4.2绘制根轨迹的基本法则 本节讨论根轨迹增益K·(或开环增益K)变化时绘制根轨迹的法则。熟练地掌握这些 法则，可以帮助我们方便快速地绘制系统的根轨迹，这对于分析和设计系统是非常有益的。 法则1根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点：如果开环零 点个数m少于开环极点个数n,则有(n一m)条根轨迹终止于无穷远处。 根轨迹的起点、终点分别是指根轨迹增益K”=0和→0时的根轨迹点。将幅值条件 式(49)改写为 G-p)su K (411) 1s-)川11-1 可见当s=p,时，K=0:当s=:时，K”→o:当|s|→o且n≥m时，K→0。 法则2根轨迹的分支数，对称性和连续性：根轨迹的分支数与开环零点数m、开环 极点数n中的大者相等，根轨迹连续并且对称于实轴。 根轨迹是开环系统某一参数从零变到无穷时，闭环极点在了平面上的变化轨迹。因此， 根轨迹的分支数必与闭环特征方程根的数目一致，即根轨迹分支数等于系统的阶数。实际系 统都存在惯性，反映在传递函数上必有n≥m。所以一般讲，根轨迹分支数就等于开环极点 数。 实际系统的特征方程都是实系数方程，依代数定理特征根必为实数或共轭复数。因此 根轨迹必然对称于实轴。 由对称性，只须画出3平面上半部和实轴上的根轨迹，下半部的根轨迹即可对称画出。 特征方程中的某些系数是根轨迹增益K'的函数，K'从零连续变到无穷时，特征方程 的系数是连续变化的，因而特征根的变化也必然是连续的，故根轨迹具有连续性。 法则3实轴上的根轨迹：实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为 奇数，则该区域必是根轨迹。 设系统开环零、极点分布如图4-5所示。图中，S。是实轴上的点，9，(=1,2,3)是各开 环零点到点向量的相角，0，U=L,23,4)是各开环极点到3点向量的相角。由图4-5可 113
113 4.2 绘制根轨迹的基本法则 本节讨论根轨迹增益 K （或开环增益 K ）变化时绘制根轨迹的法则。熟练地掌握这些 法则，可以帮助我们方便快速地绘制系统的根轨迹，这对于分析和设计系统是非常有益的。 法则 1 根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零 点个数 m 少于开环极点个数 n ，则有 (n − m) 条根轨迹终止于无穷远处。 根轨迹的起点、终点分别是指根轨迹增益 = 0 K 和 → 时的根轨迹点。将幅值条件 式（4-9）改写为 = = − = = − − = − − = m i i n j n m j m i i n j j s z s p s s z s p K 1 1 1 * 1 |1 | |1 | | ( ) | | ( ) | (4-11) 可见当 s= j p 时， 0 * K = ；当 s= i z 时， → * K ；当|s| → 且 n m 时， → * K 。 法则 2 根轨迹的分支数，对称性和连续性：根轨迹的分支数与开环零点数 m 、开环 极点数 n 中的大者相等，根轨迹连续并且对称于实轴。 根轨迹是开环系统某一参数从零变到无穷时，闭环极点在 s 平面上的变化轨迹。因此， 根轨迹的分支数必与闭环特征方程根的数目一致，即根轨迹分支数等于系统的阶数。实际系 统都存在惯性，反映在传递函数上必有 n m 。所以一般讲，根轨迹分支数就等于开环极点 数。 实际系统的特征方程都是实系数方程，依代数定理特征根必为实数或共轭复数。因此 根轨迹必然对称于实轴。 由对称性，只须画出 s 平面上半部和实轴上的根轨迹，下半部的根轨迹即可对称画出。 特征方程中的某些系数是根轨迹增益 K 的函数， K 从零连续变到无穷时，特征方程 的系数是连续变化的，因而特征根的变化也必然是连续的，故根轨迹具有连续性。 法则 3 实轴上的根轨迹：实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为 奇数，则该区域必是根轨迹。 设系统开环零、极点分布如图 4-5 所示。图中， 0 s 是实轴上的点， (i =1,2,3) i 是各开 环零点到 0 s 点向量的相角， ( j = 1,2,3,4) j 是各开环极点到 0 s 点向量的相角。由图 4-5 可
见，复数共轭极点到实轴上任意一点（包括S。点）的向量之相角和为2π。对复数共轭零点， 情况同样如此。因此，在确定实轴上的根轨迹时，可以不考虑开环复数零、极点的影响。图 45中，点左边的开环实数零、极点到5。点的向量之相角均为零，而5。点右边开环实数 零、极点到3。点的向量之相角均为π，故只有落在5。右方实轴上的开环实数零、极点，才 有可能对5。的相角条件造成影响，且这些开环零、极点提供的相角均为π。如果令∑？，代 表5点之右所有开环实数零点到。点的向量相角之和，∑日，代表5。点之右所有开环实数 极点到S。点的向量相角之和，那么，S。点位于根轨迹上的充分必要条件是下列相角条件成 立： 20-立9，=2k+r (k=0,±1±2，…) 由于π与一π表示的方向相同，于是等效有： 2a+20,=2k+a (k=0,±1±2，…) 式中，m。、n。分别表示在S右侧实轴上的开环零点和极点个数。 式中(2k+1)为奇数。于是本法则得证。 82 %=084=0 月=π= 23 22 图4-5实轴上的根轨迹 114
114 见，复数共轭极点到实轴上任意一点（包括 0 s 点）的向量之相角和为 2 。对复数共轭零点， 情况同样如此。因此，在确定实轴上的根轨迹时，可以不考虑开环复数零、极点的影响。图 4-5 中， 0 s 点左边的开环实数零、极点到 0 s 点的向量之相角均为零，而 0 s 点右边开环实数 零、极点到 0 s 点的向量之相角均为 ，故只有落在 0 s 右方实轴上的开环实数零、极点，才 有可能对 0 s 的相角条件造成影响，且这些开环零、极点提供的相角均为 。如果令 i 代 表 0 s 点之右所有开环实数零点到 0 s 点的向量相角之和， j 代表 0 s 点之右所有开环实数 极点到 0 s 点的向量相角之和，那么， 0 s 点位于根轨迹上的充分必要条件是下列相角条件成 立： = = − = + 0 0 1 1 (2 1) n j j m i i k （ k = 0, 1, 2, ） 由于 与 − 表示的方向相同，于是等效有： = = + = + 0 0 1 1 (2 1) n j j m i i k （ k = 0, 1, 2, ） 式中， m0 、 0 n 分别表示在 0 s 右侧实轴上的开环零点和极点个数。 式中 (2k +1) 为奇数。于是本法则得证
不难判断，图45实轴上，区段P,],[P4,2]以及（←o,]均为实轴上的根轨迹 法则4根轨迹的渐近线：当系统开环极点个数n大于开环零点个数m时，有n一m 条根轨迹分支沿着与实轴夹角为？。、交点为。的一组渐近线趋向于无穷远处，且有 p,=2k+1n n-m p,-2 k=0,±1，±2，…n-m-1 (4-12) n-m 证明渐近线就是s→©时的根轨迹，因此渐近线也一定对称与实轴。根轨迹方程式 (4-8)可写成 KΠs-) G(s)H(s)= -K+t6sA-l (4-13) s-p, s+a-s-+…+as+a 式中，6=立(-》，a-∑-P,)分别为系统开环零点之和及开环极点之和。 当K一∞时，由于n>m,应有s一∞。式(4-13)可近似表示为 即有 或 -6户-K片 将上式左端用牛顿二项式定理展开，并取线性项近似，有 毛a)-(x片 令 G=dac1 -ba-l n-m 115
115 不难判断，图 4-5 实轴上，区段 1 1 p ,z ， 4 2 p ,z 以及 ( 3 − ,z 均为实轴上的根轨迹。 法则 4 根轨迹的渐近线：当系统开环极点个数 n 大于开环零点个数 m 时，有 n −m 条根轨迹分支沿着与实轴夹角为 a 、交点为 a 的一组渐近线趋向于无穷远处，且有 − − = − + = = = n m p z n m k m i i n j j a a 1 1 (2 1) k =0，±1，±2，… n − m−1 （4-12） 证明 渐近线就是 s→∞时的根轨迹，因此渐近线也一定对称与实轴。根轨迹方程式 （4-8）可写成 = = − − = n j j m i i s p K s z G s H s 1 1 * ( ) ( ) ( ) ( ) = 1 0 1 1 1 0 1 * 1 s a s a s a s b s b s b K n n n m m m + + + + + + + + − − − − = −1 (4-13） 式中， = − = − m i m i b z 1 1 ( ) ， = − = − n j an p j 1 1 ( ) 分别为系统开环零点之和及开环极点之和。 当 K →∞时，由于 n m ，应有 s →∞。式（4-13）可近似表示为 * 1 1 1 1 K s b a b s m n m n m = − + − + − − − − 即有 1 1 * 1 K s a b s n m n m = − − + − − − 或 ( )n m n m n m K s a b s − − − − = − − + 1 * 1 1 1 1 将上式左端用牛顿二项式定理展开，并取线性项近似，有 ( )n m n m K n m s a b s − − − = − − − + 1 1 1 * ( ) 1 令 n m an bm − − = −1 −1
有 5=-o+(K）片白 以-1=1×e2r,k=0,土1，士2，…代入上式，有 s=-o+k片e 这就是当5→©时根轨迹的渐近线方程。它表明渐近线与实轴的交点坐标为 0。=-0= n=m 渐近线与实轴夹角为 只，=2+n (k=0,±1，±2…) n-m 本法则得证。 例4-2单位反馈系统开环传递函数为 G(s)= K(s+1) (s+4(s2+23+2) 试根据已知的基本法则，绘制根轨迹的渐近线： 解将开环零、极点标在s平面上，如图46 所示。根据法则，系统有4条根轨迹分支，且有 n一m=3条根轨迹趋于无穷远处，其渐近线与实轴 的交点及夹角为 o,=-4-1+川-1-1+1.-§ 图4-6开环零极点及渐近线图 4-1 3 4-1 三条渐近线如图46所示。 法则5根轨迹的分离点：两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又分离的点， 称为根轨迹的分离点，分离点的坐标d是方程 (4-14)
116 有 s = − + (− K )n−m 1 * 以 (2 1) 1 1 + − = j k e ， k = 0, 1, 2, 代入上式，有 ( ) n m k j s K n m e − + = − + − 1 2 1 * 这就是当 s →∞时根轨迹的渐近线方程。它表明渐近线与实轴的交点坐标为 n m p z m i i n j j a − − = − = =1 =1 渐近线与实轴夹角为 n m k a − + = (2 1) （ k =0，±1，±2…） 本法则得证。 例 4-2 单位反馈系统开环传递函数为 ( 4)( 2 2) ( 1) ( ) 2 * + + + + = s s s s K s G s 试根据已知的基本法则，绘制根轨迹的渐近线。 解 将开环零、极点标在 s 平面上，如图 4-6 所示。根据法则，系统有 4 条根轨迹分支，且有 n −m =3 条根轨迹趋于无穷远处，其渐近线与实轴 的交点及夹角为 = − + = = − − − − + − − + = , 4 1 3 (2 1) 3 5 4 1 4 1 1 1 1 1 k j j a a 三条渐近线如图 4-6 所示。 法则 5 根轨迹的分离点：两条或两条以上根轨迹分支在 s 平面上相遇又分离的点， 称为根轨迹的分离点，分离点的坐标 d 是方程 = = − = − m i i n j j 1 d p 1 d z 1 1 （4-14）
的解。 证明由根轨迹方程(4-8)，有 Ki6-) 1+ 1s-p,) 所以闭环特征方程为 Ds)=1s-p,2+K1s-)=0 s-pp-xi-) (4-15) 根轨迹在s平面相遇，说明闭环特征方程有重根出现。设重根为d,根据代数中重根条 件，有 e0-ne-eo-小-0 e-p)=-Ke-) (4-16) 将式(4-16)、式(4-15)等号两端对应相除、得 -p刚-动 1s-p,)s-) dnT1(s-e dnI(s-3) (4-17) ds ds -空 ds 于是有 含n含 117
117 的解。 证明 由根轨迹方程（4-8），有 0 ( ) ( ) 1 1 1 * = − − + = = n j j m i i s p K s z 所以闭环特征方程为 ( ) ( ( ) 0 1 * 1 = − + − = = = m i i n j j D s s p ） K s z 或 = = − = − − m i i n j j s p K s z 1 * 1 ( ） ( ) （4-15） 根轨迹在 s 平面相遇，说明闭环特征方程有重根出现。设重根为 d ，根据代数中重根条 件，有 ( ) ( ) ( ) 0 1 * 1 = = − + − = = m i i n j j s p K s z ds d D s 或 = = − = − − m i i n j j s z ds d s p K ds d 1 * 1 ( ) ( ) （4-16） 将式（4-16）、式（4-15）等号两端对应相除、得 = = = = − − = − − m i i m i i n j j n j j s z s z ds d s p s p ds d 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ds d s z ds d s p m i i n j j = = − = − 1 1 ln ( ) ln ( ) （4-17） 有 = = − = − m i i n j j ds d s z ds d s p 1 1 ln( ) ln( ) 于是有 = = − = − m i i n j j 1 s p 1 s z 1 1
从上式解出的s中，经检验可得分离点d。本法则得证。 例4-3控制系统开环传递函数为 G(s)H(s)=- K'(8+2) s+1(s+4) 试概略绘制系统根轨迹。 解将系统开环零、极点标于s平面，如图47所示。 根据法则，系统有3条根轨迹分支，且有n一m=2条根轨迹趋于无穷远处。根轨迹绘 制如下： ①)实轴上的根轨迹：根据法则3，实轴上的根轨迹区段 为： 【4,-2l,10 (2②)渐近线：根据法则4，根轨迹的渐近线与实轴交点和 夹角为 3-1 号 p。= 3-1 (3)分离点：根据法则5，分离点坐标为 1 a+a++a+4a+2 经整理得 (d+4(d2+4d+2)=0 故d=4,d2=-3.414,d=-0.586,显然分离点位于实轴上【1,0]间，故取 d=-0.586。 根据上述讨论，可绘制出系统根轨迹如图4-7所示。 >例43的计算程序 num=[1 21 ([10],conv(【11],[14]) tocus(num,den) 法则6根轨迹与虚轴的交点：若根轨迹与虚轴相交，意昧着闭环特征方程出现纯虚
118 从上式解出的 s 中，经检验可得分离点 d 。本法则得证。 例 4-3 控制系统开环传递函数为 ( 1)( 4) ( 2) ( ) ( ) * + + + = s s s K s G s H s 试概略绘制系统根轨迹。 解 将系统开环零、极点标于 s 平面，如图 4-7 所示。 根据法则，系统有 3 条根轨迹分支，且有 n −m =2 条根轨迹趋于无穷远处。根轨迹绘 制如下： ⑴ 实轴上的根轨迹：根据法则 3，实轴上的根轨迹区段 为： − 4,−2，−1,0 ⑵ 渐近线：根据法则 4，根轨迹的渐近线与实轴交点和 夹角为 = − + = = − − − − + = 3 1 2 (2 1) 2 3 3 1 1 4 2 k a a ⑶ 分离点：根据法则 5，分离点坐标为 2 1 4 1 1 1 1 + = + + + + d d d d 经整理得 ( 4)( 4 2) 0 2 d + d + d + = 故 d1 = −4 ， d2 = −3.414 ， d3 = −0.586 ，显然分离点位于实轴上 −1,0 间，故取 d = −0.586。 根据上述讨论，可绘制出系统根轨迹如图 4-7 所示。 法则 6 根轨迹与虚轴的交点：若根轨迹与虚轴相交，意味着闭环特征方程出现纯虚
根。故可在闭环特征方程中令s=0,然后分别令方程的实部和虚部均为零，从中求得交 点的坐标值及其相应的K‘值。此外，根轨迹与虚轴相交表明系统在相应K值下处于临界 稳定状态，故亦可用劳斯稳定判据去求出交点的坐标值及其相应的K~值。此处的根轨迹增 益称为临界根轨迹增益。 例4-4某单位反馈系统开环传递函数为 K G(s)= s(s+1M5+5) 试概略绘制系统根轨迹。 解根轨迹绘制如下： ()实轴上的根轨迹： （o,-5],10] 0,=-1-5.-2 3 (②)渐近线： 3 (3)分离点： ++a+50 1 经整理得 3d2+12d+5=0 解出 d1=-3.5d2=-0.47 显然分离点位于实轴上上1,0]间，故取d=0.47。 (④)与虚轴交点： 方法1系统闭环特征方程为 Ds)=s3+6s2+5s+K=0 令s=j0,则 Djm)=(0o)3+6j)2+5j)+K'=-jo3-62+j50+K=0 令实部、虚部分别为零，有 [K°-602=0 50-o3=0 119
119 根。故可在闭环特征方程中令 s = j ，然后分别令方程的实部和虚部均为零，从中求得交 点的坐标值及其相应的 K 值。此外，根轨迹与虚轴相交表明系统在相应 K 值下处于临界 稳定状态，故亦可用劳斯稳定判据去求出交点的坐标值及其相应的 K 值。此处的根轨迹增 益称为临界根轨迹增益。 例 4-4 某单位反馈系统开环传递函数为 ( 1)( 5) ( ) * + + = s s s K G s 试概略绘制系统根轨迹。 解 根轨迹绘制如下： ⑴ 实轴上的根轨迹： (−,−5，−1,0 ⑵ 渐近线： = + = = − − − = , 3 3 (2 1) 2 3 1 5 k a a ⑶ 分离点： 0 5 1 1 1 1 = + + + + d d d 经整理得 3 12 5 0 2 d + d + = 解出 d1 = −3.5 d2 = −0.47 显然分离点位于实轴上 −1,0 间，故取 d = −0.47 。 ⑷ 与虚轴交点： 方法 1 系统闭环特征方程为 ( ) 6 5 0 3 2 * D s = s + s + s + K = 令 s = j ，则 ( ) ( ) 6( ) 5( ) 6 5 0 3 2 * 3 2 * D j = j + j + j + K = − j − + j + K = 令实部、虚部分别为零，有 − = − = 5 0 6 0 3 * 2 K
解得 o=0∫o=t5 1K'=0K=30 显然第一组解是根轨迹的起点，故舍去。根轨迹与虚轴的交点为5=土5，对应的根轨迹 增益K·=30。 >例4·4的计算程序程序 num=[11 需csam.01,conv(1,【151: 方法2用劳斯稳定判据求根轨迹与虚轴的交点。列劳斯表为 1 5 3 6 (30-K')/6 0 K 当K·=30时，5行元素全为零，系统存在共轭虚根。共轭虚根可由s2行的辅助方程求得： F)=6s2+K1lk0=0 得s=±√5为根轨迹与虚轴的交点。根据上述讨论，可 绘制出系统根轨迹如图4-8所示。 法则7根轨迹的起始角和终止角：根轨迹离开开 环复数极点处的切线与正实轴的夹角，称为起始角，以0。 表示：根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹 角，称为终止角，以印：表示。起始角、终止角可直接利 用相角条件求出。 例4-5设系统开环传递函数为 G(s)= K(s+1.5s+2+js+2-) (s+2.5s+0.5+j1.5s+0.5-j1.5) 图4-8根轨迹图 试概略绘制系统根轨迹。 解将开环零、极点标于s平面上，绘制根轨迹步骤如下： ()实轴上的根轨迹： 120
120 解得 = = 0 0 * K = = 30 5 * K 显然第一组解是根轨迹的起点，故舍去。根轨迹与虚轴的交点为 s = j 5 ，对应的根轨迹 增益 30 * K = 。 方法 2 用劳斯稳定判据求根轨迹与虚轴的交点。列劳斯表为 3 s 1 5 2 s 6 * K 1 s (30 ) 6 * − K 0 0 s * K 当 30 * K = 时， 1 s 行元素全为零，系统存在共轭虚根。共轭虚根可由 2 s 行的辅助方程求得： ( ) 6 0 30 2 * = + * = K = F s s K 得 s = j 5 为根轨迹与虚轴的交点。根据上述讨论，可 绘制出系统根轨迹如图 4-8 所示。 法则 7 根轨迹的起始角和终止角：根轨迹离开开 环复数极点处的切线与正实轴的夹角，称为起始角，以 pi 表示；根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹 角，称为终止角，以 i z 表示。起始角、终止角可直接利 用相角条件求出。 例 4-5 设系统开环传递函数为 ( 2.5)( 0.5 1.5)( 0.5 1.5) ( 1.5)( 2 )( 2 ) ( ) * s s s j s j K s s j s j G s + + + + − + + + + − = 试概略绘制系统根轨迹。 解 将开环零、极点标于 s 平面上，绘制根轨迹步骤如下： ⑴ 实轴上的根轨迹：
1.5,0,（∞，-2. (②)起始角和终止角：先求起始角。设s是由P2出发的根轨迹分支对应K=e时的一 点，s到P,的距离无限小，则矢量P3的相角即为起始角。作各开环零、极点到s的向量。 由于除P,之外，其余开环零、极点指向s的矢量与指向P2的矢量等价，所以它们指向P2的 矢量等价于指向s的矢量。根据开环零、极点坐标可以算出各矢量的相角。由相角条件(40) 2Q-20,=(g+%+9)-(0。+8+8+0)=(2k+1r 解得起始角0。=9（见图49）。 0%519 3=565 8=108.5 0《=59 (a) 1991 11 153 663.5 1211 (b) 图4-9根轨迹的起始角和终止角 同理，作各开环零、极点到复数零点(-2+广)的向量，可算出复数零点（一2+j) 21
121 −1.5,0，(−,−2.5 ⑵ 起始角和终止角：先求起始角。设 s 是由 2 p 出发的根轨迹分支对应 * K = 时的一 点，s 到 2 p 的距离无限小，则矢量 p s2 的相角即为起始角。作各开环零、极点到 s 的向量。 由于除 2 p 之外，其余开环零、极点指向 s 的矢量与指向 2 p 的矢量等价，所以它们指向 2 p 的 矢量等价于指向 s 的矢量。根据开环零、极点坐标可以算出各矢量的相角。由相角条件（4-10） 得 2 1 2 3 1 2 4 1 1 ( ) ( ) (2 1) m n i j p i j k = = − = + + − + + + = + 解得起始角 79 2 p = （见图 4-9）。 同理，作各开环零、极点到复数零点（− 2 + j ）的向量，可算出复数零点（− 2 + j ）
处的终止角,=145°（见图49）。作出系统的根轨迹如图410所示。 >例45 Matlab程序 pole=0-2.5-0.5+i*15 0.511 g=zpk(zero.pole1):rlocus(g):grid 图4-9根轨迹图 法则8根之和：当系统开环传递函数G(s)H(s)的分子、分母阶次差(n-m)大于 等于2时，系统闭环极点之和等于系统开环极点之和。 ∑i,=∑p, n-m22 式中，名，乙，…元，为系统的闭年极点（特征根，八，P2,…P,为系统的开环极点。 证明设系统开环传递函数为 G)H)-K(s-X-)- (s-PiXs-P2)-(s-Pa) K's+b-K'sm+…+Kb。 s”+a-s+as-2…+a0 式中 a=∑-p,) (4-18 设n-m=2,即m=n-2,系统闭环特征式为 D()=(s”+an--+a-2-2+…+a)+(K's"+K'b-s-++K'b）= s+an4s-+(a2+K)s-2+…+(a+Kb)= (s-2s-元2)…(s-元) 另外，根据闭环系统个闭环特征根方、2、…、九可得系统闭环特征式为 D(s)=s”+∑(-，s+…+Π(-) (4-19) 122
122 处的终止角 2 =145（见图 4-9）。作出系统的根轨迹如图 4-10 所示。 法则 8 根之和：当系统开环传递函数 G(s)H(s) 的分子、分母阶次差（ n −m ）大于 等于 2 时，系统闭环极点之和等于系统开环极点之和。 = = = n i i n i i p 1 1 n −m 2 式中， n , , 1 2 为系统的闭环极点（特征根）， p p pn , , 1 2 为系统的开环极点。 证明 设系统开环传递函数为 = − − − − − − = ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 * n m s p s p s p K s z s z s z G s H s 0 2 2 1 1 0 * 1 * 1 * s a s a s a K s b K s K b n n n n m m m + + + + + + − − − − − 式中 = − = − n i an pi 1 1 ( ) （4-18） 设 n −m = 2 ，即 m = n − 2 ，系统闭环特征式为 = + + + + + + + + = − − − − − − ( ) ( ) ( ) 0 1 * 1 * * 0 2 2 1 D s s a 1 s a s a K s K b s K b m m n m n n n n ( ) ( ) 0 * 0 * 2 2 1 s a 1 s a K s a K b n n n n n + + + + + + − − − − = ( )( ) ( ) 1 2 n s − s − s − 另外，根据闭环系统 n 个闭环特征根 1、2、…、 n 可得系统闭环特征式为 = − = = + − + + − n i i n n i i n D s s s 1 1 1 ( ) ( ) ( ) （4-19）