·652· 智能系统学报 第13卷 I)RVA C RVB台(x)≤ty(x),1-f,(x)≤1- 因此，Ey,RV)>E(RV )nln22,同理可有E.RVA)≥ fy(x),()≤(：，1-f,(x)≤1-f()。 ERVa)nln2因此ERv.RVA)≥min(ERys,ERVa)nln2 2)RVc=RVAURV igv (x)=maxlfgv,(x).Igv,(x)), 当ts(x)≤fs(x)时，ERVB)≥E(Ry可证得ERv.RV)≥ fy=minlfgv,(o,f匙(x)水，te()=max{t,(),t,(xl, E(RVg)nIn2:当ts(x)<f(x)时，ERVg)<ERV,因 fve (x)=mintv,(x).v,(x)o 此有ERv,(RVA)>ERVa)nln2。 3)RVa=RVs台ty(x)=t型，l-fvx)=1-f( 性质3设S=(U,R为一近似空间，RV4、RVB ,()=(x,1-f(x)=1-f(x)。 是其上的两个粗糙Vague集，则有： 4)(RVAf=(RVaf,RVAr)台t匙r()=f), 1)ERV[(RVA)]=E(RVar (RVA) figv,r (x)=tgv,(x);Iv (x)=fv (x),fv (x)=Iv,(x) 2)ERVar[(RVA)]=EgV,(RVA) 2粗糙Vague集的偏熵 3)ERVAUORVT (RVA0(RVA))=ERVO(RVY(RVAU(RVA)) 这些性质根据定义很容易证明，在这里不再 定义7设S=(U,R)为一近似空间，U为论 赘述。 域，R为U上一等价关系，RVa,RVB是其上的两 个粗糙Vague集，定义RV.关于RVg的偏熵为 3粗糙Vague集的关联熵系数及相 ERv,(RVA)=Egv,(RV)AERV,(RVA) 似性度量方法 式中： 匙，-2 w.hp.t 定义8粗糙Vague集RV4、RVa的关联熵同 时考虑到两个粗糙Vague集的上近似与下近似并 fv.(x)In fiv.(x)] 且定义为它们的偏嫡之和，即 Ea=一2饭ha E(RVA:RVB)=E(RV:RV)AE(RVA:RV8)= (Egv.(RV)+Egv,(RV)A fv(x)In fv,(x) (Egv,(RVA)+Egv,(RVa)) 如果将RVs看作一个基准粗糙Vague集，那 显然，从定义7可以看出，粗糙Vague集的关 么RV.关于RVB的偏熵表示了粗糙Vague集 联熵系数E(RV;RV)是对称的，而且是非负的， RV.的一个不确定性程度，它分别考虑了RV4上 即有如下性质： 近似、RV4下近似的不确定性程度。 性质4E(RVA;RVg)=E(RVB:RVA)≥OO 下面给出粗糙Vague集RV4关于粗糙Vague 性质5RVa、RVg是粗糙Vague集，则有 集RVg的偏熵具有的性质。 E(RVAURVB:RVAORV8)=E(RVA:RVa)o 性质1（非负性）设S=(U,R)为一近似空间， 证明：令RVc=RVAURV8,RVo=RVAORV8,则 RV4、RVg是其上的两个粗糙Vague集，则有 E(RVAURVB:RVAORV8)=E(RVc:RVDFE(RV:RV)A ERv,(RVA)>0。 ERVc;RVD),因此，只要证明ERVc:RVo)=ERY 证明：由于0≤y,(x≤1，则有ln(c)≤0；又 RV;RVg),ERVc:RVo)=ERVA;RVB)即可o 由0≤fy(x)≤1，有nfy(x)≤0，由定义7有 在此，需要分4种情况进行讨论： EwRV)>0。 1)记X-{reU,(c)>(c)且f(w)> 同理有ERVA)>0,故ERv.RVA)>O。 fiv(x)) 性质2当ts()≤f(x时，ERv,(RVA)≥ERVB)m 2)记X⊙={∈U,t(x)>()且f(c)< ln2:当tg()>fa(x时，ERw(RVA)>ERVa)nn2。 f)} 证明：由于ERv,RVA)=EYRY)AE,RVA), 3)记X={r∈U,(x)<t,(c)且f,(x)> 根据凸函数Jenson不等式有， Egv,(RV )-E(RV)nIn2 f()} 剑G+n感] 4)记X={r∈U,(x)<()且f(c)< ≥ f,x)} 她历)+画 则： f型()J E(RVc:RVp)=Egv(RVc)+Egv(RVp)= 2l* -立o,h银+辰ea.小 2a加饭，国*ab应，小RVA ⊆ RVB ⇔ tRVA (x) ⩽ tRVB (x) 1− fRVA (x) ⩽ 1− fRVB (x) tRVA (x) ⩽ tRVB (x) 1− fRVA (x) ⩽ 1− fRVB (x) 1 ) , ; , 。 RVC =RVA ∪RVB⇔tRVC (x)=max{tRVA (x),tRVB (x)} fRVC =min{fRVA (x), fRVB (x)} tRVC (x)=max{tRVA (x),tRVB (x)} fRVC (x) = min{fRVA (x), fRVB (x)} 2) , ; , 。 RVA=RVB⇔tRVA (x)=tRVB (x) 1−fRVA (x)=1− fRVB (x) tRVA (x) = tRVB (x) 1− fRVA (x) = 1− fRVB (x) 3) , ; , 。 (RVA) c = ((RVA) c ,(RVA) c )⇔ t(RVA ) c (x) = fRVA (x) f(RVA ) c (x) = tRVA (x) t (RVA) c (x) = fRVA (x) f (RVA) c (x) = tRVA (x) 4 ) , ; , 。 2 粗糙 Vague 集的偏熵 定义 7 设 S=(U, R) 为一近似空间，U 为论 域，R 为 U 上一等价关系，RVA, RVB 是其上的两 个粗糙 Vague 集，定义 RVA 关于 RVB 的偏熵为 ERVB (RVA) = ERVB (RVA )∧ ERVB (RVA) 式中： ERVB (RVA ) = − ∑n i=1 [ tRVB (xi)lntRVA (xi)+ fRVB (xi)ln fRVA (xi) ] ERVB (RVA) = − ∑n i=1 [ tRVB (xi)lntRVA (xi)+ fRVB (xi)ln fRVA (xi) ] 如果将 RVB 看作一个基准粗糙 Vague 集，那 么 RVA 关于 RVB 的偏熵表示了粗糙 Vague 集 RVA 的一个不确定性程度，它分别考虑了 RVA 上 近似、RVA 下近似的不确定性程度。 下面给出粗糙 Vague 集 RVA 关于粗糙 Vague 集 RVB 的偏熵具有的性质。 ERVB (RVA) > 0 性质 1(非负性) 设 S=(U, R) 为一近似空间， RVA、RVB 是其上的两个粗糙 Vague 集，则有 。 0 ⩽ tRVB (xi) ⩽ 1 lntRVA (xi) ⩽ 0 0 ⩽ fRVB (xi) ⩽ 1 ln fRVA (xi) ⩽ 0 ERVB (RVA ) > 0 证明：由于 ，则有 ；又 由 ， 有 ，由定 义 7 有 。 ERVB (RVA) > 0 ERVB 同理有 ，故 (RVA) > 0。 tB (xi) ⩽ fB (xi) ERVB (RVA) ⩾ E(RVB )n ln 2 tB (xi) > fB (xi) ERVB (RVA) > E(RVB)nln 2 性质 2 当 时， ；当 时， 。 ERVB (RVA) = ERVB (RVA )∧ ERVB 证明：由于 (RVA) ， 根据凸函数 Jenson 不等式有， ERVB (RVA )− E(RVB )nln 2 = − ∑n i=1 [ tRVB (xi)ln tRVA (xi) tRVB (xi) + fRVB (xi)ln fRVA (xi) fRVB (xi) ] ⩾ − ∑n i=1 ln[ tRVB (xi)· tRVA (xi) tRVB (xi) + fRVB (xi)· fRVA (xi) fRVB (xi) ] = − ∑n i=1 ln[ tRVA (xi)+ fRVA (xi) ] ⩾ − ∑n i=1 ln 1 = 0 ERVB (RVA )⩾E(RVB )nln 2 ERVB (RVA)⩾ E(RVB)nln 2 ERVB (RVA)⩾min{E(RVB) E(RVB)}nln 2 tB (xi)⩽ fB (xi) E(RVB)⩾E(RVB ) ERVB (RVA)⩾ E(RVB )nln 2 tB (xi) < fB (xi) E(RVB) < E(RVB ) ERVB (RVA) > E(RVB)nln 2 因此, , 同理可有 ，因此 ， ， 当 时， , 可证得 ；当 时， ，因 此有 。 性质 3 设 S=(U, R) 为一近似空间，RVA、RVB 是其上的两个粗糙 Vague 集，则有： ERVA [(RVA) c ]=E(RVA) 1) c (RVA) E(RVB) c [(RVA) c ]=ERVB 2) (RVA) ERVA∪(RV)c (RVA ∩(RVA) c )=ERVA∩(RV)c (RVA ∪(RVA) c 3) ) 这些性质根据定义很容易证明，在这里不再 赘述。 3 粗糙 Vague 集的关联熵系数及相 似性度量方法 定义 8 粗糙 Vague 集 RVA、RVB 的关联熵同 时考虑到两个粗糙 Vague 集的上近似与下近似并 且定义为它们的偏熵之和，即 E (RVA;RVB) = E(RVA ;RVB )∧ E(RVA;RVB)= ( ERVB (RVA )+ ERVA (RVB ) ) ∧ ( ERVB (RVA)+ ERVA (RVB) ) 显然，从定义 7 可以看出，粗糙 Vague 集的关 联熵系数 E(RVA; RVB) 是对称的，而且是非负的， 即有如下性质： 性质 4 E (RVA;RVB) = E (RVB;RVA) ⩾ 0。 E(RVA ∪RVB;RVA ∩RVB) = E (RVA;RVB) 性质 5 RVA、RVB 是粗糙 Vague 集，则有 。 RVC = RVA ∪RVB RVD = RVA ∩RVB E(RVA ∪RVB;RVA ∩RVB) = E (RVC;RVD) E(RVC ;RVD )∧ E(RVC;RVD) E(RVC ;RVD ) = E(RVA ; RVB ) E(RVC;RVD) = E(RVA;RVB) 证明：令 ， ，则 = ，因此，只要证明 ; RVB)， 即可。 在此，需要分 4 种情况进行讨论： X (1) = {x|x ∈ U,tRVA (xi) > tRVB (xi) fRVA (xi) > fRVB (xi) 1) 记 且 } X (2) = {x|x ∈ U,tRVA (xi) > tRVB (xi) fRVA (xi) < fRVB (xi) 2) 记 且 } X (3) = {x|x ∈ U,tRVA (xi) < tRVB (xi) fRVA (xi) > fRVB (xi) 3) 记 且 } X (4) = {x|x ∈ U,tRVA (xi) < tRVB (xi) fRVA (xi) < fRVB (xi) 4) 记 且 } 则： E(RVC;RVD)=ERVD (RVC)+ ERVC (RVD) = − ∑n i=1 ( tRVD (xi)lntRVC (xi)+ fRVD (xi)ln fRVC (xi) ) − ∑n i=1 ( tRVC (xi)lntRVD (xi)+ fRVC (xi)ln fRVD (xi) ) = ·652· 智 能 系 统 学 报 第 13 卷