2.2控制系统的时域数学模型 2.2.1线性元部件、线性系统微分方程的建立 用解析法列写系统或元部件微分方程的一般步骤是 (①)根据系统的具体工作情况，确定系统或元部件的输入、输出变量： (②)从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量所遵循的物理（或化学）定律， 列写出各元部件的动态方程，一般为微分方程组： (③)消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程： (④)将微分方程标准化，即将与输入有关的各项放在等号右侧，与输出有关的各项放在 等号左侧，并按降幂推列。 下面举例说明建立微分方程的步骤和方法。 例2-1R-LC无源网络如图2-1所示，试列写输入电压山，与输出电压之间的微分方 程。 解这是一个电学系统，根据克希荷夫定律可写出 u0=R0+L0+u0(2D dt “,iC4 0=cd.0 0 A (2-2) 图2-1R-L-C无源网络 消去上两式的中间变量)，整理可得 Lcd@+Rc血，@+u.0)=u,0 (2-3) dt 假定R,L,C都是常数，则上式即为二阶线性常系数微分方程。 令 T2=LC 2T=RC 即 T=√LC,5=RC/2E) (2-4】 式中，T表示R-LC网络的时间常数：5表示阻尼系数。 将式(2-4)代入式(2-3)并整理，可得一标准形式为 Td.0+257,0+u.0=u0 (2.5a
22 2.2 控制系统的时域数学模型 2.2.1 线性元部件、线性系统微分方程的建立 用解析法列写系统或元部件微分方程的一般步骤是： ⑴ 根据系统的具体工作情况，确定系统或元部件的输入、输出变量； ⑵ 从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量所遵循的物理（或化学）定律， 列写出各元部件的动态方程，一般为微分方程组； ⑶ 消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程； ⑷ 将微分方程标准化，即将与输入有关的各项放在等号右侧，与输出有关的各项放在 等号左侧，并按降幂排列。 下面举例说明建立微分方程的步骤和方法。 例 2-1 R-L-C 无源网络如图 2-1 所示，试列写输入电压 ur与输出电压 uc之间的微分方 程。 解 这是一个电学系统，根据克希荷夫定律可写出 ( ) ( ) ( ) ( ) r c di t u t Ri t L u t dt = + + （2-1） dt du t i t c c ( ) ( ) = （2-2） 消去上两式的中间变量 it() ，整理可得 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 u t u t dt du t RC dt d u t LC c r c c + + = （2-3） 假定 R, L,C 都是常数，则上式即为二阶线性常系数微分方程。 令 T = LC 2 2T = RC 即 T = LC, = R C (2 L) （2-4） 式中， T 表示 R-L-C 网络的时间常数； 表示阻尼系数。 将式（2-4）代入式（2-3）并整理，可得一标准形式为 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2 2 2 u t u t dt du t T dt d u t T c r c c + + = （2-5a）
同样，若令@，=子（自然频率）。可将(2.5)表示为另一种标准形式 fa.zo..oum-o.. (2-5b) 例2-2弹簧-质量阻尼器系统如图2-2所示，其中，K为弹簧的弹性系数，∫为阻尼 器的阻尼系数，m表示小车的质量。如果忽略小车与地面 的摩擦，试列写以外力F()为输入，以位移y()为输出 的系统微分方程。 m) 解这是一个力学系统。首先对小车进行隔离体受力 园2-2弹簧-质量-阻尼器系统 分析，如图23所示。在水平方向应用牛顿第二定律可写 出 F0-f0-0=m0 d dr (2-6) 0回 :T层2点 图2-3小车受力图 则可将式(2-6)写成如下标准形式 Td0+25r0+0=F0 *0 d山 +0☐ (2-7) a 例2-3试列写图2-4所示电枢控制式直流电动机的微 分方程。图中，电枢电压u()为输入量，电动机转速-0 )()为输出量。R。,L。分别是电枢电路的电阻和电感， 图2-4电枢控制式 M。()是折合到电动机轴上的总负载转矩。假设激磁电流 直流电动机原理图 i,为常值。 解这是一个电学力学系统。电枢控制式直流电动机是将输入的电能转换为机械能， 其工作原理是，由输入的电枢电压“，()在电枢回路中产生电枢电流1，()，再由电流1()与 激磁磁通相互作用对电机转子产生电磁转矩M(),从而拖动负载运动。电动机的微分方 程可由以下三部分组成。 (1)电根回路电压平衡方程：
23 同样，若令 T n 1 = （自然频率），可将（2-5a）表示为另一种标准形式 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2 2 2 2 u t u t dt du t dt d u t n c n r c n c + + = （2-5b） 例 2-2 弹簧-质量-阻尼器系统如图 2-2 所示，其中， K 为弹簧的弹性系数， f 为阻尼 器的阻尼系数， m 表示小车的质量。如果忽略小车与地面 的摩擦，试列写以外力 F(t) 为输入，以位移 y(t) 为输出 的系统微分方程。 解 这是一个力学系统。首先对小车进行隔离体受力 分析，如图 2-3 所示。 在水平方向应用牛顿第二定律可写 出 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) dt d y t Ky t m dt dy t F t − f − = (2-6) 若令： mK f K m T 2 = , = 则可将式(2-6)写成如下标准形式 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) d y t dy t F t T T y t dt dt K + + = (2-7) 例 2-3 试列写图 2-4 所示电枢控制式直流电动机的微 分方程。图中，电枢电压 u (t) a 为输入量，电动机转速 (t) 为输出量。 Ra La , 分别是电枢电路的电阻和电感， M (t) c 是折合到电动机轴上的总负载转矩。假设激磁电流 f i 为常值。 解 这是一个电学-力学系统。电枢控制式直流电动机是将输入的电能转换为机械能， 其工作原理是，由输入的电枢电压 u (t) a 在电枢回路中产生电枢电流 i (t) a ，再由电流 i (t) a 与 激磁磁通相互作用对电机转子产生电磁转矩 M (t) m ，从而拖动负载运动。电动机的微分方 程可由以下三部分组成。 ⑴ 电枢回路电压平衡方程：
u,0=L应0+R,0+E d (2-8) 式中：E。是电枢旋转时产生的反电势，其大小转速成正比，即E。=C0(), C.(V1rad/s)是反电势系数。 (②)电磁转矩方程为 M()=C(D)i,(t) (2-9) 式中，C(Nm/A)是电动机转矩系数：M()是电枢电流产生的电磁转矩。 (3)电动机轴上的转矩平衡方程： J.a9+o0=M.-M0 (2-10) 式中：m(N·m(ad·s》是电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数： J(g·m2)是电动机和负载折合到电动机轴上的转动惯量。 由式(2-8)~(210)中消去中间变量i,(),Ea,M.()便可以得到以0()为输出量， 以“，()为输入量的电动机微分方程 .0+亿，+RJ0+R+c.Cn0 d (2-11) =C.u0-L,0-R,M0 可见，式(2-11)为二阶线性微分方程。在工程应用中，由于电枢电路电感L,较小，通常可忽 略不计，因而式(211)可简化成如下形式 工ao0+o0=Ku0-KM.0 (2-12) dt :五Cc是电城电时黄位：少.长R+C可 R。Jm C R K,=R,/.+C.C 是电动机的传动系数。若T、K。、K。均为常数时，则式(2-12)就 是一个一阶常系数线性微分方程
24 a a a a a a R i t E dt di t u t = L + ( ) + ( ) ( ) （2-8） 式中： Ea 是电枢旋转 时产生的 反电势 ，其大小 转速成 正比，即 E C (t) a = e ， C (V /rad /s) e 是反电势系数。 ⑵ 电磁转矩方程为 M (t) C (t)i (t) m = m a （2-9） 式中， C (N.m/ A) m 是电动机转矩系数； M (t) m 是电枢电流产生的电磁转矩。 ⑶ 电动机轴上的转矩平衡方程： ( ) ( ) ( ) ( ) f t M t M t dt d t J m + m = m − c （2-10） 式中： 1 ( /( )) m f N m rad s− 是电动机和负载 折合到电动机轴 上的粘性摩擦系 数； 2 ( ) m J kg m 是电动机和负载折合到电动机轴上的转动惯量。 由式（2-8）~（2-10）中消去中间变量 i (t), E ,M (t) a a m 便可以得到以 (t) 为输出量， 以 u (t) a 为输入量的电动机微分方程 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 R M t dt dM t C u t L R f C C t dt d t L f R J dt d t L J a c c m a a a m a m a m a m m e = − − + + + + （2-11） 可见,式(2-11)为二阶线性微分方程。在工程应用中，由于电枢电路电感 La 较小，通常可忽 略不计，因而式（2-11）可简化成如下形式 ( ) ( ) ( ) ( ) t K u t K M t dt d t Tm + = a a − c c （2-12） 式中： a m m e a m m R f C C R J T + = 是电动机的机电时间常数（单位：s）, a m m e m a R f C C C K + = ， a m m e a c R f C C R K + = 是电动机的传动系数。若 Tm 、K a 、 K c 均为常数时，则式（2-12）就 是一个一阶常系数线性微分方程
另外，在随动系统中，也常常以电动机的转角0)作为输出量，将®0=00代入式 (2-12),有 工00+e=k,40-K,M0 (2-13) 例2-4设有图1-4(a)所示电动机转速控制系统，试列写其微分方程。 解给定电压4，()为输入量，电动机转速(t)为输出量。从产生偏差的元件开始，按 信号流通方向依次写出组成该系统各元件的微分方程。 (①)测量元件：测速发电机作为测量元件，它可将系统输出角速度()转换成相应的 电压4，)，即 4r)=K,0() (2-14) 其中K,是测速发电机的传递函数，可看作常数。 (②)比较元件：比较元件将反馈电压4()与给定电压4，()进行比较，并产生偏差电压 4,(t),即 4.(）=4,()-4(t) (2-15) (③)放大元件：包括电压放大器和功率放大器两部分，作用是对偏差电压4，(t)进行电 压和功率放大，即 ()=Ku.(t) (2-16) 式中，K是电压放大器和功率放大器的放大系数，为常数。 (④)执行元件：直流电动机作为执行元件，它将电枢电压4，()转换成电动机转子轴的 角速度@，()，根据例2-3中式(2-12)可知，直流电动机的微分方程为 Td+a,0=K40-KM.0 (2-17) (⑤)减速器：减速器是用来减速并增大力矩的，其微分方程为 ()=1 ω，(t)i (2-18) 式中，1是减速器的传动比，为常数.联立式(2-14)~(2-18)，消去中间变量u()、4.(t)
25 另外,在随动系统中,也常常以电动机的转角 (t) 作为输出量，将 dt d t t ( ) ( ) = 代入式 （2-12），有 ( ) ( ) ( ) 2 2 K u t K M t dt d dt d t Tm + = a a − c c （2-13） 例 2-4 设有图 1-4(a)所示电动机转速控制系统，试列写其微分方程。 解 给定电压 u (t) r 为输入量，电动机转速 (t) 为输出量。从产生偏差的元件开始，按 信号流通方向依次写出组成该系统各元件的微分方程。 ⑴ 测量元件：测速发电机作为测量元件，它可将系统输出角速度 (t) 转换成相应的 电压 u (t) f ，即 u (t) K (t) f = t （2-14） 其中 Kt 是测速发电机的传递函数，可看作常数。 ⑵ 比较元件：比较元件将反馈电压 u (t) f 与给定电压 u (t) r 进行比较，并产生偏差电压 u (t) e ，即 u (t) u (t) u (t) e = r − f （2-15） ⑶ 放大元件：包括电压放大器和功率放大器两部分，作用是对偏差电压 u (t) e 进行电 压和功率放大，即 u (t) Ku (t) a = e （2-16） 式中， K 是电压放大器和功率放大器的放大系数，为常数。 ⑷ 执行元件：直流电动机作为执行元件，它将电枢电压 u (t) a 转换成电动机转子轴的 角速度 ( ) 1 t ，根据例2-3 中式（2-12）可知，直流电动机的微分方程为 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 t K u t K M t dt d t Tm + = a a − c c （2-17） ⑸ 减速器：减速器是用来减速并增大力矩的，其微分方程为 t i t 1 ( ) ( ) 1 = （2-18） 式中， i 是减速器的传动比，为常数。联立式（2-14）～（2-18），消去中间变量 u (t) f 、u (t) e
4()、0,(),可得电动机转速控制系统的微分方程为 0,50=0-0 (2-19 d 17m iT 从上述系统或元部件的微分方程可以看出，不同类型的元件或系统可具有形式相同的数 学模型。例如，例21和例2-2系统的数学模型均是二阶微分方程，例2-3和例24系统的 数学模型均为一阶微分方程。我们称这些物理系统为相似系统，相似系统揭示了不同物理现 象间的相似关系，也为控制系统的计算机仿真提供了基础。 2.2.2非线性系统微分方程的线性化 前文讨论的元件和系统，假设都是线性的，因而，描述它们的数学模型也都是线性微分 方程。事实上，任何一个元件或系统总是存在一定程度的非线性。例如，弹簧的刚度与其形 变有关，并不一定是常数：电阻R、电感L、电容C等参数值与周围环境（温度、湿度、压 力等)及流经它们的电流有关，也不一定是常数：电动机本身的摩擦、死区等非线性因素会 使其运动方程复杂化而成为非线性方程：等等。严格地说，实际系统的数学模型一般都是非 线性的，而非线性微分方程没有通用的求解方法。因此，在研究系统时总是力图将非线性问 题在合理、可能的条件下简化为线性问题处理。如果做某些近似或缩小一些研究问题的范围， 可以将大部分非线性方程在一定的工作范围内近似用线性方程来代替，这样就可以用线性理 论来分析和设计系统。虽然这种方法是近似的，但它便于分析计算，在一定的工作范围内能 反映系统的特性，在工程实践中具有实际意义。 例2-5铁芯线圈如图2-5)所示。试列写以电压u,为输入，电流i为输出的铁芯线圈的 微分方程。 解根据克希荷夫定律有 4,=4+及 (2-20) 式中，4为线圈的感应电势，它正比于线圈中磁通变化率，即 (2-21) d 式中，K为比例常数。铁芯线圈的磁通是线圈中电流1的非线性函数，如图25(b)所示。 将式(2-21)代入式(2-20)得
26 u (t) a 、 ( ) 1 t ，可得电动机转速控制系统的微分方程为 ( ) ( ) ( ) ( ) a t a c r c m m M d t i KK K KK K t u t M t dt iT iT iT + + = − （2-19） 从上述系统或元部件的微分方程可以看出，不同类型的元件或系统可具有形式相同的数 学模型。例如，例 2-1 和例 2-2 系统的数学模型均是二阶微分方程，例 2-3 和例 2-4 系统的 数学模型均为一阶微分方程。我们称这些物理系统为相似系统，相似系统揭示了不同物理现 象间的相似关系，也为控制系统的计算机仿真提供了基础。 2.2.2 非线性系统微分方程的线性化 前文讨论的元件和系统，假设都是线性的，因而，描述它们的数学模型也都是线性微分 方程。事实上，任何一个元件或系统总是存在一定程度的非线性。例如，弹簧的刚度与其形 变有关，并不一定是常数；电阻 R、电感 L、电容 C 等参数值与周围环境（温度、湿度、压 力等）及流经它们的电流有关，也不一定是常数；电动机本身的摩擦、死区等非线性因素会 使其运动方程复杂化而成为非线性方程；等等。严格地说，实际系统的数学模型一般都是非 线性的，而非线性微分方程没有通用的求解方法。因此，在研究系统时总是力图将非线性问 题在合理、可能的条件下简化为线性问题处理。如果做某些近似或缩小一些研究问题的范围， 可以将大部分非线性方程在一定的工作范围内近似用线性方程来代替，这样就可以用线性理 论来分析和设计系统。虽然这种方法是近似的，但它便于分析计算，在一定的工作范围内能 反映系统的特性，在工程实践中具有实际意义。 例 2-5 铁芯线圈如图 2-5(a)所示。试列写以电压 r u 为输入，电流 i 为输出的铁芯线圈的 微分方程。 解 根据克希荷夫定律有 u u Ri r = 1 + （2-20） 式中， 1 u 为线圈的感应电势，它正比于线圈中磁通变化率，即 dt d i u K ( ) 1 1 = （2-21） 式中， K1 为比例常数。铁芯线圈的磁通是线圈中电流 i 的非线性函数，如图 2-5（b）所示。 将式（2-21）代入式（2-20）得
K岛府= (2-22) 显然这是一个非线性微分方程。 0 (a) (b) 图2-5铁芯线圈及磁通()曲线 如果在工作过程中，线圈的电压、电流只在平衡工作点(4,1。)附近作微小的变化， ()在1。的邻域内连续可导，则在平衡点1，邻域内，磁通中可表示成泰勒级数，即 a盟r 式中，△i=1-i。,当△1“足够小”时，略去高阶项，取其一次近似，有 中=+ 式中，酱，为平责点1，处0的导数值。令它为C,则有 中≈4，+C△i 中-4=△中≈C△1 上式表明，经小扰动线性化处理后，线圈中电流增量与磁通增量之间己经近似为线性关系了。 将式(2-22)中山，中，i均表示成平衡点附近的增量方程，即 4,=46+△4， i=i,+△i 中≈4+C,△i 将上述三式代入方程(2-22)，消去中间变量并整理，可得 C.R (2-23) 2
27 Ri ur dt di di d i K + = ( ) 1 （2-22） 显然这是一个非线性微分方程。 (a) (b) 图 2-5 铁芯线圈及磁通 (i) 曲线 如果在工作过程中，线圈的电压、电流只在平衡工作点（ 0 0 u i, ）附近作微小的变化， (i) 在 0 i 的邻域内连续可导，则在平衡点 0 i 邻域内，磁通 可表示成泰勒级数，即 0 0 2 2 0 2 1 ( ) 2! i i d d i i di di = + + + 式中， i ＝ 0 i − i ，当 i “足够小”时，略去高阶项，取其一次近似，有 i di d i = + 0 0 式中， 0 i di d 为平衡点 0 i 处 (i) 的导数值，令它为 C1 ，则有 + 0 1 C i − = C i 0 1 上式表明，经小扰动线性化处理后，线圈中电流增量与磁通增量之间已经近似为线性关系了。 将式（2-22）中 r u ， ，i 均表示成平衡点附近的增量方程，即 C i i i i ur u ur + = + = + 0 1 0 0 将上述三式代入方程(2-22)，消去中间变量并整理，可得 ur R i dt d i K C + = 1 1 （2-23）
式(2-23)就是铁芯线圈的线性化增量微分方程。在实际使用中，为简便起见，常常略 去增量符号而写成 KC Ri=ur di (2-24) 但必须明确，业，和i均为相对于平衡工作点的增量（小变化量），而不是本身的真正值。 对于在工作点处不连续、无法进行线性化的本质非线性化问题，将在第7章中讨论。 28
28 式（2-23）就是铁芯线圈的线性化增量微分方程。在实际使用中，为简便起见，常常略 去增量符号而写成 Ri ur dt di K1C1 + = （2-24） 但必须明确， r u 和 i 均为相对于平衡工作点的增量（小变化量），而不是本身的真正值。 对于在工作点处不连续、无法进行线性化的本质非线性化问题，将在第7章中讨论