第三章控制系统的时域分析 一、控制系统的时域分析法 系统加入典型输入信号后，分析其输出响应特性的动态性能和稳态性能，研究其是 否满足生产过程对控制系统的性能要求。 二、控制系统的性能指标（如图131所示） 4=±5%.±2% 1.动态性能指标： )最大超调量o,%: 1.0 b)上升时间1，： 峰值时间t。: d)调整时间1，： 0 2.稳态性能指标：稳态误差e 输出响应的稳态值与希望的给定值之间的偏差。是衡量就准确性的重要指标。 三、二阶系统的数学模型和动态性能指标计算 1.二阶系统的闭环传递函数 r d(1) G(s)=C(s) R k C(s) R(S)Ts2+s+K (3-1) s(Ts+l) 式中：T-受控对象的时间常数 图1.3-2 K一受控对象的增益 其典型结构图如附图132所示。 (31)式可改写成标准形式： G(s)=2+25a,5+0 (3-2) 式中：Q一无阻尼自然报荡频率，以一停
图 1.3—2 （3—1） （3—2） 第三章 控制系统的时域分析 一、控制系统的时域分析法 系统加入典型输入信号后，分析其输出响应特性的动态性能和稳态性能，研究其是 否满足生产过程对控制系统的性能要求。 二、控制系统的性能指标（如图 1.3-1 所示） 1. 动态性能指标： a) 最大超调量 p % ； b) 上升时间 r t ； c) 峰值时间 p t ； d) 调整时间 s t ； 2. 稳态性能指标：稳态误差 ss e 输出响应的稳态值与希望的给定值之间的偏差。是衡量系统准确性的重要指标。 三、二阶系统的数学模型和动态性能指标计算 1. 二阶系统的闭环传递函数 Ts s K K R S C s G s + + = = 2 ( ) ( ) ( ) 式中： T −受控对象的时间常数 K −受控对象的增益 其典型结构图如附图 1.3-2 所示。 （3-1）式可改写成标准形式： 2 2 2 2 ( ) n n n s s G s + + = 式中： T k n −无阻尼自然振荡频率，n = ； 图 1.3—1 p r t p t s t = 5%,2% 0 1.0 y(t) t ( ) ( ) R s r t s(Ts +1) k ( ) ( ) C s c t
5-阻尼比，5产27示 2.二阶系统动态性能指标的计算(0<：<1的欠阻尼情况) 司上升时间1，=-Q (3-3) 上式中：0=g-型 5 0g=0V1- 降值时间1，：，向，a.-写 (3-4) g超调量0，%=e5Fx100% (3-5) 3 (△=±5%) (36) o (A=2%) ©)其它性能指标：衰减指数m和衰减率 【.衰减指数m m=- 50 (3-7) Ⅱ.衰减率w y-e he-eim (3-8) 四、高阶系统的动态响应和简化分析 高阶系统的动态响应，在工程中常采用主导极点的概念进行简化分析。 闭环主导极点的基本概念：如果高阶系统中距离虚轴最近的一对共轭复数极点（或一个实极 点)的实部绝对值仅为其它极点的/5或更小，并且附近有没有零点，则系统的响应主要由 这一对复数极点确定，称之为闭环主导极点。找到了主导极点，高阶系统就可以近似作为 阶（或一阶）系统来分析
（3—3） （3—4） （3—5） （ = 5% ） （ = 2% ） （3—6） （3—7） （3—8） 2 TK 1 −阻尼比， = 。 2. 二阶系统动态性能指标的计算（ 0 1 的欠阻尼情况） a) 上升时间 d r t − = 上式中： 2 1 1− = − tg 2 d = n 1− b) 峰值时间 2 1 : − = = n d p p t t c) 超调量 % 100% 2 / 1 = − − e p d) 调整时间 = n n s t 4 3 e) 其它性能指标：衰减指数 m和衰减率 I. 衰减指数 m d n m = − = 2 1 II. 衰减率 m e e 2 2 1 2 − = = − − 四、高阶系统的动态响应和简化分析 高阶系统的动态响应，在工程中常采用主导极点的概念进行简化分析。 闭环主导极点的基本概念：如果高阶系统中距离虚轴最近的一对共轭复数极点（或一个实极 点）的实部绝对值仅为其它极点的 1 5 或更小，并且附近有没有零点，则系统的响应主要由 这一对复数极点确定，称之为闭环主导极点。找到了主导极点，高阶系统就可以近似作为二 阶（或一阶）系统来分析
五、控制系统的稳定性分析与代数判据 1.稳定的定义：控制系统受扰动偏离了平衡状态，当扰动消除后系统能自动恢复到原 来的平衡状态，或能稳定在一个新的平衡状态，则称系统是稳定的，反之，称系统 是不稳定的。 2 控制系统稳定的充分必要条件：系统的特征根全部具有负的实部 3 防斯和赫尔维茨稳定性 )劳斯判据：系统特征多项式的各项系数均大于零，由系统特征方程各项系数列 出劳斯阵列表（劳斯阵列表的构成，详见教材），若劳斯阵列表中的第一列元 素符号均相同（即都是正数）则系统稳定。如果劳斯阵列表中第一列元素中出 现负数，则系统不稳定：第一列元素符号改变的次数，为特征方程的正实部根 的个新 2)赫尔维茨判据：由系统特征方程各项系数所构成的各阶赫尔维茨行列式的值全 部为正，则系统稳定。反之，系统不稳定。赫尔维茨行列式的构成，详见教材。 4。系统的稳定性是属于系统本身的特性，它只与自身的结构与参数有关，而 与初始条件，外界扰动的大小等无关。系统的稳定性只取决于系统的特征 根（极点），而与系统的零点无关。 六、控制系统的稳态误差及误差系数 1.误差的定义：常见的误差定义有两种 )从输出端定义的误差：系统输出量的期望值与实际值之差，即 e0=C,)-C(0 (3-9) 式中：e(t)-误差： C,()-与系统给定输入量r()相对应的期望输出量： C)-系统的实际输出量。 这种定义物理意义明确，但在实际系统中往往不可测量。故不常用。 2)从输入端定义的误差：是系统给定输入量与主反馈量之差（如图1.33所示）， 即 e0=r-b) (3-.10) 式中：b)是实际输出)经反馈后送到输入端的反馈量。这样定义的误差在实 际系统中容易测量，便于进行理论分析，故在控制系统的分析中，常用这种定义的误差。 在单位反馈的控制系统中，式(3-9)和式(3-10)定义的误差是一样的。 0风e0 c) R(s) E(s)G(s) C(s) b(r) B(s) H(s) 图13一3
（3—9） 五、控制系统的稳定性分析与代数判据 1. 稳定的定义：控制系统受扰动偏离了平衡状态，当扰动消除后系统能自动恢复到原 来的平衡状态，或能稳定在一个新的平衡状态，则称系统是稳定的，反之，称系统 是不稳定的。 2. 控制系统稳定的充分必要条件：系统的特征根全部具有负的实部。 3. 劳斯和赫尔维茨稳定性代数判据 1) 劳斯判据：系统特征多项式的各项系数均大于零，由系统特征方程各项系数列 出劳斯阵列表（劳斯阵列表的构成，详见教材），若劳斯阵列表中的第一列元 素符号均相同（即都是正数）则系统稳定。如果劳斯阵列表中第一列元素中出 现负数，则系统不稳定；第一列元素符号改变的次数，为特征方程的正实部根 的个数。 2) 赫尔维茨判据：由系统特征方程各项系数所构成的各阶赫尔维茨行列式的值全 部为正，则系统稳定。反之，系统不稳定。赫尔维茨行列式的构成，详见教材。 4． 系统的稳定性是属于系统本身的特性，它只与自身的结构与参数有关，而 与初始条件，外界扰动的大小等无关。系统的稳定性只取决于系统的特征 根（极点），而与系统的零点无关。 六、控制系统的稳态误差及误差系数 1. 误差的定义：常见的误差定义有两种 1) 从输出端定义的误差：系统输出量的期望值与实际值之差，即 e(t) C (t) C(t) = r − 式中： e(t) −误差 ； 系统的实际输出量。 与系统给定输入量 相对应的期望输出量； − − ( ) ( ) ( ) C t C t r t r 这种定义物理意义明确，但在实际系统中往往不可测量。故不常用。 2) 从输入端定义的误差：是系统给定输入量与主反馈量之差（如图 1.3-3 所示）， 即 e(t) = r(t) − b(t) （3-10） 式中： b(t) 是实际输出 c(t) 经反馈后送到输入端的反馈量。这样定义的误差在实 际系统中容易测量，便于进行理论分析，故在控制系统的分析中，常用这种定义的误差。 在单位反馈的控制系统中，式（3-9）和式(3-10)定义的误差是一样的。 图 1.3—3 C(s) G(s) H(s) R(s) E(s) B(s) - r(t) b(t) e(t) c(t)
2.稳态误差的定义 一个稳定的系统在给定输入或扰动输入的作用下，经历过渡过程进入稳态后的误 差，即e,=lm()。系统的稳态误差是对系统控制的准确性的度量，是系统的 稳态性能指标。 3.稳态误差的计算 1)系统的类型 般情况下，系统的开环传递函数可表示为 KII(+D) G(s)= (3-11) sΠ(T,s+) 式中：K开环放大系数： tT,-时间常数： N-开环结构中串连的积分环节数。N=0、1,2…分别称之为0型系统、 1型系统2型系统…，3型以上系统很少见。 2)计算稳态误差的方法： a)一般方法：首先判定系统的稳定性，因为只有对稳定的系统求e才有意 文。执后技装老的定文家出限发传道看版肥政 E(s) (R(S)为给定输 R(s) 入，N(s)为扰动输入)。最后利用拉氏变换的终值定理计算e,即 e..=lim e(t)=lim sE(s) (3-12) b)静态误差系数法：定义静态位置、速度、加速度误差系数K。,K,K。 K=limn Go(s):K.=lim sGo(s).K.lim sGo(s).(3-13) 上式中：G(s)-系统的开环传递函数。 则在单位阶跃输入信号的作用下，系统的稳 态误差为 1 e.=1+G,91+K, (3-14) 在单位斜坡输入信号的作用下
型系统、型系统 ，型以上系统很少见。 开环结构中串连的积分环节数。 、， 分别称之为 型系统、 ， 时间常数； 1 2 3 0 1 2 0 − = − N N i Tj 2. 稳态误差的定义 一个稳定的系统在给定输入或扰动输入的作用下，经历过渡过程进入稳态后的误 差，即 e lim e(t) t ss → = 。系统的稳态误差是对系统控制的准确性的度量，是系统的 稳态性能指标。 3. 稳态误差的计算 1) 系统的类型 一般情况下，系统的开环传递函数可表示为 − = = + + = n N j j N m i i o s T s K s G s 1 1 ( 1) ( 1) ( ) （3-11） 式中： K-开环放大系数： 2) 计算稳态误差的方法： a) 一般方法：首先判定系统的稳定性，因为只有对稳定的系统求 ss e 才有意 义。然后按误差的定义求出误差传递函数 ( ) ( ) ( ) ( ) N s E s R s E s 或 （ R(s) 为给定输 入， N(s) 为扰动输入）。最后利用拉氏变换的终值定理计算 ss e ，即 lim ( ) lim ( ) 0 e e t sE s t s ss → → = = （3-12） b) 静态误差系数法：定义静态位置、速度、加速度误差系数 K p Kv Ka , , lim ( ); K lim ( ); K lim ( ); (3-13) 0 2 0 0 a 0 0 v 0 K G s sG s s G s s s s p → → → = = = 上式中： G0 (s) −系统的开环传递函数。 则在单位阶跃输入信号的作用下，系统的稳 态误差为 p s ss G s K e + = + = → 1 1 1 ( ) 1 lim 0 0 （3-14） 在单位斜坡输入信号的作用下
1 e.-lim sG (s)K. (3-15) 在单位加速度输入信号作用下 ea=回sG.K (3-16) 令静态误差系数应用的条件：只适用于控制输入()作用下的稳态误差计 算，且r()不存在前馈通道。 ©)扰动输入作用下系统稳态误差的计算 扰动输入N(s)作用下系统的误差传递函数为（见图1,3-4） E(s」 G,(s)H(s) (3-17) N(s)1+G(s)G2(s)H(s) R(s) 8Ew N(s) G() C(s) G,(s) 则扰动输入作用下的稳态误差e,为 ,H(S) -sG,sH(s） e-0=+49gw 当扰动为单位阶跃信号时 -sG2 (s)H(s)1_ -G3(0)H(0) G,(s)G,()(s)+G,(OXG,(0)H(0) 当开环增益足够大时，G(0)G2(0)HO)>1,则 e-G,(0 (3-18) 上式说明，扰动输入作用下的稳态误差主要取决于G(0),即扰动点前的传递函数G,(), 如果在G,(S)中引入积分环节，则系统在阶跃扰动作用下的稳态误差为零
C(s) ( ) 2 G s ( ) 1 G s H(s) R(s) - E(s) N(s) 图 1.3-4 v s ss sG s K e 1 ( ) 1 lim 0 0 = = → （3-15） 在单位加速度输入信号作用下 a s ss s G s K e 1 ( ) 1 lim 0 2 0 = = → （3-16） 静态误差系数应用的条件：只适用于控制输入 r(t) 作用下的稳态误差计 算，且 r(t) 不存在前馈通道。 c) 扰动输入作用下系统稳态误差的计算 扰动输入 N(s) 作用下系统的误差传递函数为（见图 1.3-4） 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 G s G s H s G s H s N s E s + = − （3-17） 则扰动输入作用下的稳态误差 ss e 为 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) lim 1 2 2 0 0 N s G s G s H s sG s H s e sE s s s ssn + − = = → → 当扰动为单位阶跃信号时 1 (0) (0) (0) 1 (0) (0) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim 1 2 2 1 2 2 0 G G H G H G s G s H s s sG s H s e s ssn + − = + − = → 当开环增益足够大时， G1 (0)G2 (0)H(0) 1 ，则 (0) 1 G1 essn − （3-18） 上式说明，扰动输入作用下的稳态误差主要取决于 (0) G1 ，即扰动点前的传递函数 ( ) 1 G s ， 如果在 ( ) 1 G s 中引入积分环节，则系统在阶跃扰动作用下的稳态误差为零