4()、0,(),可得电动机转速控制系统的微分方程为 0,50=0-0 (2-19 d 17m iT 从上述系统或元部件的微分方程可以看出，不同类型的元件或系统可具有形式相同的数 学模型。例如，例21和例2-2系统的数学模型均是二阶微分方程，例2-3和例24系统的 数学模型均为一阶微分方程。我们称这些物理系统为相似系统，相似系统揭示了不同物理现 象间的相似关系，也为控制系统的计算机仿真提供了基础。 2.2.2非线性系统微分方程的线性化 前文讨论的元件和系统，假设都是线性的，因而，描述它们的数学模型也都是线性微分 方程。事实上，任何一个元件或系统总是存在一定程度的非线性。例如，弹簧的刚度与其形 变有关，并不一定是常数：电阻R、电感L、电容C等参数值与周围环境（温度、湿度、压 力等)及流经它们的电流有关，也不一定是常数：电动机本身的摩擦、死区等非线性因素会 使其运动方程复杂化而成为非线性方程：等等。严格地说，实际系统的数学模型一般都是非 线性的，而非线性微分方程没有通用的求解方法。因此，在研究系统时总是力图将非线性问 题在合理、可能的条件下简化为线性问题处理。如果做某些近似或缩小一些研究问题的范围， 可以将大部分非线性方程在一定的工作范围内近似用线性方程来代替，这样就可以用线性理 论来分析和设计系统。虽然这种方法是近似的，但它便于分析计算，在一定的工作范围内能 反映系统的特性，在工程实践中具有实际意义。 例2-5铁芯线圈如图2-5)所示。试列写以电压u,为输入，电流i为输出的铁芯线圈的 微分方程。 解根据克希荷夫定律有 4,=4+及 (2-20) 式中，4为线圈的感应电势，它正比于线圈中磁通变化率，即 (2-21) d 式中，K为比例常数。铁芯线圈的磁通是线圈中电流1的非线性函数，如图25(b)所示。 将式(2-21)代入式(2-20)得 26 u (t) a 、 ( ) 1  t ，可得电动机转速控制系统的微分方程为 ( ) ( ) ( ) ( ) a t a c r c m m M d t i KK K KK K t u t M t dt iT iT iT     + + = −     （2-19） 从上述系统或元部件的微分方程可以看出，不同类型的元件或系统可具有形式相同的数 学模型。例如，例 2-1 和例 2-2 系统的数学模型均是二阶微分方程，例 2-3 和例 2-4 系统的 数学模型均为一阶微分方程。我们称这些物理系统为相似系统，相似系统揭示了不同物理现 象间的相似关系，也为控制系统的计算机仿真提供了基础。 2.2.2 非线性系统微分方程的线性化 前文讨论的元件和系统，假设都是线性的，因而，描述它们的数学模型也都是线性微分 方程。事实上，任何一个元件或系统总是存在一定程度的非线性。例如，弹簧的刚度与其形 变有关，并不一定是常数；电阻 R、电感 L、电容 C 等参数值与周围环境（温度、湿度、压 力等）及流经它们的电流有关，也不一定是常数；电动机本身的摩擦、死区等非线性因素会 使其运动方程复杂化而成为非线性方程；等等。严格地说，实际系统的数学模型一般都是非 线性的，而非线性微分方程没有通用的求解方法。因此，在研究系统时总是力图将非线性问 题在合理、可能的条件下简化为线性问题处理。如果做某些近似或缩小一些研究问题的范围， 可以将大部分非线性方程在一定的工作范围内近似用线性方程来代替，这样就可以用线性理 论来分析和设计系统。虽然这种方法是近似的，但它便于分析计算，在一定的工作范围内能 反映系统的特性，在工程实践中具有实际意义。 例 2-5 铁芯线圈如图 2-5(a)所示。试列写以电压 r u 为输入，电流 i 为输出的铁芯线圈的 微分方程。 解 根据克希荷夫定律有 u u Ri r = 1 + （2-20） 式中， 1 u 为线圈的感应电势，它正比于线圈中磁通变化率，即 dt d i u K ( ) 1 1  = （2-21） 式中， K1 为比例常数。铁芯线圈的磁通是线圈中电流 i 的非线性函数，如图 2-5（b）所示。 将式（2-21）代入式（2-20）得