第四章根轨迹法 一、根轨迹的定义 开环系统的传递函数某一参数从0→∞变化时，闭环系统特征方程的根在S平面（根平面） 上的变化曲线称为根轨迹。 二、绘制根轨迹的基本条件 1.根轨迹方程为 Gs)H(s)=-1 (4-1) 或写成 k(s+=) G(s)H(s)= -1 (4-2) I6+p,) 上式中：-三，一系统的开环零点： 一P,-系统的开环极点。 2.绘制根轨迹的两个基本条件 1)幅角条件 ∠GsHs)=2∠s+)-2s+p,)=(2k+Im (43) 2)幅值条件 KIs+3 G(s)H(s)= =1 I+pl +el 或写成 k=- (4-4) +动
第四章 根轨迹法 一、根轨迹的定义 开环系统的传递函数某一参数从 0 → 变化时，闭环系统特征方程的根在 S 平面（根平面） 上的变化曲线称为根轨迹。 二、绘制根轨迹的基本条件 1. 根轨迹方程为 G(s)H(s) = −1 （4-1） 或写成 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 = − + + = = = n j j m i i s p k s z G s H s （4-2） 上式中： − zi −系统的开环零点 ； − p j −系统的开环极点。 2. 绘制根轨迹的两个基本条件 1) 幅角条件 ( ) ( ) ( ) ( ) (2 1) 1 1 = + − + = + = = G s H s s z s p k n j j m i i （4-3） 2) 幅值条件 ( ) ( ) 1 1 1 = + + = = = n j j m i i s p k s z G s H s 或写成 = = + + = m i i n j j s z s p k 1 1 （4-4）
三、绘制根轨迹的基本规则 1.常规根轨迹（又称180°根轨迹）的绘制 )根轨迹的分支数等于开环极点数，每一条根轨迹分支起始于一个开环零点。其中 m条根轨迹终止于m个开环有限零点，其余n一m条根轨迹终止于无穷远处（无 限零占处) 2) 根轨迹 与实轴对称 3)实轴上根轨迹右边的开环实数零点和实数极点的总数为奇数 4)根轨迹的渐近线：当n>m时，有n-m条根轨迹的终点趋向无穷远处（趋向渐近 线)。 渐近线的倾角·。为 克=±2k+1z (k=01,2 (4-5) 月-月 渐近线与实轴的交点为 (4-6) n-m )根轨迹的分离点（会合点）。可通过解方程 =0的根的方法求出。或可用下式求 出。 (4-7) 式中：d为分离点坐标 说明：由上式计算出的分离点（会合点）d,应检验并舍去不在根轨迹上的点。 6)根轨迹复数极点的出射角和复数零点的入射角可分别由下述两式计算确定： 出射角 0=±180°+2a-2B (4-8) 入射角 0=±180°-ia,+2B, (4-9) 7)根轨迹与虚轴的交点可用劳斯判据或令特征方程中的s=0来求得。 8)根轨迹上任一点5的k值可由下式求得 小+p1b k (410) i+小ia
三、绘制根轨迹的基本规则 1. 常规根轨迹（又称 180 根轨迹）的绘制 1) 根轨迹的分支数等于开环极点数 n ，每一条根轨迹分支起始于一个开环零点。其中 m 条根轨迹终止于 m 个开环有限零点，其余 n −m 条根轨迹终止于无穷远处（无 限零点处）。 2) 根轨迹与实轴对称 3) 实轴上根轨迹右边的开环实数零点和实数极点的总数为奇数。 4) 根轨迹的渐近线：当 n m时，有n-m 条根轨迹的终点趋向无穷远处（趋向渐近 线）。 渐近线的倾角 a 为 ( 0,1,2 ) (2 1) = − + = k n m k a （4-5） 渐近线与实轴的交点为 n m p z m i i n j j a − − = =1 =1 （4-6） 5) 根轨迹的分离点（会合点），可通过解方程 = 0 ds dk 的根的方法求出。或可用下式求 出。 = = − = − m j m j i i 1 d p 1 d z 1 1 （4-7） 式中： d 为分离点坐标 说明：由上式计算出的分离点（会合点） d ，应检验并舍去不在根轨迹上的点。 6) 根轨迹复数极点的出射角和复数零点的入射角可分别由下述两式计算确定: 出射角 = = = + − n j j m i i 1 1 180 （4-8） 入射角 = − = = − + n j j m i i 1 1 1 180 （4-9） 7) 根轨迹与虚轴的交点可用劳斯判据或令特征方程中的 s = j 来求得。 8) 根轨迹上任一点 s 的 k 值可由下式求得 = = = = = + + = m i i n j j m i i n j j a b s z s p k 1 1 1 1 （4-10）
式中：b,-开环极点至s点的模 a,一开环零点至s点的模。 2.参数根轨迹（又称广义根轨迹）的绘制 系统中除了根轨迹增益k以外，其它参数变化时（例如时间常数T)对应的轨迹。 绘制参数根轨迹要利用等效开环传递函数的概念。 1)等效开环传递函数的求取 将系统的特征方程1+G(s)H(s)=0 中含与不含可变参数k的各项分开。 1+G(s)H(s)=0 (4-11) 即，将特征方程(4-11)式改写成 Q(s)+k'P(s)=0 再将上式两项除以Q(s),即改写成 1+P=0 (4-12 Os) 由上式即可得等效开环传递函数G,(S)H,(s) G.(s)H,()-'P) (4-13 Q(s) 再根据绘制根轨迹的基本规则，可画出以k为参变量的广义根轨迹。 2)要注意：等效开环传递函数中的“等效”，是指与原系统有相同的闭环极点。等 效传递函数的零点不一定是原系统的零点。当确定系统闭环零点时，必须由原系统开环 传递函数确定 2.补根轨迹图（又称0°根轨迹）的绘制。补根轨迹图是指开环增益k从-0→0 时的根轨迹图。即满足方程 1-G(s)H(s)=0 (4-14) 上式实际上是对应正反馈系统的特征方程，故0°根轨迹又常指正反馈系统的根轨
式中： bj − 开环极点至s点的模 ； ai −开环零点至s点的模。 2. 参数根轨迹（又称广义根轨迹）的绘制 系统中除了根轨迹增益 k 以外，其它参数变化时（例如时间常数 T ）对应的轨迹。 绘制参数根轨迹要利用等效开环传递函数的概念。 1）等效开环传递函数的求取 将系统的特征方程 1+ G(s)H(s) = 0 中含与不含可变参数 * k 的各项分开。 1+ G(s)H(s) = 0 （4-11） 即，将特征方程（4-11）式改写成 ( ) ( ) 0 * Q s + k P s = 再将上式两项除以 Q(s) ，即改写成 0 ( ) ( ) 1 * + = Q s k P s （4-12） 由上式即可得等效开环传递函数 ( ) ( ) 1 1 G s H s ( ) ( ) ( ) ( ) * 1 1 Q s k P s G s H s = （4-13） 再根据绘制根轨迹的基本规则，可画出以 * k 为参变量的广义根轨迹。 2）要注意：等效开环传递函数中的“等效”，是指与原系统有相同的闭环极点。等 效传递函数的零点不一定是原系统的零点。当确定系统闭环零点时，必须由原系统开环 传递函数确定。 2．补根轨迹图（又称 0 根轨迹）的绘制。补根轨迹图是指开环增益 k从 − → 0 时的根轨迹图。即满足方程 1− G(s)H(s) = 0 （4-14） 上式实际上是对应正反馈系统的特征方程，故 0 根轨迹又常指正反馈系统的根轨
迹。 绘制0°根轨迹时，只需将常规根轨迹法规则中与相角条件有关的规则加以修改即 可。即常规的规则中将有三处需要加以修改： 1)实轴上的根轨迹是指实轴上的某线段右侧的开环零、极点个数之和为偶数时，该线 段为实轴上的根轨迹。 2) 0°根轨迹渐近线与实轴正方向的夹角为 2kπ 0a= (4-15) n-m 3)0°根轨迹的出射角和入射角分别为 0。=0°+2∠p,-)-2∠p,-p,) 8,=0°-2∠a-)+∑∠e-p,) itl 其它的绘制规则均与常规的相同
迹。 绘制 0 根轨迹时，只需将常规根轨迹法规则中与相角条件有关的规则加以修改即 可。即常规的规则中将有三处需要加以修改： 1) 实轴上的根轨迹是指实轴上的某线段右侧的开环零、极点个数之和为偶数时，该线 段为实轴上的根轨迹。 2) 0 根轨迹渐近线与实轴正方向的夹角为 n m k a − = 2 （4-15） 3) 0 根轨迹的出射角和入射角分别为 = = = + − − − n j l j l j m i p pl zi p p l 1 1 0 ( ) ( ) = = = − − + − n j l j m i l i z zl zi z p l 1 1 0 ( ) ( ) 其它的绘制规则均与常规的相同