第4期 张倩倩，等：基于关联熵系数的粗糙Vague集相似性度量方法 ·651· 1986年提出的直觉模糊集理论同时考虑了对象 为Vague集A的熵。 的隶属度、非隶属度和犹豫度3个方面的信息， 一个Vague集的嫡E同时表征了该Vague集 其实，Bustince等已经证明，Vague集和直觉模 的模糊正嫡和模糊负嫡，在定义2中，按惯例规 糊集在定义上是等同的，在本质上是一致的。目前， 定0ln0=0,ln0=-o。在此定义的Vague集A的 有很多学者对粗糙集理论和Vague集理论n-l相 熵刻画了论域U中元素x,与Vague集A之间关 互融合问题做了大量研究。我们后面的研究内 系的不确定性程度，E越大，我们对x与A的关系 容，将不对Vague集和直觉模糊集的描述方式作 了解得越少。 区分，在此统称为Vague集。 定义31刀 设A,B是论域U中任意两个 在模糊集、Vague集及粗糙Vague集理论研 Vague集，则A关于B的偏熵定义为 究中，相似性度量都是研究重点，它是模糊聚类、 模式识别、近似推理等理论研究的基础416。权 EsA=-∑(Us()Inta(x)+fa()lnfx》 双燕等研究了Vague集的偏嫡、关联熵和关联 式中B称为基准集。 嫡系数，将其应用于Vague集相似性度量；魏莱 与Vague集的熵定义类似，偏熵E(A)也是 等8将关联熵和关联熵系数引入粗糙模糊集，为 Vague集A的不确定性程度的一种度量。 考虑某种分类知识R下度量模糊集合之间的相似 定义47两个Vague集A与B之间的关联 性程度提供了一种新方法。上述方法仅限于模糊 熵定义为它们的偏熵之和，即 集、Vague集和粗糙模糊集的研究范畴，具有一定 E(A:B)=ER(A)+E(B)= 的局限性。粗糙Vague集模型是粗糙集和Vauge 集相互融合的理论方法，适用于处理现实世界中 -∑ts()n,)+f.(x)nf+ 兼具不可分辨性和模糊性概念的问题。Namburu ta (x:)Intg(x)+fa (x:)Infs (x)] 等提出了广义粗糙直觉模糊c均值聚类算法， 显然EA;B)关于1(x)、1(x)和f(x)、f(x)是 用于脑磁谐振图像分割；Liu等通过直觉模糊相 对称的，而且是非负的。关于Vague集的关联熵 似性度量定义了冲突距离测量方法，用于解决现 的相关性质证明过程请参考文献[17刀。 实生活中的冲突问题。为了有效度量粗糙Vague 作为处理不确定信息的两种工具，Vague集 集模型的相似性，本文将关联熵、关联嫡系数的 理论的出发点在于描述和解决概念内涵的模糊性 应用领域进一步推广，为粗糙Vague集相似性度 和人们对概念认识不精确性的问题，粗糙集理论 量及模式识别提供一种新的思路和方法。最后给 则侧重于知识对象不可分辨性的不确定性问题的 出的实例证明，在知识对象具有不可分辨关系的 研究。当人们所面对的问题兼具这两方面的不确 背景下，对Vague集对象进行聚类分析时，应用粗 定性时，即概念不但是模糊的，而且是不可分辨 糙Vague集的关联熵系数进行相似性度量更具合 的，此时，需要将粗糙集理论和Vague集理论相互 理性。 融合，研究粗糙Vauge集-的理论、方法及其不 1 粗糙Vague集理论基础 确定性度量，以弥补它们单独在处理实际问题时 的不足。 定义1回设论域U={1,2,…,x为一个对象 定义52训设0={，…x为一论域，R是 空间，元素x(i=1,2,…,n)是所讨论的对象。U上 U上的等价关系，V是U上一Vague集，Yx:eU,由 一Vague集A用一个真隶属函数t4和一个假隶属 R和V构成的粗糙Vague集(RV sets)定义如下： 函数f4表示：ta(x):U→0,1，f(:U→[0,1。 Rt(=inf(t(xx∈[xR} 其中14(x,)是由支持x,的证据所导出的x,隶属度 Rt(V=sup{t,(x)r∈[R 的下界，(x,)则是由反对x的证据所导出x的否 Rf(V)=suplf,(x)xE [xle) 定隶属度下界，且a(x)+fA(x)≤1。元素x,的隶 Rf(V)=infit,(x)xE [xlg) 属度被区间0,1]的一个子区间[(x),1-f(x】所界 式中：x]表示包含元素x∈U的R等价类，则上 定，称该区间为x在A中的Vague值。 定义211假定论域U=x,2,…,x}上 下近似Vague集表示为 RV =Ri(V),1-Rf(V) Vague集A,我们称 RV =[Rt(V),1-Rf(V)], 1 E(A)=-nin2X 称序对RV=Rv,RV)为论域U上的粗糙Vague集。 （)It)+fc)血fA》 定义62)设RV=(RV,RV)是给定论域U上 的粗糙Vague集，x∈U,定义：1986 年提出的直觉模糊集[5]理论同时考虑了对象 的隶属度、非隶属度和犹豫度 3 个方面的信息， 其实，Bustince 等 [6]已经证明，Vague 集和直觉模 糊集在定义上是等同的，在本质上是一致的。目前， 有很多学者对粗糙集理论和 Vague 集理论[7-13]相 互融合问题做了大量研究。我们后面的研究内 容，将不对 Vague 集和直觉模糊集的描述方式作 区分，在此统称为 Vague 集。 在模糊集、Vague 集及粗糙 Vague 集理论研 究中，相似性度量都是研究重点，它是模糊聚类、 模式识别、近似推理等理论研究的基础[14-16]。权 双燕等[17]研究了 Vague 集的偏熵、关联熵和关联 熵系数，将其应用于 Vague 集相似性度量；魏莱 等 [18]将关联熵和关联熵系数引入粗糙模糊集，为 考虑某种分类知识 R 下度量模糊集合之间的相似 性程度提供了一种新方法。上述方法仅限于模糊 集、Vague 集和粗糙模糊集的研究范畴，具有一定 的局限性。粗糙 Vague 集模型是粗糙集和 Vauge 集相互融合的理论方法，适用于处理现实世界中 兼具不可分辨性和模糊性概念的问题。Namburu 等 [19]提出了广义粗糙直觉模糊 c 均值聚类算法， 用于脑磁谐振图像分割；Liu 等 [20]通过直觉模糊相 似性度量定义了冲突距离测量方法，用于解决现 实生活中的冲突问题。为了有效度量粗糙 Vague 集模型的相似性，本文将关联熵、关联熵系数的 应用领域进一步推广，为粗糙 Vague 集相似性度 量及模式识别提供一种新的思路和方法。最后给 出的实例证明，在知识对象具有不可分辨关系的 背景下，对 Vague 集对象进行聚类分析时，应用粗 糙 Vague 集的关联熵系数进行相似性度量更具合 理性。 1 粗糙 Vague 集理论基础 U = {x1, x2,··· , xn} i = 1,2,··· ,n tA (xi) : U → [0,1] fA (xi) : U → [0,1] tA (xi) + fA (xi) ⩽ 1 定义 1 [2] 设论域 为一个对象 空间，元素 xi ( ) 是所讨论的对象。U 上 一 Vague 集 A 用一个真隶属函数 tA 和一个假隶属 函 数 f A 表示： ， 。 其中 tA(xi ) 是由支持 xi 的证据所导出的 xi 隶属度 的下界，fA(xi ) 则是由反对 xi 的证据所导出 xi 的否 定隶属度下界，且 。元素 xi 的隶 属度被区间[0, 1]的一个子区间[tA(xi ), 1–fA(xi )]所界 定，称该区间为 xi 在 A 中的 Vague 值。 定 义 2 U = {x1, x2,··· , xn} [ 1 7 ] 假定论域 上 一 Vague 集 A，我们称 E (A) = − 1 nln 2 × ∑n i=1 (tA(xi)lntA(xi)+ fA(xi)ln fA(xi)) 为 Vague 集 A 的熵。 一个 Vague 集的熵 E 同时表征了该 Vague 集 的模糊正熵和模糊负熵，在定义 2 中，按惯例规 定 0·ln 0=0，ln 0= –∞。在此定义的 Vague 集 A 的 熵刻画了论域 U 中元素 xi 与 Vague 集 A 之间关 系的不确定性程度，E 越大，我们对 x 与 A 的关系 了解得越少。 定义 3 [ 1 7 ] 设 A, B 是论域 U 中任意两个 Vague 集，则 A 关于 B 的偏熵定义为 EB (A) = − ∑n i=1 (tB(xi)lntA(xi)+ fB(xi)ln fA(xi)) 式中 B 称为基准集。 与 Vague 集的熵定义类似，偏熵 EB(A) 也是 Vague 集 A 的不确定性程度的一种度量。 定义 4 [17] 两个 Vague 集 A 与 B 之间的关联 熵定义为它们的偏熵之和，即 E (A;B) = EB (A)+ EA (B) = − ∑n i=1 [tB(xi)lntA(xi)+ fB(xi)ln fA(xi)+ tA (xi)lntB (xi) + fA (xi)ln fB (xi)] 显然 E(A; B) 关于 tA(xi )、tB(xi ) 和 fA(xi )、fB(xi ) 是 对称的，而且是非负的。关于 Vague 集的关联熵 的相关性质证明过程请参考文献[17]。 作为处理不确定信息的两种工具，Vague 集 理论的出发点在于描述和解决概念内涵的模糊性 和人们对概念认识不精确性的问题，粗糙集理论 则侧重于知识对象不可分辨性的不确定性问题的 研究。当人们所面对的问题兼具这两方面的不确 定性时，即概念不但是模糊的，而且是不可分辨 的，此时，需要将粗糙集理论和 Vague 集理论相互 融合，研究粗糙 Vauge 集 [7-8]的理论、方法及其不 确定性度量，以弥补它们单独在处理实际问题时 的不足。 U = {x1, x2,··· , xn} ∀xi ∈ U 定义 5 [21] 设 为一论域，R 是 U 上的等价关系，V 是 U 上一 Vague 集， ，由 R 和 V 构成的粗糙 Vague 集 (RV sets) 定义如下： Rt(V) = inf{tv (x)|x ∈ [x]R } Rt(V) = sup{tv (x)|x ∈ [x]R } Rf(V) = sup{fv (x)|x ∈ [x]R } Rf(V) = inf{tv (x)|x ∈ [x]R } 式中：[x]R 表示包含元素 x∈U 的 R 等价类，则上 下近似 Vague 集表示为 RV = [ Rt(V), 1−Rf(V) ] RV = [Rt(V), 1−Rf(V)], 称序对 RV = (RV,RV) 为论域 U 上的粗糙 Vague 集。 定义 6 RV = (RV,RV) [21] 设 是给定论域 U 上 的粗糙 Vague 集，x∈U，定义： 第 4 期 张倩倩，等：基于关联熵系数的粗糙 Vague 集相似性度量方法 ·651·