第九章非线性控制系统 一、非线性控制系统的基本概念 实际的控制系统中都存在非线性元件，或者一些部件的特性中含有非线性特性。在一些系统 中，还人为的加入非线性元件来改善系统性能。因此严格的讲，几乎所有的控制系统都是非 线性的。当非线性程度较小，可以用线性化的方法来处理。这种非线性称为非本质非线性。 当控制系统中非线性程度较强时，用线性化方法米研究系统会带来很大的误差，甚至会得到 错误的结论。这种非线性称为本质非线性。 本质非线性特性有死区特性 继由特性签。 死区 特性将使系统出现较大的稳态误差。饱和特性会降低系统的超调量 ,有时会引起稳定振荡 间隙特性可使系统的振荡加剧，静差也会增大。有时也会使系统不稳定。 与线性系统相比，非线性系统有以下几个特点： 1 线性系统可以采用叠加原理，而非线性系统则不能， 2 线性系统的稳定性与初值和系统的输入无关。而非线性系统则有关。 3. 线性系统可以写出通解形式，而非线性系统则不能 4. 非线性系统的稳定性和响应形式，除了与系统结构和参数有关外，还和系统的初始 条件有关。非线性系统的平衡点可能不止一个，可能在某个局部范围稳定，在另 个范围却不稳定。故对非线性系统来说，不能笼统地说系统是否稳定，而只能说明 系统在多大范围内的稳定性。 5. 非线性系统的输出响应，除了收敛和发散两种运动状态外，还会产生与输入幅值 频率和自身结构参 有关的稳定的自振运动 6.非线性元件的正弦响应会产生非线性畸变，输出响应中除了会有与输入同频率的基 波成分外，还有其它各种谐波分量。 二、描述函数法 描述函数是分析非线性系统的一种近似方法，它是线性系统理论中的频率特性法在非线性系 统中的应用。它主要用于对一类非线性系统的稳定性分析及输出响应分析，此方法不受系统 的阶数限制。 1.描述函数的基本概念 描述函数是非线性元件在正弦输入作用下的输出响应用一次谐波分量来近似，得到 非线性元件（环节）的等效近似频率特性。用描述函数法分析非线性系统有如下条 件。 )非线性元件的特性具有奇对称性（一般的死区、饱和、间隙、继电等非线性特性均 有奇对称性)。 2)系统可简化成只有一个非线性环节和一个线性环节串联的典型单位反馈结构。 3)非线性环节输出中的高次谐波幅值小于一次谐波幅值。 4)线性部分的低通滤波性能很好。 2.描述函数N
第九章 非线性控制系统 一、非线性控制系统的基本概念 实际的控制系统中都存在非线性元件，或者一些部件的特性中含有非线性特性。在一些系统 中，还人为的加入非线性元件来改善系统性能。因此严格的讲，几乎所有的控制系统都是非 线性的。当非线性程度较小，可以用线性化的方法来处理。这种非线性称为非本质非线性。 当控制系统中非线性程度较强时，用线性化方法来研究系统会带来很大的误差，甚至会得到 错误的结论。这种非线性称为本质非线性。本质非线性特性有死区特性、继电特性等。死区 特性将使系统出现较大的稳态误差。饱和特性会降低系统的超调量，有时会引起稳定振荡。 间隙特性可使系统的振荡加剧，静差也会增大。有时也会使系统不稳定。 与线性系统相比，非线性系统有以下几个特点： 1. 线性系统可以采用叠加原理，而非线性系统则不能。 2. 线性系统的稳定性与初值和系统的输入无关。而非线性系统则有关。 3. 线性系统可以写出通解形式，而非线性系统则不能。 4. 非线性系统的稳定性和响应形式，除了与系统结构和参数有关外，还和系统的初始 条件有关。非线性系统的平衡点可能不止一个，可能在某个局部范围稳定，在另一 个范围却不稳定。故对非线性系统来说，不能笼统地说系统是否稳定，而只能说明 系统在多大范围内的稳定性。 5. 非线性系统的输出响应，除了收敛和发散两种运动状态外，还会产生与输入幅值， 频率和自身结构参数有关的稳定的自振运动。 6. 非线性元件的正弦响应会产生非线性畸变，输出响应中除了会有与输入同频率的基 波成分外，还有其它各种谐波分量。 二、描述函数法 描述函数是分析非线性系统的一种近似方法，它是线性系统理论中的频率特性法在非线性系 统中的应用。它主要用于对一类非线性系统的稳定性分析及输出响应分析，此方法不受系统 的阶数限制。 1. 描述函数的基本概念 描述函数是非线性元件在正弦输入作用下的输出响应用一次谐波分量来近似，得到 非线性元件（环节）的等效近似频率特性。用描述函数法分析非线性系统有如下条 件。 1) 非线性元件的特性具有奇对称性（一般的死区、饱和、间隙、继电等非线性特性均 有奇对称性）。 2) 系统可简化成只有一个非线性环节和一个线性环节串联的典型单位反馈结构。 3) 非线性环节输出中的高次谐波幅值小于一次谐波幅值。 4) 线性部分的低通滤波性能很好。 2．描述函数 N
描述函数N定义为非线性特性输出的一次谐波分量与输入正弦量的复数比，即 ==是+ (91 式中：Y一一非线性环节输出信号基波分量的幅值，y=√+B X一一为输入正弦信号的幅值 4一一非线性环节输出信号基波分量与输入正弦信号的相位差 有=g会 A,B一一输出信号基波分量的傅氏系数 一般情况下，描述函数N是与输入信号X的幅值和频率0有关的复数。故又写成 N(X,),但是对于大多数的非线性元件，其描述函数N只是X的函数，故常记为 N(X) 3.用描述函数法分析非线性系统的稳定性和自振 在描述函数法中，可根据非线性控制系统中非线性部分的频率特性Go)曲线（奈 的相对位置来判断非线性系统的稳定性。 1 氏图)和非线性部分的负倒描述函数 )当线性部分传递函数G(s)中右半平面有极点数为P时 )若GU回)曲线逆时针包围整个-曲线网，则该非线性系统是稳定 的，否则是不稳定的。 )若G心UO)曲线与一入鱼线设有交点。则系统不存在周期检的等幅银高。 1 者GU)线与曲线有交点，则性系线处于信老志优时相 当于线性系统中G(j@)通过(-1，j0)点)，存在等幅振荡。如该等幅振荡是 稳定的（即不会发散），则称之为自激振荡（又成为自振点）。 2)当线性部分传递函数G(5)中没有右半平面的极点数，即P=0时
描述函数 N 定义为非线性特性输出的一次谐波分量与输入正弦量的复数比，即 X A j X B e X Y N 1 j 1 1 1 = = + （9-1） 式中： Y1——非线性环节输出信号基波分量的幅值， 2 1 2 Y1 = A1 + B X ——为输入正弦信号的幅值 1——非线性环节输出信号基波分量与输入正弦信号的相位差， 1 1 1 1 B A tg − = 1 1 A ,B ——输出信号基波分量的傅氏系数 一般情况下，描述函数 N 是与输入信号 X 的幅值和频率 有关的复数。故又写成 N(X ,) ，但是对于大多数的非线性元件，其描述函数 N 只是 X 的函数，故常记为 N(X )。 3．用描述函数法分析非线性系统的稳定性和自振 在描述函数法中，可根据非线性控制系统中非线性部分的频率特性 G( j) 曲线（奈 氏图）和非线性部分的负倒描述函数 ( ) 1 N X − 的相对位置来判断非线性系统的稳定性。 1) 当线性部分传递函数 G(s) 中右半平面有极点数为 P 时 a) 若 G( j) 曲线逆时针包围整个 ( ) 1 N X − 曲线 2 P 周，则该非线性系统是稳定 的，否则是不稳定的。 b) 若 G( j) 曲线与 ( ) 1 N X − 曲线没有交点，则系统不存在周期性的等幅振荡。 若 G( j) 曲线与 ( ) 1 N X − 曲线有交点，则非线性系统处于临界状态（此时相 当于线性系统中 G( j) 通过（-1，j0）点），存在等幅振荡。如该等幅振荡是 稳定的（即不会发散），则称之为自激振荡（又成为自振点）。 2） 当线性部分传递函数 G(s) 中没有右半平面的极点数，即 P =0 时
)若GU®)曲线不包围-X曲线.则非线性系统稳定，若GU@)曲线包图 M曲线，则非线性系统不稳定。 1 》者GU)线与一乃曲线相胶。则系统存在周期运动（板精。如果这个 振荡是稳定的，则称之为自振点。 3)非线性系统是否存在自振点（自激振荡）的判别方法 非线性部分的幅相频率特性（奈氏图）把复平面分为两个区域，被GU)曲线包 围的区域称为不稳定区：未被G(@)曲线包围的曲线称为稳定区，若一 线随振幅A增加的方向从不稳定区移动到稳定区，则对应的穿越点对应的是系统 的一个稳定的周期运动，即自振点。自振频率由G(j)在该点处的0值确定，自 振幅值由 N在该点处的水值确定。具体计算的方法是：将 G(U@)N(X)=-1的等号两端分解为实部和虚部（或模和相角）。令两端实部和虚 部相等，即可求出自振参数X和0。 三、相平面法 1.相平面法的基本概念：设描述二阶非线性系统的微分方程为元=∫（元x),其 解为x)。若以x为横坐标，文为纵坐标，则所构成的平面成为相平面。系统 的某一状态对应于相平面上的一点，相平面上的点随时间变化的轨迹称之为相 轨迹。通过相轨迹来分析系统运动情况的方法称之为相平面法。由于相平面上 只有两个独立的变量x和，故相平面法只能用于一阶、二阶线性或非线性系 统。 2.相轨迹的求法 相轨迹的求法有解析法和图解法两类 1)解析法 同求解微分方程得出x和的关系，并绘制在相平面上的方法，称之为解析法
a) 若 G( j) 曲线不包围 ( ) 1 N X − 曲线，则非线性系统稳定，若 G( j) 曲线包围 ( ) 1 N X − 曲线，则非线性系统不稳定。 b) 若 G( j) 曲线与 ( ) 1 N X − 曲线相交，则系统存在周期运动（振荡）。如果这个 振荡是稳定的，则称之为自振点。 3） 非线性系统是否存在自振点（自激振荡）的判别方法 非线性部分的幅相频率特性（奈氏图）把复平面分为两个区域，被 G( j) 曲线包 围的区域称为不稳定区；未被 G( j) 曲线包围的曲线称为稳定区，若 ( ) 1 N X − 曲 线随振幅 A 增加的方向从不稳定区移动到稳定区，则对应的穿越点对应的是系统 的一个稳定的周期运动，即自振点。自振频率由 G( j) 在该点处的 值确定，自 振幅值由 ( ) 1 N X − 在该点处的 X 值确定。具体计算的方法是：将 G( j)N(X ) = −1 的等号两端分解为实部和虚部（或模和相角）。令两端实部和虚 部相等，即可求出自振参数 X和 。 三、相平面法 1. 相平面法的基本概念：设描述二阶非线性系统的微分方程为 x = f (x , x) ，其 解为 x(t) 。若以 x 为横坐标， x 为纵坐标，则所构成的平面成为相平面。系统 的某一状态对应于相平面上的一点，相平面上的点随时间变化的轨迹称之为相 轨迹。通过相轨迹来分析系统运动情况的方法称之为相平面法。由于相平面上 只有两个独立的变量 x和x ，故相平面法只能用于一阶、二阶线性或非线性系 统。 2. 相轨迹的求法 相轨迹的求法有解析法和图解法两类 1) 解析法 同求解微分方程得出 x和x 的关系，并绘制在相平面上的方法，称之为解析法
因为玉=密。多=作到，所以资=低动，著可将其分解成 g()=h(x),将方程两边同时积分，再代入初始条件，就可得到和r的 关系。 2)图解 当￥=在利不易求解或乐=依)不可分解成g达=M本的形式 时，可用图解法求相轨迹，常用的图解法有等倾线法、♂法等 a)等倾线法 令a=盘即a=化，对于a的不同取值，由a=c,/可得到和 的不同关系式，而且在曲线α=f(x,)/:上，均具有相同的斜率α。给出一组α，就 可近似描绘出相轨迹图，也即相平面图。 b)6方法 将非线性微分方程=f低对两边同加。x可得 求+2x=fx,)+2x x,)=x)+o2x 02 +'x=8(x,)o2 因此 (月+-8= (9-2) 式中： 利用式(9-2)就可得点（化，）领域内的相平面图形。 3.奇点和奇线 1)奇点 若在相平面图上的某点上有f化，)和同时为，则=任)-0有不 定值。说明有无穷多条相轨迹趋近或离开该点。相轨迹会在该点相交，这样的点称 为起点。奇点位于x轴上，线性二次系统只有一个平衡状态，所以相轨迹也只有一 个奇点。非线性二阶系统可能存在多个平衡状态，因此可能有多个奇点，根据线性 二阶系统的特征根在复平面上不同的分布，可以将奇点分为六类：即稳定焦点、不 稳定焦点、稳定节点、不稳定节点、中心点和鞍点。对于非线性系统，当非线性元
因 为 x f(x,x) dt dx x x = , = ，所以 f(x,x) dt dx x = ，若可将其分解成 g(x )dx = h(x)dx ，将方程两边同时积分，再代入初始条件，就可得到 x和x 的 关系。 2) 图解法 当 x = f(x,x ) 不易求解或 f(x,x) dt dx x = 不可分解成 g(x )dx = h(x)dx 的形式 时，可用图解法求相轨迹，常用的图解法有等倾线法、 法等。 a) 等倾线法 令 dx dx = ，即 = f (x, x )/ x ，对于 的不同取值，由 = f (x, x )/ x 可得到 x和x 的不同关系式，而且在曲线 = f (x, x )/ x 上，均具有相同的斜率 。给出一组 ，就 可近似描绘出相轨迹图，也即相平面图。 b) 方法 将非线性微分方程 x = f(x,x ) 两边同加 x 2 可得 x x f x x x 2 2 + = ( , ) + 令 2 2 ( , ) ( , ) f x x x x x + = 得 2 2 x + x = (x, x ) 因此 2 1 2 1 2 ( ) + − = x x （9-2） 式中： 2 2 1 1 2 2 1 1 1 ( , ), ( ) = = + x − x x x 利用式（9-2）就可得点 (x, x ) 领域内的相平面图形。 3．奇点和奇线 1) 奇点 若在相平面图上的某点上有 f (x, x )和x 同时为零，则 0 ( , ) 0 = = = x dx x f x x 有不 定值。说明有无穷多条相轨迹趋近或离开该点。相轨迹会在该点相交，这样的点称 为起点。奇点位于 x 轴上，线性二次系统只有一个平衡状态，所以相轨迹也只有一 个奇点。非线性二阶系统可能存在多个平衡状态，因此可能有多个奇点，根据线性 二阶系统的特征根在复平面上不同的分布，可以将奇点分为六类；即稳定焦点、不 稳定焦点、稳定节点、不稳定节点、中心点和鞍点。对于非线性系统，当非线性元
件的静态特性可以用分段直线表示时，可以用几个分段线性系统来表示，这时，可 以将相平面图划分成若干个区域，每一个区域对应一个线性工作状态，都有一个奇 点。 因此，只要掌握了线性二次系统相平面图的特征，便可确定非线性系统在每个 奇点附近的相轨迹形状。 2)奇线 奇线是特殊的相轨迹。它将相平面图划分为具有不同运动特点的各个区域，最 常见的是奇线是极限环，它在相平面图上可表示为一个孤立的封闭相轨迹，所有附 近的相轨迹都渐近的趋向它或离开它。极限环分为稳定的、不稳定的和半稳定的三 种。非线性系统可能没有极限环，也可能有一个或几个极限环。 4.由相轨迹求时间响应x0) 由相轨迹可以求系统的实践响应x(),常用的求时间响应的方法有三种。 1)根据 加-仁求时间有应 2)根据 1=∫片山求时间响应 根据圆弧近似法求时间响应
件的静态特性可以用分段直线表示时，可以用几个分段线性系统来表示，这时，可 以将相平面图划分成若干个区域，每一个区域对应一个线性工作状态，都有一个奇 点。因此，只要掌握了线性二次系统相平面图的特征，便可确定非线性系统在每个 奇点附近的相轨迹形状。 2) 奇线 奇线是特殊的相轨迹。它将相平面图划分为具有不同运动特点的各个区域，最 常见的是奇线是极限环，它在相平面图上可表示为一个孤立的封闭相轨迹，所有附 近的相轨迹都渐近的趋向它或离开它。极限环分为稳定的、不稳定的和半稳定的三 种。非线性系统可能没有极限环，也可能有一个或几个极限环。 4．由相轨迹求时间响应 x(t) 由相轨迹可以求系统的实践响应 x(t) ，常用的求时间响应的方法有三种。 1) 根据 x x t = 求时间响应 2) 根据 = dt x t 1 求时间响应 根据圆弧近似法求时间响应