广东海洋大学：《自动控制原理》课程教学资源（教学内容）第九章 频域分析 §9.2 标准二阶系统的谐振峰值、谐振频率和带宽

8.2线性系统的运动分析 82.1线性定常连续系统的自由运动 在没有控制作用下，线性定常系统由初始条件引起的运动称为线性定常系统的自由运 动，可由齐次状态方程描述 x()=A) (8-36) 齐次状态方程通常采用幂级数法、凯莱一哈密顿定理和拉普拉斯变换法求解 1.幂级数法设齐次方程的解是1的向量幂级数 x0)=b。+b1+b22+…+b+… 式中，x,b,b,…,b,…都是n维向量，且x(0)=b。,求导并考虑状态方程，得 0)=+2b,1+…+kh1-+…=46。+b1+b22+…+b+) 由等号两边对应的系数相等，有 b=Ab。 6=546=54产6， 6=4=话46， 6=天4h=石4b, 故 0=u+F++话+0 (8-37) 定义 (8-38) 则 x()=e"x(0) (8-39) 标量微分方程x=瓜的解与指数函数e“的关系为x()=ex(O),由此可以看出，向 量微分方程(836)的解与其在形式上是相似的，故把“称为矩阵指数函数，简称矩阵指数。 2

327 8.2 线性系统的运动分析 8.2.1 线性定常连续系统的自由运动 在没有控制作用下，线性定常系统由初始条件引起的运动称为线性定常系统的自由运 动，可由齐次状态方程描述 x (t) = Ax(t) (8-36) 齐次状态方程通常采用幂级数法、凯莱－哈密顿定理和拉普拉斯变换法求解。 1.幂级数法 设齐次方程的解是 t 的向量幂级数 x(t) = b0 + b1 t + b2 t 2 ++ bk t k + 式中， x,b0 ,b1 ,  ,bk ,  都是 n 维向量，且 0 x(0) = b ，求导并考虑状态方程，得 ( ) 2 ( ) 2 0 1 2 1 x  t = b1 + b2 t ++ k bk t k− + = A b + b t + b t ++ bk t k + 由等号两边对应的系数相等，有   1 0 0 3 3 2 0 2 2 1 1 0 ! 1 1 6 1 3 1 2 1 2 1 A b k Ab k b b Ab A b b Ab A b b Ab k k = k = = = = = = − 故 ) ! 1 2 1 ( ) ( = + + 2 2 ++ A k t k + k x t I At A t x(0) (8-37) 定义 1 1 2 2 2 ! At k k e I At A t A t k = + + + + + = k k k A t k   =0 ! 1 (8-38) 则 x(t) e x(0) At = (8-39) 标量微分方程 x  = ax 的解与指数函数 at e 的关系为 x(t) e x(0) at = ，由此可以看出，向 量微分方程(8-36)的解与其在形式上是相似的，故把 At e 称为矩阵指数函数，简称矩阵指数

由于)是由x(0)转移而来，e“又称为状态转移矩阵，记为()，即 0=e" (8-40) 从上述分析可看出，齐次状态方程的求解问恩，核心就是状态转移矩阵)的计算问 题。因而有必要进一步研究状态转移矩阵的算法和性质。 2.拉普拉斯变换法 将式(836)取拉氏变换，有 X(s)=(s1-A)'xO) (8-41) 进行拉氏反变化，有x()=L[(sl-A)x(O) (842) 与式(8-39)相比有e"-L[(sl-A)1] (8-43) 式(8-43)是e"的闭合形式 例8=8设系统状态方程为[，]厂01Tx)】 试用拉氏变换求解， L2(t)J-2-3x2() 1-4=[:0-011=s-17 0s尸-2-32s+3 (61-A0=ad-.1 「s+31门 s-4A(s+1s+2)-2s 「21117 =s+18+25+15+2 L5+1s+2s+1s+2 「2e'-ea ee2 0=r'-A0]-2e+2e-e+2e 状态方程的解为 :0-()(0)2e-(0) L,(0)L-2e+2e-e+2e2Lx,(0) .凯莱一哈密顿定理法

328 由于 x(t)是由 x(0) 转移而来， At e 又称为状态转移矩阵，记为 (t) ，即 (t) = At e (8-40) 从上述分析可看出，齐次状态方程的求解问题，核心就是状态转移矩阵 ()t 的计算问 题。因而有必要进一步研究状态转移矩阵的算法和性质。 2.拉普拉斯变换法 将式(8-36)取拉氏变换，有 ( ) ( ) (0) 1 X s sI A x − = − (8-41) 进行拉氏反变化，有 1 1 ( ) [( ) ] (0) − − x t L sI A x = − (8-42) 与式（8-39）相比有 At e = 1 1 L sI A [( ) ] − − − (8-43) 式（8-43）是 At e 的闭合形式。 例 8-8 设系统状态方程为             − − =      ( ) ( ) 2 3 0 1 ( ) ( ) 2 1 2 1 x t x t x t x t   ，试用拉氏变换求解。 解 0 0 1 1 0 2 3 2 3 s s sI A s s       − − = − =             − − +       − + = + + = − − − = − s s sI A s s sI A sI A 2 3 1 ( 1)( 2) adj( ) 1 ( ) 1           + + + − + + + − + − + + − + = 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 s s s s s s s s       − + − + − − = − = − − − − − − − − − − t t t t t t t t e e e e e e e e t L sI A 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 ( ) [( ) ] 状态方程的解为             − + − + − − =       =       − − − − − − − − (0) (0) 2 2 2 2 (0) (0) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 x x e e e e e e e e x x t x t x t t t t t t t t t 3.凯莱－哈密顿定理法

矩阵A满足它自己的特征方程。即若设阶矩阵A的特征多项式为 f)=[I-A]=”+an-入m++a1+a (8-4) 则有 f(A)=A"+aA"+...+aA+aol=0 (8-45) 从该定理还可导出以下两个推论。 推论1矩阵A的k(k2)次幂，可表为A的(m1)阶多项式 -2a4 (k≥) (8-46) 推论2矩阵指数e“可表为A的(m-l)阶多项式，即 e-. (8-47 且各&()作为时间的函数是线性无关的。 由凯莱一哈密顿定理，矩阵A满足它自己的特征方程，即在式(846)中用A的特征 值1=1,2，…，k)替代A后，等式仍能满足 e"=2a,以 (8-48) 0 利用上式和k个入，就可以确定待定系数α，)。 若，互不相等，则根据式(848)，可写出各a,)所构成的n元一次方程组为 e=a+&,入+a22+…+an-1" e=a+a,2+a2号+…+an-1 (849) e=a+an+a222+…+an-10- 求解式(8-49)，可求得系数0，a,,a-1,它们都是时间1的函数，将其代入式(8-47) 后即可得出e“。 329

329 矩阵 A 满足它自己的特征方程。即若设 n 阶矩阵 A 的特征多项式为 1 1 1 0 ( ) [ ] n n n f I A a a a −      = − = + + + + − (8-44) 则有 ( ) 1 0 0 1 = + 1 + + + = − − f A A a A a A a I n n n  (8-45) 从该定理还可导出以下两个推论。 推论 1 矩阵 A 的 k (k  n) 次幂，可表为 A 的（n-1）阶多项式 m n m m k A  A − = = 1 0  (k  n) (8-46) 推论 2 矩阵指数 At e 可表为 A 的（n-1）阶多项式，即 At e m n m m (t)A 1 0  − = =  (8-47) 且各 ( ) m  t 作为时间的函数是线性无关的。 由凯莱－哈密顿定理，矩阵 A 满足它自己的特征方程，即在式（8-46）中用 A 的特征 值 ( 1,2, , ) i  i k = 替代 A 后，等式仍能满足 1 0 ( ) i k t j j i j e t    − = = （8-48） 利用上式和 k 个 i 就可以确定待定系数 ( ) j  t 。 若 i 互不相等，则根据式（8-48），可写出各 ( ) j  t 所构成的 n 元一次方程组为 1 2 2 1 0 1 1 2 1 1 1 2 1 0 1 2 2 2 1 2 2 1 0 1 2 1 n t n n t n n t n n n n n e e e                         − − − − − − = + + + +   = + + + +     = + + + +  （8-49） 求解式（8-49），可求得系数  0 ,1 ,…,k−1 ，它们都是时间 t 的函数，将其代入式（8-47） 后即可得出 e At

w阳小 解首先求A的特征值：21-小=0， 2+51+4=0 解得 =-1,=-4 将其代入(8-48)，有 [e-=ao+a(-1) e"=a。+a,(-4) a-je-ge 解出系数 a-ge"-gew 提-aa4-g6-g{周 e-+ 若矩阵A的特征值入是m阶的重根，则求解各系数，的方程组的前m个方程可以写 e=a0+a+…+an-m- 21 -ma(850) =m-a4+maA+m+a居+…+n- 其它由，1=1,2，…，n-m+1组成的(m-m)个方程仍与(849)的形式相同，它们与

330 例 8-9 已知 A＝       − − 2 2 3 1 ，求 e At 。 解 首先求 A 的特征值： I A− = 0， 3 1 0 2 2   + − = − + 2   + + = 5 4 0 解得 1  =−1， 2  = −4 将其代入（8-48），有 0 1 4 0 1 ( 1) ( 4) t t e e     − −  = + −   = + − 解出系数 4 0 4 1 4 1 3 3 1 1 3 3 t t t t e e e e   − − − −  = −    = −  于是 e At 0 1 = +   I A       − − + −       = − − − − − 2 2 3 1 ) 3 1 3 1 ( 0 1 1 0 ) 3 1 3 4 ( t 4t t 4t e e e e           − + + − = − − − − − − − − t t t t t t t t e e e e e e e e 4 4 4 4 3 1 3 2 3 2 3 2 3 1 3 1 3 2 3 1 若矩阵 A 的特征值 1 是 m 阶的重根，则求解各系数  j 的方程组的前 m 个方程可以写 成 1 1 1 0 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 ( 1) t n n t n n e d e k d                − − − − = = + + + = + + + − 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 ( 1)! ( 1)! ( 1)! ! 2! ( )! m t k m m m m m k d m n e m m d n m            − − − − + − = + − = − + + + + − （8-50） 其它由 i ，i = 1，2， ,n − m +1 组成的（n-m）个方程仍与（8-49）的形式相同，它们与

式(8-50)联立，即可解出各待定系数。 a-10 e 解先求矩阵A的特征值，由21-A=0得 即，22+42+4=0 解得，2=-2为一个二重根，由(8-50)有 e=a4+a,(-2) lte"=a 解得， a)=e2+21) a,(0)=e wwa0e-剂 8.2.2状态转移矩阵的性质 状态转移矩阵)具有如下运算性质： 1)0)=1 (8-51) 2)t)=A0=0A (852) 上述性质利用定义很容易证明。式(8-52)表明A)与D)4可交换，且(O)=A。 3)1-12)=4)(±2)=2)b4) (8-53) 在式(853)中，令1=1，±1，便可证明这一性质。)，(2)，(，±2)分别表示由 状态0)转移至状态x(),x(化)，x(士1)的状态转移矩阵。该性质表明(（±1）可分解 为()与（比2）的乘积，且D()与()是可交换的。 4)Φ()=(-1)，Φ(-1)=p) (8-54)

331 式（8-50）联立，即可解出各待定系数。 例 8-10 已知 A＝       − − − 1 2 2 0 ，求 e At 。 解 先求矩阵 A 的特征值，由 I A− = 0 得， 2 0 0 1 2   + = − + 即， 2   + + = 4 4 0 解得， 1,2  = −2 为一个二重根，由（8-50）有 2 0 1 2 1 ( 2) t t e te    − −  = + −   = 解得， 2 0 2 1 ( ) (1 2 ) ( ) t t t e t t te   − −  = +   = 于是求得       =      − − +      = + − − − 1 1 0 1 2 2 0 0 1 1 0 (1 2 ) 2 2 2 t e e t te e At t t t 8.2.2 状态转移矩阵的性质 状态转移矩阵 (t) 具有如下运算性质： 1） (0) = I (8-51) 2）   (t) = A(t) =(t)A (8-52) 上述性质利用定义很容易证明。式(8-52)表明 A (t) 与 (t) A 可交换，且   (0) = A。 3） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 2 1  t −t =  t  t =  t  t (8-53) 在式（8-53）中，令 1 2 t = t  t 便可证明这一性质。 ( ), ( ), ( ) 1 2 1 2  t  t  t  t 分别表示由 状态 x(0)转移至状态 ( ), ( ), ( ) 1 2 1 2 x t x t x t  t 的状态转移矩阵。该性质表明 ( ) 1 2  t  t 可分解 为 ( ) ( ) 1 2  t 与 t 的乘积，且 ( ) ( ) 1 2  t 与 t 是可交换的。 4） ( ) ( ), ( ) ( ) 1 1  t =  −t  −t =  t － － ( 8- 54)

证明由性质3)有D(t-)=()(-)=0(-t)b()=(0)=1 根据逆矩阵的定义可得式(854)。根据()的这一性质，对于线性定常系统，显然有 x)=)x(0).x(0)='(0x(0=-1)x() 5)x2)=t2-4)xt) (8-55) 证明由于x)=()x0),x(O)=Φ'(G)x)=(-4)x) 则 x2)=2)x0)=42)-4)x4)=2-4)x) 即由x化)转移至x化)的状态转移矩阵为2一4) 6)pt2-to)=(L2-t)p4,-to) (8-56) 证明由x42)=42-1)x()和x(4)=(41-1。)x() 得到x2)=2-1)x)=2-4)41-6)x=2-1o)x() 7)[D(0=(k (8-57) 证明[】=(e")=e"=ea,=k知) 8)若AB-BA,则er=e“e=ee (8-58) [2e-e e-e 例8-11已知状态转移矩阵为Φ(1)= -2e”+2e-e+2e小试求 b-1A。 解根据状态转移矩阵的运算性质有 -0=-=2-e e-e21 -2e+2e2-e+2e2 A=(0)= -2e+2e-e'+2e2 2e-4ee-4e23 82.3线性定常连续系统的受控运动 线性定常系统在控制作用下的运动称为线性定常系统的受控运动，其数学描述为非齐次 状态方程，即 (t)=Ax(t)+Bu(t) (8-59) 主要有如下两种解法： 1)积分法由式(859)，有

332 证明 由性质 3）有 (t − t) = (t)(−t) = (−t)(t) = (0) = I 根据逆矩阵的定义可得式(8-54)。根据 (t) 的这一性质，对于线性定常系统，显然有 1 x t t x x t x t t x t ( ) ( ) (0), (0) ( ) ( ) ( ) ( )    − = = = − 5） ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 x t =  t −t x t （8 - 5 5） 证明 由于 ( ) ( ) (0), (0) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 x t =  t x x =  t x t =  −t x t − 则 ( ) ( ) (0) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 1 1 x t = t x = t  −t x t = t −t x t 即由 ( ) 1 x t 转移至 ( ) 2 x t 的状态转移矩阵为 ( ) 2 1  t −t 。 6 ） ( ) 2 0  t − t ＝ ( ) 2 1  t −t ( ) 1 0  t − t （ 8 - 5 6 ） 证明 由 ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 x t =  t − t x t 和 ( ) ( ) ( ) 1 1 0 0 x t =  t − t x t 得到 ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 x t =  t −t x t ＝ ( ) 2 1  t −t ( ) 1 0  t − t ( ) 0 x t ＝ ( ) 2 0  t − t ( ) 0 x t 7） [ (t)] (kt) k  =  （8-57） 证明 [ ( )] ( ) ( ) ( ) t e e e kt k At k kAt A kt  ＝ = = = 8）若 AB = BA ，则 A B t At Bt Bt At e = e e = e e ( + ) （8-58） 例 8-11 已知状态转移矩阵为       − + − + − −  = − − − − − − − − t t t t t t t t e e e e e e e e t 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ，试求 (t), A −1  。 解 根据状态转移矩阵的运算性质有 2 2 1 2 2 2 2 2 2 0 2 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 0 1 (0) 2 4 4 2 3 t t t t t t t t t t t t t t t t t e e e e t t e e e e e e e e A e e e e − − − − − − − − − =   − −  =  − =     − + − +   − + − +   =  = =     − −   − −   8.2.3 线性定常连续系统的受控运动 线性定常系统在控制作用下的运动称为线性定常系统的受控运动，其数学描述为非齐次 状态方程，即 x (t) = Ax(t) + Bu(t) (8-59) 主要有如下两种解法： 1） 积分法 由式（8-59），有

e“[t)-Ar(】=eBu() 由于 孟e*0=-4e*0+e"0=e0-01 积分后有 ex()-x(0)=eButd x(t)=e4x(0)+[eBu(r)dr =(t)x(0)+(t-)Bu(t)dt (8-60) 式中，第一项为状态转移项，是系统对初始状态的响应，即零输入响应：第二项是系统对输 入作用的响应，即零状态响应。通过变量代换，式(8-60)又可表示为 x(t)=P(t)x(0)+(r)Bu(t-r)dr (8-61) 若取6作为初始时刻，则有 x)）=e-o'xo)+广ea-Bu(r)dr=p1-to)x()+广pu-r)Bu(r)dr(8-62) 2)拉普拉斯变换法将式(8-59)两端取拉氏变换，有 sX(s)-x(0)=AX(s)+BU(s) X(s)=(sI-A)X(0)+(sI-A)BU(s) 进行拉氏反变换有 x(t)=L(sI-A)-x(0)+L[(sI-A)-BU(s)] (8-63) 例8-12设系统状态方程为 「]「01Tx1「0] -2-3x 且x(0)=[x(O)x2(O)了，试求在()=1()作用下状态方程的解。 解由于()=1)，1-x)=1,根据式(8-61)可得 x(1)=(t)x(0)+()Bdr 333

333 [ ( ) ( )] ( ) − − − = At At e x t Ax t e Bu t 由于 [ ( )] ( ) ( ) [ ( ) ( )] − − − − = − + = − d At At At At e x t Ae x t e x t e x t Ax t dt 积分后有 0 ( ) (0) ( ) t At A e x t x e Bu t d   − − − =  即    x t e x e Bu d t At A t ( ) (0) ( ) 0 ( )  − = + = + ( ) (0) t x 0 ( ) ( ) t    t Bu t d −  （8-60） 式中，第一项为状态转移项，是系统对初始状态的响应，即零输入响应；第二项是系统对输 入作用的响应，即零状态响应。通过变量代换，式（8-60）又可表示为 0 ( ) ( ) (0) ( ) ( ) = + −  t x t t x Bu t d      (8-61) 若取 t0 作为初始时刻，则有    x t e x t e Bu d t t A t t A t ( ) ( ) ( ) 0 0 ( ) 0 ( )  − − = + = t t x t  t  Bu  d t t ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0  − + − (8-62) 2） 拉普拉斯变换法 将式（8-59）两端取拉氏变换，有 1 1 ( ) (0) ( ) ( ) ( ) ( ) (0) ( ) ( ) sX s x AX s BU s X s sI A X sI A BU s − − − = + = − + − 进行拉氏反变换有 ( ) ( ) (0) [( ) ( )] 1 1 1 1 x t L sI A x L sI A BU s − − − − = − + − (8-63) 例 8-12 设系统状态方程为 u x x x x       +            − − =      1 0 2 3 0 1 2 1 2 1   且 (0) [ (0) 1 x = x T x (0)] 2 ，试求在 u t t ( ) 1( ) = 作用下状态方程的解。 解 由于 u t t ( ) 1( ) = ，u t( ) 1 − =  ，根据式（8-61）可得 x t t x  Bd t =  +   0 ( ) ( ) (0) ( )

例8-18已求得 0-[322小园t有 「x(01「2e'-ee'-e[x(0)] 0-x0-2e+2e-e+2exo0 e+e4 e-ea 8.2.4线性定常离散系统的运动分析 求解离散系统运动的方法主要有z变换法和递推法，前者只适用于线性定常系统，而后 者对非线性系统、时变系统都适用，且特别适合计算机计算。下面用递推法求解系统响应， 重写系统的动态方程如下： ∫x(k+)=px()+G(k) y(k)=Cx(k)+Du(k) 令状态方程中的0,1，…，k1,可得到T,2T,…,灯时刻的状态，即 k=0:x(1)=(T)x(0)+G(T)u(O) k=1:x(2)=(T)x(0+G(T)u()=(T)x(0)+(T)G(T)uO)+G(T)u() k=2 x3)=(T)x(2)+G(T)u(2) =D'(T).x(0)+(T)G(T)u(0)+(T)G(T)u)+G(T)u(2) k-k-1:x(k)=(T)x(k-D)+G(T)u(k-1)=(T)x()+(T)G(T)u() (k)=Cx(k)+Dx(k)=C(T)(0)+C(T)G(T)()+Du(k) 于是，系统解为 334

334 例 8-18 已求得 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 2 t t t t t t t t e e e e t e e e e  − − − − − − − −   − − =     − + − + ，因此有 2 2 2 0 0 2 0 1 ( ) 2 2 t t t e e e e Bd d e e e e − − − − − − − −     − − +   =   − +       −   ＝             2 2 1 1 2 2 t t t t e e e e − − − −   +       − － ＋ ＝ 故 1 2 ( ) ( ) ( ) x t x t x t   =     ＝ 2 2 1 2 2 2 2 (0) 2 2 2 (0) t t t t t t t t e e e e x e e e e x − − − − − − − −   − −        − + − +   ＋ 2 2 1 1 2 2 t t t t e e e e − − − −   +       − － ＋ 8.2.4 线性定常离散系统的运动分析 求解离散系统运动的方法主要有 z 变换法和递推法，前者只适用于线性定常系统，而后 者对非线性系统、时变系统都适用，且特别适合计算机计算。下面用递推法求解系统响应， 重写系统的动态方程如下：    ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x k x k Gu k y k Cx k Du k + = +  = + 令状态方程中的 k=0，1，…，k-1，可得到 T，2T，…，kT 时刻的状态，即 k=0: x(1) = (T)x(0) + G(T)u(0) k=1: x(2) = (T)x(1) + G(T )u(1) ( ) (0) ( ) ( ) (0) ( ) (1) 2 =  T x +  T G T u + G T u k=2: x(3) = (T)x(2) + G(T)u(2) ( ) (0) ( ) ( ) (0) ( ) ( ) (1) ( ) (2) 3 2 =  T x +  T G T u +  T G T u + G T u k=k-1: x(k) = (T)x(k −1) + G(T)u(k −1)  − = − − =  +  1 0 1 ( ) (0) ( ) ( ) ( ) k i k k i T x T G T u i y(k) = Cx(k) + Dx(k)  − = − − =  +  + 1 0 1 ( ) (0) ( ) ( ) ( ) ( ) k i k k i C T x C T G T u i Du k 于是，系统解为

-w0ra-an (8-64) y(k)=Cx(0)+CGM()+DM(k) 8.2.5连续系统的离散化 计算机只能处理离散信号，现代控制系统是基于计算机的控制系统，因此无论是控制， 还是分析计算，都存在信号的离散化问题，连续系统离散化实际上是状态方程的离散化。 1.线性定常连续系统的离散化 己知线性定常连续系统状态方程文=Ar+Bu在x(。)及()作用下的解为 x(t)=(t-t)x(to)+[(t-t)Bu(t)dr 假定采样过程时间间隔相等，令。=kT,则x(,)=x(kx)=x():令1=(k+)T,则 x)=xk+)T]=x(k+):并假定在∈[k,k+1]区间内，0)=Mk切=常数，于是其 解化为 k+=k+Ir-k灯k)+店"k+r-T]Bdr 若记 G(T)-(k+]Bdr 通过变量代换得到 G(T)=[P()Bdr (8-66) 故离散化状态方程为x(k+)-中(T)x(k)+G(T)uk) (8-67) 式中，D(T)与连续状态转移矩阵中()的关系为(T)=()儿 (8-68) 2.非线性时变系统的离散化及分析方法 对于式(81)表示的非线性时变系统，状态方程很难求得解析解，常采用近似的离散 化处理方法。当采样周期T足够小时，按导数定义有 )≈[x(k+)-xk】 代入(8-3a)得到离散化状态方程 x(k+I)=x(k)+T1x(k),(k),k] (8-69) 对于非线性时变系统，一般都是先离散化，然后再用递推计算求数值解的方法进行系统 的运动分析。 335

335      1 1 0 1 1 0 ( ) (0) ( ) ( ) (0) ( ) ( ) k k k i i k k k i i x k x Gu i y k C x C Gu i Du k     − − − = − − − = = + = + +   (8-64) 8.2.5 连续系统的离散化 计算机只能处理离散信号，现代控制系统是基于计算机的控制系统，因此无论是控制， 还是分析计算，都存在信号的离散化问题，连续系统离散化实际上是状态方程的离散化。 1.线性定常连续系统的离散化 已知线性定常连续系统状态方程 x Ax Bu = + 在 ( ) 0 x t 及 u(t)作用下的解为 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t x t t t x t t Bu d =  − +  −    假定采样过程时间间隔相等，令 t 0 = kT ，则 0 x t x k x k ( ) ( ) ( ) = =  ；令 t = (k +1)T ，则 x(t) = x[(k +1)T] = x(k +1) ；并假定在 t∈[k，k+1]区间内，u(t) = u(kT) = 常数，于是其 解化为 ( 1) ( 1) [( 1) ] ( ) [( 1) ] ( ) k T kT x k k T kT x k k T Bd u k   + + =  + − +  + −  若记 G(T ) = ( 1) [( 1) ] k T kT k T Bd   +  + −  通过变量代换得到 0 ( ) ( ) T G T Bd =     （8-66） 故离散化状态方程为 x(k +1) = (T)x(k) + G(T)u(k) （8-67） 式中， (T ) 与连续状态转移矩阵 (t) 的关系为 (T ) = t T t  = ( ) | （8-68） 2.非线性时变系统的离散化及分析方法 对于式（8-1）表示的非线性时变系统，状态方程很难求得解析解，常采用近似的离散 化处理方法。当采样周期 T 足够小时，按导数定义有 1 x k x k x k ( ) [ ( 1) ( )] T  + − 代入（8-3a）得到离散化状态方程 x k x k Tf x k u k k ( 1) ( ) [ ( ), ( ), ] + = + （8-69） 对于非线性时变系统，一般都是先离散化，然后再用递推计算求数值解的方法进行系统 的运动分析