第6章线性离散系统的分析与校正 前面五章主要讨论了线性连续控制系统的分析与校正，本章将介绍线性离散控制系统的 分析与校正。如果控制系统中有一处或几处信号是一串脉冲或数码，则这样的系统称为离散 时间控制系统，简称离散系统。 基于工程实践的需要，作为分析与设计离散系统的基础理论，离散系统控制理论的发展 非常迅速。离散系统与连续系统相比，既有本质上的不同，又有分析研究方面的相似性。利 用z变换法研究离散系统，可以把连续系统中的许多概念和方法，推广应用于离散系统。 本章首先给出信号采样和保持的数学描述，然后介绍z变换理论和脉冲传递函数，最后 研究线性离散系统稳定性、稳态误差、动态性能的分析与综合方法。 6.1离散系统 通常，当离散控制系统中的离散信号是脉冲序列形式时，称为采样控制系统或脉冲控制 系统：而当离散系统中的离散信号是数码序列形式时，称为数字控制系统或计算机控制系统。 在理想采样及忽略量化误差情况下，数字控制系统近似于采样控制系统，将它们统称为离散 系统，这使得采样控制系统与数字控制系统的分析与综合在理论上统一了起来。 6.1.1采样控制系统 根据采样器在系统中所处的位置不同，可以构成各种采样系统。用得最多的是误差采样 控制的闭环采样系统，其典型结构图如图61所示。图中，S为采样开关，G,(S)为保持器 的传递函数，G。(S)为被控对象的传递函数，H(S)为测量元件的传递函数。 1.信号采样：如图61所示，在采样控制系统中，把连续信号转变为脉冲序列的过程 称为采样过程，简称采样。实现采样的装置称为采样器，或采样开关。用T表示采样周期， 单位为s。∫，=/T表示采样频率，单位为l/s:0,=2,=2πT表示采样角频率，单位 为dS。在实际应用中，采样开关多为电子开关，闭合时间极短，采样持续时间x远小于 采样周期T,也远小于系统连续部分的最大时间常数。为了简化分析，可将采样过程理想化 认为x趋于零，其采样瞬时的脉冲强度等于相应采样瞬时误差信号)的幅值，理想采样 232
232 第 6 章 线性离散系统的分析与校正 前面五章主要讨论了线性连续控制系统的分析与校正，本章将介绍线性离散控制系统的 分析与校正。如果控制系统中有一处或几处信号是一串脉冲或数码，则这样的系统称为离散 时间控制系统，简称离散系统。 基于工程实践的需要，作为分析与设计离散系统的基础理论，离散系统控制理论的发展 非常迅速。离散系统与连续系统相比，既有本质上的不同，又有分析研究方面的相似性。利 用 z 变换法研究离散系统，可以把连续系统中的许多概念和方法，推广应用于离散系统。 本章首先给出信号采样和保持的数学描述，然后介绍 z 变换理论和脉冲传递函数，最后 研究线性离散系统稳定性、稳态误差、动态性能的分析与综合方法。 6.1 离散系统 通常，当离散控制系统中的离散信号是脉冲序列形式时，称为采样控制系统或脉冲控制 系统；而当离散系统中的离散信号是数码序列形式时，称为数字控制系统或计算机控制系统。 在理想采样及忽略量化误差情况下，数字控制系统近似于采样控制系统，将它们统称为离散 系统，这使得采样控制系统与数字控制系统的分析与综合在理论上统一了起来。 6.1.1 采样控制系统 根据采样器在系统中所处的位置不同，可以构成各种采样系统。用得最多的是误差采样 控制的闭环采样系统，其典型结构图如图 6-1 所示。图中，S 为采样开关， G (s) h 为保持器 的传递函数， ( ) 0 G s 为被控对象的传递函数， H(s) 为测量元件的传递函数。 1．信号采样：如图 6-1 所示，在采样控制系统中，把连续信号转变为脉冲序列的过程 称为采样过程，简称采样。实现采样的装置称为采样器，或采样开关。用 T 表示采样周期， 单位为 s 。 f s = 1 T 表示采样频率，单位为 1 s ； s ＝2 s f ＝2 /T 表示采样角频率，单位 为 rad s 。在实际应用中，采样开关多为电子开关，闭合时间极短，采样持续时间 远小于 采样周期 T ，也远小于系统连续部分的最大时间常数。为了简化分析，可将采样过程理想化： 认为 趋于零，其采样瞬时的脉冲强度等于相应采样瞬时误差信号 e(t) 的幅值，理想采样
开关输出的采样信号为脉冲序列'()，e'()在时间上是断续的，而在幅值上是连续的，是 离散的模拟信号。 2.信号复现：如图61所示，在采样控制系统中，把脉冲序列转变为连续信号的过程称为 信号复现。实现复现过程的装置称为保持器。因为采样器输出的是脉冲序列'()，如果直 接加到连续系统上，则'()中的高频分量会给系统中的连续部分引入噪声，影响控制质量， 严重时还会加剧机械部件的磨损，因此，需要在采样器后面串联一个保持器，以使脉冲序列 €'()复原成连续信号，再加到系统的连续部分。最荷单的保持器是零阶保持器，它将脉冲 序列e')复现为阶梯信号e4()。当采样频率足够高时，e()接近于连续信号e()。 9.9g9同9，回9 b(0 H(s) 图61采样系统典型结构图 6.1.2数字控制系统 近年来，由于计算机科学与技术的迅速发展，以数字计算机为控制器的数字控制系统以 其独特的优势在许多场合取代了模拟控制器，数字控制系统具有一系列的优越性，因而，得 到了广泛的应用。 数字控制系统的典型原理图如图6-2所示。它由工作于离散状态下的计算机（数字控制 器)G.(S),工作于连续状态下的被控对象G(S)和测量元件H(s)组成。在每个采样周期中， 计算机先对连续信号进行采样编码（即AD转换），然后按控制律进行数码运算，最后将计算 结果通过D/A转换器转换成连续信号控制被控对象。因此，4D转换器和D/A转换器是 计算机控制系统中的两个特殊环节。 233
233 开关输出的采样信号为脉冲序列 ( ) * e t ， ( ) * e t 在时间上是断续的，而在幅值上是连续的，是 离散的模拟信号。 2. 信号复现：如图 6-1 所示，在采样控制系统中，把脉冲序列转变为连续信号的过程称为 信号复现。实现复现过程的装置称为保持器。因为采样器输出的是脉冲序列 ( ) * e t ，如果直 接加到连续系统上，则 ( ) * e t 中的高频分量会给系统中的连续部分引入噪声，影响控制质量， 严重时还会加剧机械部件的磨损，因此，需要在采样器后面串联一个保持器，以使脉冲序列 ( ) * e t 复原成连续信号，再加到系统的连续部分。最简单的保持器是零阶保持器，它将脉冲 序列 ( ) * e t 复现为阶梯信号 e (t) h 。当采样频率足够高时， e (t) h 接近于连续信号 e(t) 。 图 6-1 采样系统典型结构图 6.1.2 数字控制系统 近年来，由于计算机科学与技术的迅速发展，以数字计算机为控制器的数字控制系统以 其独特的优势在许多场合取代了模拟控制器，数字控制系统具有一系列的优越性，因而，得 到了广泛的应用。 数字控制系统的典型原理图如图 6-2 所示。它由工作于离散状态下的计算机（数字控制 器） G (s) c ，工作于连续状态下的被控对象 ( ) 0 G s 和测量元件 H(s)组成。在每个采样周期中， 计算机先对连续信号进行采样编码(即 A D 转换)，然后按控制律进行数码运算,最后将计算 结果通过 D A 转换器转换成连续信号控制被控对象。因此， A D 转换器和 D A 转换器是 计算机控制系统中的两个特殊环节
r)( AD转换器 数字控制器G,(⊙ DA转换器 -被控对象G。间 测量元件H(G)· 图6-2计算机控制系统典型原理图 1.A/D转换器 4!D转换器是把连续的模拟信号转换为离散数字信号的装置。4！D转换包括两个过 程：一是采样过程，即每隔T秒对连续信号)进行一次采样，得到采样信号e'()如图63 所示：二是量化过程，在计算机中，任何数值都用二进制表示，因此，幅值上连续的离散信 号e'(t)必须经过编码表示成最小二进制数的整数倍，成为离散数字信号e'(),才能进行运 算。数字计算机中的离散数字信号'()不仅在时间上是断续的，而且在幅值上也是按最小 量化单位断续取值的。 0 707立办4开矿70 图6-3A/D转换过程 6T o t 图6.4D/A转换过程 2.D/A转换器
234 图 6-2 计算机控制系统典型原理图 1. A D 转换器 A D 转换器是把连续的模拟信号转换为离散数字信号的装置。 A D 转换包括两个过 程：一是采样过程，即每隔 T 秒对连续信号 et() 进行一次采样，得到采样信号 * e t() 如图 6-3 所示；二是量化过程，在计算机中，任何数值都用二进制表示，因此，幅值上连续的离散信 号 ( ) * e t 必须经过编码表示成最小二进制数的整数倍，成为离散数字信号 ( ) * e t ，才能进行运 算。数字计算机中的离散数字信号 ( ) * e t 不仅在时间上是断续的，而且在幅值上也是按最小 量化单位断续取值的。 图 6-3 A／D 转换过程 图 6-4 D/A 转换过程 2. D A 转换器
D/A转换器是把离散的数字信号转换为连续模拟信号的装置。D/A转换也有两 个过程：一是解码过程，把离散数字信号！（口）转换为离散的模拟信号1()，如图64所示： 二是复现过程，经过保持器将离散模拟信号复现为连续模拟信号山，()。 6.1.3数字控制系统与采样控制系统的关系 通常，D转换器有足够的字长来表示数码，则量化单位q足够小。例如，字长为16 位的4D转换器，若输入模拟量的最大幅值为5业，则量化单位g-6536=00763mV, 故由量化引起的幅值的断续性（即量化误差）可以忽略。此外，若认为采样编码过程瞬时完 成，并用理想脉冲来等效代替数字信号，则D转换器就可以用一个每隔T秒瞬时闭合 次的理想采样开关S来表示。同理，将数字量转换为模拟量的D/A转换器可以用保持器取 代，其传递函数为G,(S)。这样，数字控制系统等效于采样控制系统（统称离散系统），可 用图65所示的等效结构图表示 门u)/让（©f y)「 H(s) 图65计算机控制系统的等效结构图 6.1.4离散控制系统的特点 信号采样后，采样点间信息会丢失，而且采样信号经保持器输出后会有一定的延迟，所 以，与连续系统相比，在确定的条件下，离散控制系统的性能会有所降低。然而数字化带来 的好处显而易见，离散控制系统较之相应的连续系统具有以下优点： (1)由数字计算机构成的数字控制器，控制律由软件实现，因此，与连续式控制装置 235
235 D A 转换器是把离散的数字信号转换为连续模拟信号的装置。 D A 转换也有两 个过程：一是解码过程，把离散数字信号 ( ) * u t 转换为离散的模拟信号 ( ) * u t ，如图 6-4 所示； 二是复现过程，经过保持器将离散模拟信号复现为连续模拟信号 u (t) h 。 6.1.3 数字控制系统与采样控制系统的关系 通常， A D 转换器有足够的字长来表示数码，则量化单位 q 足够小。例如，字长为 16 位的 A D 转换器，若输入模拟量的最大幅值为 5V ，则量化单位 q 0.0763mV 65536 5 = = ， 故由量化引起的幅值的断续性（即量化误差）可以忽略。此外，若认为采样编码过程瞬时完 成，并用理想脉冲来等效代替数字信号，则 A D 转换器就可以用一个每隔 T 秒瞬时闭合一 次的理想采样开关 S 来表示。同理，将数字量转换为模拟量的 D A 转换器可以用保持器取 代，其传递函数为 G (s) h 。这样，数字控制系统等效于采样控制系统（统称离散系统），可 用图 6-5 所示的等效结构图表示。 图 6-5 计算机控制系统的等效结构图 6.1.4 离散控制系统的特点 信号采样后，采样点间信息会丢失，而且采样信号经保持器输出后会有一定的延迟，所 以，与连续系统相比，在确定的条件下，离散控制系统的性能会有所降低。然而数字化带来 的好处显而易见，离散控制系统较之相应的连续系统具有以下优点： （1） 由数字计算机构成的数字控制器，控制律由软件实现，因此，与连续式控制装置
相比，控制规律修改调整方便，控制灵活。 (2)数字信号的传递可以有效地抑制噪声，从而提高了系统的抗扰能力。 (3)可以采用高灵敏度的控制元件，提高系统的控制精度。 (4)可用一台计算机分时控制若干个系统，提高设备的利用率，经济性好。 6.1.5离散系统的研究方法 在离散系统中，系统的一处或多处信号是脉冲序列或数码，控制的过程是不连续的：不 能沿用连续系统的研究方法。研究离散系统的工具是：变换，通过：变换，可以把我们熟悉 的传递函数、频率特性、根轨迹法等概念应用于离散系统
236 相比，控制规律修改调整方便，控制灵活。 （2）数字信号的传递可以有效地抑制噪声，从而提高了系统的抗扰能力。 （3）可以采用高灵敏度的控制元件，提高系统的控制精度。 （4）可用一台计算机分时控制若干个系统，提高设备的利用率，经济性好。 6.1.5 离散系统的研究方法 在离散系统中，系统的一处或多处信号是脉冲序列或数码，控制的过程是不连续的；不 能沿用连续系统的研究方法。研究离散系统的工具是 z 变换，通过 z 变换，可以把我们熟悉 的传递函数、频率特性、根轨迹法等概念应用于离散系统