague 集 A、B 在 不分明关系 R 上的下、上近似 Vague 集分别为： RA = {[0.1, 0.2]/g1 , [0.3, 0.5]/g2 , [0.3, 0.4]/g3 , [0.4, 0.5]/g4} RA = {[0.7, 0.8]/g1 , [0.8, 0.9]/g2 , [0.3, 0.4]/g3 , [0.4, 0.5]/g4} RB = {[0.1, 0.2]/g1 , [0.4, 0.5]/g2 , [0.5, 0.6]/g3 , [0.3, 0.4]/g4} RB = {[0.7, 0.9]/g1 , [0.6, 0.7]/g2 , [0.5, 0.6]/g3 , [0.4, 0.5]/g4} RVA =(RVA ,RVA) RVB=(RVB ,RVB) 式中：gi 分别代表论域 U 上的对象在等价关系 R下的等价类。这样， ， 分别为等价关系 R 下的两个粗糙 Vague 集。 由粗糙 Vague 集关联熵系数的定义，经计算 可得： ρ(RVA ;RVB ) = 0.95; ρ(RVA;RVB) = 0.91 则 RVA 和 RVB 的关联熵系数 ρ(RVA;RVB) = 第 4 期 张倩倩，等：基于关联熵系数的粗糙 Vague 集相似性度量方法 ·653·