第七章离散控制系统 一、离散控制系统的基本概念 1.控制系统中有一处或几处的信号是脉冲信号序列或数字信号的系统，称之为离散控 制系统。 2.在离散控制系统中，通常控制器的输入和输出信号是数字信号，受控对象的输入和 输出信号是连续信号（又称之为模拟量信号），因此需要有AWD转换器和DA转换 AD转换器，它相当于一个采样开关，将连续信号转换或数字信号（又称离散信号） 4.DA转换器，它将数字信号（离散信号）转换成模拟信号（连续信号），工程上常 用的是通过零阶保持器(ZOH)来完成的。零阶保持器的传递函数为 G,(s)=1-e-h 二、香农采样定理 为了使离散信号能够完全复现原连续信号，采样时应符合香农采样定理，即 0,220 (7-1) 式中：8一二一为采样频率，了为采样周明 0。一一为连续信号所含最高频率分量的频率。 香农定理给出了，的最低限，实际应用中0，要取得比0大得多。 三、Z变换的定义和定理 1.Z变换的定义 Xe=本ol4wn小-2an 2.Z变换的定理： Z变换有线性、位移、初值、终值和卷积等定理。 3.Z反变换 Z反变换是将Z域函数X()变换成时域函数x'(),记作
第七章 离散控制系统 一、离散控制系统的基本概念 1. 控制系统中有一处或几处的信号是脉冲信号序列或数字信号的系统，称之为离散控 制系统。 2. 在离散控制系统中，通常控制器的输入和输出信号是数字信号，受控对象的输入和 输出信号是连续信号（又称之为模拟量信号），因此需要有 A/D 转换器和 D/A 转换 器。 3. A/D 转换器，它相当于一个采样开关，将连续信号转换或数字信号（又称离散信号）。 4. D/A 转换器，它将数字信号（离散信号）转换成模拟信号（连续信号），工程上常 用的是通过零阶保持器（ZOH）来完成的。零阶保持器的传递函数为 s e G s Ts h − − = 1 ( ) 二、香农采样定理 为了使离散信号能够完全复现原连续信号，采样时应符合香农采样定理，即 s 2 m （7-1） 式中： T s 2 = ——为采样频率， T 为采样周期 m——为连续信号所含最高频率分量的频率。 香农定理给出了 s 的最低限，实际应用中 s 要取得比 m 大得多。 三、Z 变换的定义和定理 1. Z 变换的定义 X (z) = = − = = 0 * ( ) ( ) ( ) k k Z x t Z x k T x k T z 2. Z 变换的定理： Z 变换有线性、位移、初值、终值和卷积等定理。 3. Z 反变换 Z 反变换是将 Z 域函数 X (z) 变换成时域函数 ( ) * x t ，记作
x0)=zXG)] Z反变换常用的方法有长除法，部分分式法和留数法。 4.Z反变换的局限性 1)Z反变换只反映采样点上的信息，不能描述系统在采样间隔中的状态。 2)在采样周期T一定时，连续信号x)的离散信号x'()是一定的。但某一离散信号 x'()并不对应唯一的连续函数x()。 四、线性定常离散系统的数学棋型 1.差分方程 2aa-0-26a-)0≤) (7-2 2.离散状态方程 (x(k+1)=G(T)x(k)+H(T)u(k) y(k)=Cx(k) (7-3) 3.复数模型 o号 (7-4) 4.离散化模型 G(T)=e4r HT=e"B咖 (7-5 五、离散控制系统的稳定性分析 1.用朱利判据：设离散系统的闭环特征多项式为 Pe)=1+G(e)=an+an-2+…+a2+a (7-6 首先将各系数排成朱利阵列（略） 朱利判据：线性定常离散系统稳定的充分必要条件是： 1)P1)>0 (7-7) 2)(-1)”P(-1)>0,且满足下列(n-1)个约束条件： (7-8) laol<la bol<lcol<lc2..Vol<mol<m2l
) ( ) * x (t X z -1 = Z Z 反变换常用的方法有长除法，部分分式法和留数法。 4. Z 反变换的局限性 1) Z 反变换只反映采样点上的信息，不能描述系统在采样间隔中的状态。 2) 在采样周期 T 一定时，连续信号 x(t) 的离散信号 ( ) * x t 是一定的。但某一离散信号 ( ) * x t 并不对应唯一的连续函数 x(t) 。 四、线性定常离散系统的数学模型 1. 差分方程 ( ) ( ) ( ) 0 0 a y n i b x n i l k l i i k i i − = − = = （7-2） 2. 离散状态方程 = + = + ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) y k Cx k x k G T x k H T u k （7-3） 3. 复数模型 ( ) ( ) ( ) X z Y z G z = （7-4） 4. 离散化模型 = = T AT AT G T e H T e Bdt 0 ( ) ( ) （7-5） 五、离散控制系统的稳定性分析 1. 用朱利判据：设离散系统的闭环特征多项式为 0 1 1 1 0 1 P(z) 1 G (z) a z a z a z a n n n = + = n + + + + − − （7-6） 首先将各系数排成朱利阵列（略） 朱利判据：线性定常离散系统稳定的充分必要条件是： 1) P(1) 0 ； （7-7） 2) (−1) n P(−1) 0, 且满足下列（n -1)个约束条件； （7-8） 0 0 1 0 2 0 3 0 2 a an , b bn− , c cn− , l l , m m
2.利用双线性变换：即令闭环特征方程P()=0中的：进行W变换，即令 :-”+!得到特征方程P)=0,再用芳斯判据判别稳定性。 w-1 六、离散控制系统的稳态误差计算 1.单位反馈离散系统的误差脉冲传递函数为 1 (7-9) R(=)1+G(=) 式中：G。(:)一一为系统开环脉冲传递函数，见图T-1 as.fc. C(z） 由t9》每e)-1+日）-0 1 利用Z变换终值定理可计算离散系统的稳态误差为 图1.7-1 1 mc0=co)=e-Be)=e-11+GaR89）(7.1D 由式(7-11)可知，离散系统的稳态误差与连续系统的类似，也与输入信号有关。 2.离散系统的稳态误差系数和稳态误差的计算 )单位阶跃输入时，)=三由式(.)可得 2 1 e四)=e-01+G,白：-1+mG,a1+K, (7-12 上式中：Kp=mG,(e,称为位置误差系数。 2)单位额坡输入时，9)产：一由式D可餐 1T: T eo)=-01+G,日e-e-q日》 上式中：K,=宁：-G,(,称为速度误差系数。 》单港物成输入时，眉日一仁.由式》司形
2．利用双线性变换：即令闭环特征方程 P(z) = 0 中的 z 进行 w 变换，即令 1 1 − + = w w z 得到特征方程 P(w) = 0 ，再用劳斯判据判别稳定性。 六、离散控制系统的稳态误差计算 1. 单位反馈离散系统的误差脉冲传递函数为 1 ( ) 1 ( ) ( ) 0 R z G z E z + = （7-9） 式中： ( ) 0 G z ——为系统开环脉冲传递函数，见图 7-1 由式（7-9）得 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 0 R z G z E z + = （7-10） 利用 Z 变换终值定理可计算离散系统的稳态误差为 ( ) 1 ( ) 1 lim ( ) ( ) lim ( 1) ( ) lim ( 1) 0 1 1 * * R z G z e t e z E z z t z z + = = − = − → → → （7-11） 由式（7-11）可知，离散系统的稳态误差与连续系统的类似，也与输入信号有关。 2. 离散系统的稳态误差系数和稳态误差的计算 1) 单位阶跃输入时， 1 ( ) − = z z R z ，由式（7-11）可得 p z z z G z K z G z e z + = + = − + = − → → 1 1 1 lim ( ) 1 1 ( ) 1 1 ( ) lim ( 1) 0 1 0 1 * （7-12） 上式中： lim ( ) 0 1 Kp G z z→ = ，称为位置误差系数。 2) 单位斜坡输入时， 2 ( 1) ( ) − = z Tz R z ，由式（7-11）可得 v z z z G z K T z Tz G z e z 1 ( 1) ( ) lim 1 ( ) ( 1) 1 ( ) lim ( 1) 0 1 2 0 1 * = − = − + = − → → （7-13） 上式中： lim ( 1) ( ) 1 0 1 z G z T K z v = − → ，称为速度误差系数。 3) 单位抛物线输入时， 3 2 2 ( 1) ( 1) ( ) − + = z T z z R z ，由式（7-11）可得 ( ) 0 G z - R(z) E(z) C(z) 图 1.7-1
cia=e-1dgg-明e6 T2 (7-14) 上式中：K,=-G,(,称为加速度误差系数
a z z z G z K T z T z z G z e z 1 ( 1) ( ) lim 2 ( 1) ( 1) 1 ( ) 1 ( ) lim ( 1) 0 2 2 1 3 2 0 1 * = − = − + + = − → → （7-14） 上式中： lim ( 1) ( ) 1 0 2 1 2 z G z T K z a = − → ，称为加速度误差系数
