8.3控制系统的李雅普诺夫稳定性分析 稳定性描述系统受到外界干扰，平衡工作状态被破坏后，系统偏差调节过程的收敛性。 它是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件。经典控制理论用代数判据、奈氏判据、 对数频率判据、特征根判据来判断线性定常系统的稳定性，用相平面法来判断二阶非线性系 统的稳定性，这些稳定判据无法满足以多变量、非线性、时变为特征的现代控制系统对稳定 性分析的要求。182年，俄国学者李雅普诺夫建立了基于状态空间描述的稳定性概念，提 出了依赖于线性系统微分方程的解来判断稳定性的第一方法（称为间接法）和利用经验和技 巧来构造李雅普诺夫函数借以判断稳定性的第二方法（称为直接法）。李雅普诺夫提出的稳 定性理论是确定系统稳定性的更一般的理论，不仅适用于单变量、线性、定常系统，还适用 于多变量、非线性、时变系统，它有效地解决过一些用其它方法未能解决的非线性微分方程 的稳定性问题，在现代控制系统的分析与设计中，得到了广泛的应用与发展。 8.3.1李雅普诺夫稳定性概念 忽略输入后，非线性时变系统的状态方程如下 i=f(x,1) (8-70) 式中，x为n维状态向量：1为时间变量；f(x,)为n维函数，其展开式为 元=(x,x3,…,xm,)i=1,…,n 假定方程的解为x(化xo,l6),和和和分别为初始状态向量和初始时刻，x1o;x0,o)=x0。 平衡状态如果对于所有，满足 元.=f(x,0=0 (8-71) 的状态：称为平衡状态（又称为平衡点）。平衡状态的各分量不再随时间变化。若已知状态 方程，令文=0所求得的解x,便是平衡状态。 对于线性定常系统=A红，其平衡状态满足Ax。=0,如果A非奇异，系统只有惟 的零解，即存在一个位于状态空间原点的平衡状态。至于非线性系统，∫(x,)=0的解 可能有多个，由系统状态方程决定。 控制系统李雅普诺夫意义下的稳定性是关于平衡状态的稳定性，反映了系统在平衡状态 附近的动态行为。鉴于实际线性系统只有一个平衡状态，平衡状态的稳定性能够表征整个系 统的稳定性。对于具有多个平衡状态的非线性系统来说，由于各平衡状态的稳定性一般并不 327
327 8.3 控制系统的李雅普诺夫稳定性分析 稳定性描述系统受到外界干扰，平衡工作状态被破坏后，系统偏差调节过程的收敛性。 它是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件。经典控制理论用代数判据、奈氏判据、 对数频率判据、特征根判据来判断线性定常系统的稳定性，用相平面法来判断二阶非线性系 统的稳定性，这些稳定判据无法满足以多变量、非线性、时变为特征的现代控制系统对稳定 性分析的要求。1892 年，俄国学者李雅普诺夫建立了基于状态空间描述的稳定性概念，提 出了依赖于线性系统微分方程的解来判断稳定性的第一方法（称为间接法）和利用经验和技 巧来构造李雅普诺夫函数借以判断稳定性的第二方法（称为直接法）。李雅普诺夫提出的稳 定性理论是确定系统稳定性的更一般的理论，不仅适用于单变量、线性、定常系统，还适用 于多变量、非线性、时变系统，它有效地解决过一些用其它方法未能解决的非线性微分方程 的稳定性问题，在现代控制系统的分析与设计中，得到了广泛的应用与发展。 8.3.1 李雅普诺夫稳定性概念 忽略输入后，非线性时变系统的状态方程如下 x = f (x,t) （8-70） 式中，x 为 n 维状态向量；t 为时间变量； f (x,t) 为 n 维函数，其展开式为 1 2 ( , , , , ) i i n x f x x x t = i = 1, , n 假定方程的解为 ( ; , ) 0 0 x t x t ，x0 和 t0 分别为初始状态向量和初始时刻， 0 0 0 0 x(t ; x ,t ) = x 。 平衡状态 如果对于所有 t，满足 x e = f (xe ,t) = 0 （8-71） 的状态 xe称为平衡状态（又称为平衡点）。平衡状态的各分量不再随时间变化。若已知状态 方程，令 x = 0 所求得的解 x，便是平衡状态。 对于线性定常系统 x = Ax ，其平衡状态满足 Axe = 0 ，如果 A 非奇异，系统只有惟 一的零解，即存在一个位于状态空间原点的平衡状态。至于非线性系统， f (xe ,t) = 0 的解 可能有多个，由系统状态方程决定。 控制系统李雅普诺夫意义下的稳定性是关于平衡状态的稳定性，反映了系统在平衡状态 附近的动态行为。鉴于实际线性系统只有一个平衡状态，平衡状态的稳定性能够表征整个系 统的稳定性。对于具有多个平衡状态的非线性系统来说，由于各平衡状态的稳定性一般并不
相同，故需逐个加以考虑，还需结合具体初始条件下的系统运动轨迹来考虑。 本节主要研究平衡状态位于状态空间原点（即零状态）的稳定性问题，因为任何非零状 态均可以通过坐标变换平移到坐标原点，而坐标变换又不会改变系统的稳定性。 (a)李雅普诺夫意义下的稳定性(b)渐近稳定性 (c)不稳定性 图818稳定性的平面几何表示 2.李雅普诺夫稳定性定义 (1)李雅普诺夫稳定性：如果对于任意小的>0，均存在一个6(6，l。)>0,当初始状 态满足飞。-x≤6时，系统运动轨迹满足imx(化，x,)-x≤6，则称该平衡状态，是 李雅普诺夫意义下稳定的，简称是稳定的。该定义的平面几何表示见图8-I8(),x。一x 表示状态空间中和点至x点之间的距离，其数学表达式为 -=Vxo-xe)尸++xo-x)2 (8-72) 设系统初始状态和位于平衡状态x为球心、半径为6的闭球域S(⑥)内，如果系统稳定， 则状态方程的解x化x,。)在1→o的过程中，都位于以x为球心，半径为的闭球域S(s) 内。 (2)一致稳定性：通常8与、面都有关。如果8与面无关，则称平衡状态是一致稳 定的。定常系统的6与无关，因此定常系统如果稳定，则一定是一致稳定的。 (3)渐近稳定性：系统的平衡状态不仅具有李雅普若夫意义下的稳定性，且有 limx(txo,6)-x→0 (8-73) 称此平衡状态是渐近稳定的。这时，从S()出发的轨迹不仅不会超出S(6),且当1→∞ 328
328 相同，故需逐个加以考虑，还需结合具体初始条件下的系统运动轨迹来考虑。 本节主要研究平衡状态位于状态空间原点（即零状态）的稳定性问题，因为任何非零状 态均可以通过坐标变换平移到坐标原点，而坐标变换又不会改变系统的稳定性。 （a）李雅普诺夫意义下的稳定性 （b）渐近稳定性 （c） 不稳定性 图 8-18 稳定性的平面几何表示 2.李雅普诺夫稳定性定义 （1）李雅普诺夫稳定性：如果对于任意小的 > 0，均存在一个 (,t 0 ) 0 ，当初始状 态满足 x0 − xe 时，系统运动轨迹满足 lim t→ − e x(t; x ,t ) x 0 0 ，则称该平衡状态 xe 是 李雅普诺夫意义下稳定的，简称是稳定的。该定义的平面几何表示见图 8-18（a）， e x − x 0 表示状态空间中 x0 点至 xe点之间的距离，其数学表达式为 2 0 2 0 10 1 ( ) ( ) e e n ne x − x = x − x ++ x − x （8-72） 设系统初始状态 x0 位于平衡状态 xe为球心、半径为δ的闭球域 S( ) 内，如果系统稳定， 则状态方程的解 ( ; , ) 0 0 x t x t 在 t → 的过程中，都位于以xe为球心，半径为ε的闭球域 S( ) 内。 （2）一致稳定性： 通常δ与、t0 都有关。如果δ与 t0 无关，则称平衡状态是一致稳 定的。定常系统的δ与 t0 无关，因此定常系统如果稳定，则一定是一致稳定的。 （3）渐近稳定性： 系统的平衡状态不仅具有李雅普若夫意义下的稳定性，且有 0 0 lim ( ; , ) 0 e t x t x t x → − → （8-73） 称此平衡状态是渐近稳定的。这时，从 S( ) 出发的轨迹不仅不会超出 S( ) ，且当 t →
时收敛于x或其附近，其平面几何表示见图8-18(b)。 (4)大范围稳定性当初始条件扩展至整个状态空间，且具有稳定性时，称此平衡状 态是大范围稳定的，或全局稳定的。此时，8→0，S(8)→0，X→0。对于线性系统。 如果它是渐近稳定的，必具有大范围稳定性，因为线性系统稳定性与初始条件无关。非线性 系统的稳定性一般与初始条件的大小密切相关，通常只能在小范围内稳定。 (5)不稳定性不论6取得得多么小，只要在S(6)内有一条从m出发的轨迹跨出 S(c),则称此平衡状态是不稳定的。其平面几何表示见图&-18(c)。 注意，按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不衰减的振荡运动时，将在平面描 绘出一条封闭曲线，只要不超过S(ε)，则认为是稳定的，如线性系统的无阻尼自由振荡和 非线性系统的稳定极限环，这同经典控制理论中的稳定性定义是有差异的。经典控制理论的 稳定是李雅普诺夫意义下的一致渐近稳定。 8.3.2李雅普诺夫稳定性间接判别法 李雅普诺夫第一法（间接法）是利用状态方程的解的特性来判断系统稳定性的方法，它 适用于线性定常、线性时变及可线性化的非线性系统。 线性定常系统的特征值判据系统广=A尔渐近稳定的充要条件是：系统矩阵A的全部 特征值位于复平面左半部，即 Re()<0 i=l…,n (8-74) 证明假定A有相异特征值入，，入。，根据线性代数理论，存在非奇异线性变换 x=Px(P由特征值入，对应的特征向量构成，为一常数矩阵)，可使A对角化，有 A=P-AP=diag(,…n) 变换后状态方程的解为x()=e“x(O)=diag(e…e,').x(0) 由于 x=Px,x(0)=Px(0) 故原状态方程的解为x)=Pepx(O)=e“x(O) 有 e=Pe"p-!Pdiag(e...e)p- 将上式展开，e“的每一元素都是，…，e的线性组合，因而可写成矩阵多项式 e"-Re=Re+Re 故x)可以显式表出与A:的关系
329 时收敛于 xe或其附近，其平面几何表示见图 8-18（b）。 （4）大范围稳定性 当初始条件扩展至整个状态空间，且具有稳定性时，称此平衡状 态是大范围稳定的，或全局稳定的。此时， → ，S() → ，x → 。对于线性系统， 如果它是渐近稳定的，必具有大范围稳定性，因为线性系统稳定性与初始条件无关。非线性 系统的稳定性一般与初始条件的大小密切相关，通常只能在小范围内稳定。 （5）不稳定性 不论δ取得得多么小，只要在 S( ) 内有一条从 x0 出发的轨迹跨出 S( ) ，则称此平衡状态是不稳定的。其平面几何表示见图 8-18（c）。 注意，按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不衰减的振荡运动时，将在平面描 绘出一条封闭曲线，只要不超过 S( ) ，则认为是稳定的，如线性系统的无阻尼自由振荡和 非线性系统的稳定极限环，这同经典控制理论中的稳定性定义是有差异的。经典控制理论的 稳定是李雅普诺夫意义下的一致渐近稳定。 8.3.2 李雅普诺夫稳定性间接判别法 李雅普诺夫第一法（间接法）是利用状态方程的解的特性来判断系统稳定性的方法，它 适用于线性定常、线性时变及可线性化的非线性系统。 线性定常系统的特征值判据 系统 x = Ax 渐近稳定的充要条件是：系统矩阵 A 的全部 特征值位于复平面左半部，即 Re(i ) 0 i = 1, , n （8-74） 证明 假定 A 有相异特征值 n , , 1 ，根据线性代数理论，存在非奇异线性变换 x = Px （P 由特征值 i 对应的特征向量构成，为一常数矩阵），可使 A 对角化，有 ( , ) 1 1 A = P AP = diag n − 变换后状态方程的解为 x(t) e x(0) diag(e 1 e )x(0) t n At t = = 由于 x P x −1 = ， (0) (0) 1 x P x − = 故原状态方程的解为 ( ) (0) (0) 1 x t Pe P x e x At At = = − 有 1 1 diag( ) − 1 − e = Pe P = P e e P At At t t n 将上式展开， At e 的每一元素都是 t t n e e , , 1 的线性组合，因而可写成矩阵多项式 t n t t n i i At i n e R e R e R e = = + + = 1 1 1 故 x(t) 可以显式表出与λi的关系
x)=e"x(O)=[R,e+…+Re4]x(0) 当式(8-74)成立时，对于任意x(0),均有x(),m→0，系统渐近稳定。只要有一个特 征值的实部大于零，对于x(O)≠0，x()便无限增长，系统不稳定。如果只有一个（或一对， 且均不能是重根)特征值的实部等于零，其余特征值实部均小于零，x)便含有常数项或 三角函数项，则系统是李雅普诺夫意义下稳定的。 8.3.3李雅普诺夫稳定性直接判别法 李雅普诺夫第二法（直接法）是利用李雅普诺夫函数直接对平衡状态稳定性进行判断， 无需求出系统状态方程的解，它对各种控制系统均适用。 根据物理学原理，若系统贮存的能量（含动能与位能）随时间推移而衰减，系统迟早会 到达平衡状态。实际系统的能量函数表达式相当难找，因此李雅普诺夫引入了广义能量函数， 称之为李雅普诺夫函数。它与x,,xn及t有关，是一个标量函数，记以(x,):若不显 含t,则记以V(x)。考虑到能量总大于零，故为正定函数，能量衰减特性用广(x,)表示。 遗憾的是至今仍未形成构造李雅普诺夫函数的通用方法，需要凭经验与技巧。实践表明，对 于大多数系统，可先尝试用二次型函数x「Px作为李雅普诺夫函数。 1.标量函数定号性 (1)正定性标量函数V(x)在域5中对所有非零状态(x≠0)有V(x)>0且 V(O)=0,称V(x)在域S内正定。如V(x)=x2+x好是正定的。 (2)负定性标量函数V(x)在域S中对所有非零x有V(x)0),则称V(x)在域S内负（正）半定。设V(x)为负半定， 则-(x)为正半定。如V(x)=-(x+2x)为正半定。 (4)不定性V(x)在域S内可正可负，则称V(x)不定。如V(x)=xx2是不定的. 关于V(x,)正定性的提法是：标量函数V(x,)在域S中，对于1>1。及所有非零状态 有V(x,)>0,且V(0,)=0,则称V(x,)在域S内正定。(x,)的其它定号性提法类同。 二次型函数是一类重要的标量函数，记 330
330 ( ) (0) [ ] (0) 1 1 x t e x R e R e x t n At t n = = ++ 当式（8-74）成立时，对于任意 x（0），均有 x(t) t→→ 0 ，系统渐近稳定。只要有一个特 征值的实部大于零，对于 x(0) 0 , x(t) 便无限增长，系统不稳定。如果只有一个（或一对， 且均不能是重根）特征值的实部等于零，其余特征值实部均小于零， x(t) 便含有常数项或 三角函数项，则系统是李雅普诺夫意义下稳定的。 8.3.3 李雅普诺夫稳定性直接判别法 李雅普诺夫第二法（直接法）是利用李雅普诺夫函数直接对平衡状态稳定性进行判断， 无需求出系统状态方程的解，它对各种控制系统均适用。 根据物理学原理，若系统贮存的能量（含动能与位能）随时间推移而衰减，系统迟早会 到达平衡状态。实际系统的能量函数表达式相当难找，因此李雅普诺夫引入了广义能量函数， 称之为李雅普诺夫函数。它与 n x , , x 1 及 t 有关，是一个标量函数，记以 V x t ( , ) ；若不显 含 t ，则记以 V x( ) 。考虑到能量总大于零，故为正定函数，能量衰减特性用 V x t ( , ) 表示。 遗憾的是至今仍未形成构造李雅普诺夫函数的通用方法，需要凭经验与技巧。实践表明，对 于大多数系统，可先尝试用二次型函数 x Px T 作为李雅普诺夫函数。 1.标量函数定号性 （1）正定性 标量函数 V x( ) 在域 S 中对所有非零状态 (x 0) 有 V (x) 0 且 V (0) = 0 ，称 V x( ) 在域 S 内正定。如 2 2 2 1 V(x) = x + x 是正定的。 （2）负定性 标量函数 V x( ) 在域 S 中对所有非零 x 有 V (x) 0 且 V (0) = 0 ，称 V x( ) 在域 S 内负定。如 ( ) ( ) 2 2 2 1 V x = − x + x 是负定的。如果 V x( ) 是负定的，-V x( ) 则一定是正定 的。 （3）负（正）半定性 V (0) = 0 ，且 V x( ) 在域 S 内某些状态处有 V (x) = 0 ，而其它 状态处均有 V (x) 0 （ V (x) 0 ），则称 V x( ) 在域 S 内负（正）半定。设 V x( ) 为负半定， 则 −V x( ) 为正半定。如 2 1 2 V(x) = −(x + 2x ) 为正半定。 （4）不定性 V x( ) 在域 S 内可正可负，则称 V x( ) 不定。如 1 2 V(x) = x x 是不定的。 关于 V x t ( , ) 正定性的提法是：标量函数 V x t ( , ) 在域 S 中，对于 0 t t 及所有非零状态 有 V (x,t) 0,且 V (0,t) = 0 ，则称 V(x,t) 在域 S 内正定。 V(x,t) 的其它定号性提法类同。 二次型函数是一类重要的标量函数，记
Pu.Pi x V(x)=x'Px=[ (8-75) 其中，P为对称矩阵，有P,=P:显然满足P)=0,其定号性由赛尔维斯特准则判定。 当P的各顺序主子行列式均大于零时，即 p…pn A>0 (8-76) PaPa P为正定矩阵，则V(x)正定。当P的各顺序主子行列式负、正相间时，即 A0,…,(-1) ：>0 (8-77) pn1…pm P为负定矩阵，则P(x)负定。若主子行列式含有等于零的情况，则P(x)为正半定或负半 定。不属以上所有情祝的V(x)不定。 下面不打算对李雅普诺夫第二法中诸稳定性定理在数学上作严格证明，而只着重于物理 概念的阐述和应用。 2,李雅普诺夫第二法诸稳定性定理 设系统状态方程为文=f(x,),其平衡状态满足「(0，)=0，不失一般性，把状态空间 原点作为平衡状态，并设系统在原点邻域存在V(x,)对x的连续的一阶偏导数。 定理1若①V(x,)正定，②广(x,)负定：则原点是渐近稳定的。 V(x)负定表示能量随时间连续单调地衰成，故与渐近稳定性定义叙述一致. 定理2若①(x,)正定：②广(x,)负半定，且在非零状态不恒为零：则原点是渐近 稳定的。 广(x,)负半定表示在非零状态存在广(x,)=0,但在从初态出发的轨迹x(Gx。,。)上， 不存在V(x,)=0的情况，于是系统将继续运行至原点，状态轨迹仅是经历能量不变的状态。 而不会维持在该状态。 定理3若①(x,)正定：②广(x,)负半定，且在非零状态恒为零：则原点是李雅普 诺夫意义下稳定的。 沿状态轨迹能维持V(x,)=0,表示系统能维持等能量水平运行，使系统维持在非零状 态而不运行至原点
331 = = n nn n n n T x x p p p p V x x Px x x 1 1 11 1 1 ( ) （8-75） 其中， P 为对称矩阵，有 pij = p ji 。显然满足 V (x) = 0 ，其定号性由赛尔维斯特准则判定。 当 P 的各顺序主子行列式均大于零时，即 11 1 11 12 11 21 22 1 0, 0, , 0 n n nn p p p p p p p p p （8-76） P 为正定矩阵，则 V x( ) 正定。当 P 的各顺序主子行列式负、正相间时，即 11 1 11 12 11 21 22 1 0, 0, , ( 1) 0 n n n nn p p p p p p p p p − （8-77） P 为负定矩阵，则 V x( ) 负定。若主子行列式含有等于零的情况，则 V x( ) 为正半定或负半 定。不属以上所有情况的 V x( ) 不定。 下面不打算对李雅普诺夫第二法中诸稳定性定理在数学上作严格证明，而只着重于物理 概念的阐述和应用。 2.李雅普诺夫第二法诸稳定性定理 设系统状态方程为 x = f (x,t) ，其平衡状态满足 f (0,t) = 0 ,不失一般性，把状态空间 原点作为平衡状态，并设系统在原点邻域存在 V x t ( , ) 对 x 的连续的一阶偏导数。 定理 1 若① V x t ( , ) 正定，② V x t ( , ) 负定；则原点是渐近稳定的。 V x t ( , ) 负定表示能量随时间连续单调地衰减，故与渐近稳定性定义叙述一致。 定理 2 若① V x t ( , ) 正定；② V x t ( , ) 负半定，且在非零状态不恒为零；则原点是渐近 稳定的。 V x t ( , ) 负半定表示在非零状态存在 V x t ( , ) 0 ，但在从初态出发的轨迹 ( ; , ) 0 0 x t x t 上， 不存在 V (x,t) 0 的情况，于是系统将继续运行至原点。状态轨迹仅是经历能量不变的状态， 而不会维持在该状态。 定理 3 若① V x t ( , ) 正定；② V x t ( , ) 负半定，且在非零状态恒为零；则原点是李雅普 诺夫意义下稳定的。 沿状态轨迹能维持 V (x,t) 0 ，表示系统能维持等能量水平运行，使系统维持在非零状 态而不运行至原点
定理4若①V(x,)正定：②广(x,)正定：则原点是不稳定的。 广(x,)正定表示能量函数随时间增大，故状态轨迹在原点邻域发散。 参考定理2可推论：V(x,)正定，当(x,)正半定，且在非零状态不恒为零时，则原 点不稳定。 应注意到，李雅普诺夫函数[正定的V(x,)]的选取是不惟一的，但只要找到一个V(x,) 满足定理所述条件，便可对原点的稳定性作出判断，并不因选取的V(x,)不同而有所影响。 不过至今尚无构造李雅普诺夫函数的通用方法，这是应用李雅普诺夫稳定性理论的主要障 碍。如果V(x,)选取不当，会导致广(x,)不定的结果，这时便作不出确定的判断，需要重 新选取V(x,)。 以上定理按照广(x,)连续单调衰减的要求来确定系统稳定性，并未考虑实际稳定系统 可能存在衰诚振荡的情况，因此其条件是偏于保守的，故借稳定性定理判稳定者必稳定，李 雅普诺夫第二法诸稳定性定理所述条件都是充分条件。 具体分析时，先构造一个李雅普诺夫函数V(x,),通常选二次型函数，求其导数广(x,), 再将状态方程代入，最后根据广(x,)的定号性判别稳定性。 至于如何判断在非零状态下x(化x,),是否有恒为零的情况，可按如下方法进行： 令广(x,)=0,将状态方程代入，若能导出非零解，表示对x≠0，广(x,)三0的条件是成 立的：若导出的是全零解，表示只有原点满足广(x,)■0的条件。 例8-13试用李雅普诺夫第二法判断下列非线性系统的稳定性， 名=x2-x(x+x)年=-x-x2(x+x) 解令元=0及名2=0，可以解得原点(x2=0,x=0)是系统的惟一平衡状态。 取李雅普诺夫函数为V(x)=(x+x),则 V(x)=2x元1+2x2 将状态方程代入有 (x)=-2(x+x) 显然广(x,)负定，根据定理1，原点是渐近稳定的。因为只有一个平衡状态，该非线性系统 是大范围渐近稳定的。又因为V(x,)与t无关，系统大范围一致渐近稳定。 例8-14试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。 元=X2,元2=-X-2 解令元=2=0，得知原点是惟一的平衡状态。选V(x)=2x子+x子，则 (x)=2x,(-x2),当x>2>0时，广(x)>0:当3>x>0时，广()<0，故广(x) 不定，不能对稳定性作出判断，应重选V(x,)。 32
332 定理 4 若① V x t ( , ) 正定；② V x t ( , ) 正定；则原点是不稳定的。 V x t ( , ) 正定表示能量函数随时间增大，故状态轨迹在原点邻域发散。 参考定理 2 可推论： V x t ( , ) 正定，当 V x t ( , ) 正半定，且在非零状态不恒为零时，则原 点不稳定。 应注意到，李雅普诺夫函数[正定的 V x t ( , ) ]的选取是不惟一的，但只要找到一个 V x t ( , ) 满足定理所述条件，便可对原点的稳定性作出判断，并不因选取的 V x t ( , ) 不同而有所影响。 不过至今尚无构造李雅普诺夫函数的通用方法，这是应用李雅普诺夫稳定性理论的主要障 碍。如果 V x t ( , ) 选取不当，会导致 V x t ( , ) 不定的结果，这时便作不出确定的判断，需要重 新选取 V x t ( , )。 以上定理按照 V x t ( , ) 连续单调衰减的要求来确定系统稳定性，并未考虑实际稳定系统 可能存在衰减振荡的情况，因此其条件是偏于保守的，故借稳定性定理判稳定者必稳定，李 雅普诺夫第二法诸稳定性定理所述条件都是充分条件。 具体分析时，先构造一个李雅普诺夫函数 V x t ( , ) ，通常选二次型函数，求其导数 V x t ( , ) ， 再将状态方程代入，最后根据 V x t ( , ) 的定号性判别稳定性。 至于如何判断在非零状态下 [ ( ; , ), ] 0 0 V x t x t t 是否有恒为零的情况，可按如下方法进行： 令 V(x,t) 0 ，将状态方程代入，若能导出非零解，表示对 x 0 ，V(x,t) 0 的条件是成 立的；若导出的是全零解，表示只有原点满足 V(x,t) 0 的条件。 例 8-13 试用李雅普诺夫第二法判断下列非线性系统的稳定性。 ( ) 2 2 2 1 2 1 1 x = x − x x + x ( ) 2 2 2 2 1 2 1 x = −x − x x + x 解 令 x 1 = 0 及 x 2 = 0 ，可以解得原点（ x2 = 0 ， x1 = 0 ）是系统的惟一平衡状态。 取李雅普诺夫函数为 ( ) ( ) 2 2 2 1 V x = x + x ，则 2 1 1 2 2 2 V(x) x x x x = + 将状态方程代入有 2 2 2 1 2 V x x x ( ) 2( ) = − + 显然 V x t ( , ) 负定，根据定理 1，原点是渐近稳定的。因为只有一个平衡状态，该非线性系统 是大范围渐近稳定的。又因为 V x t ( , ) 与 t 无关，系统大范围一致渐近稳定。 例 8-14 试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。 1 2 x = x ， 2 1 2 x = −x − x 解 令 x 1 = x 2 = 0 ，得知原点是惟一的平衡状态。选 2 2 2 2 1 V(x) = x + x ， 则 ( ) 2 ( ) 2 1 2 V x = x x − x ，当 x1 x2 0 时， V(x) 0 ；当 x2 x1 0 时， V(x) 0 ，故 V (x) 不定，不能对稳定性作出判断，应重选 V x t ( , )
选V(x)=x+x,则考虑状态方程后得广(x)=-2x号，对于非零状态（如x=0, x,≠0)存在(x)=0,对于其余非零状态，广(x)0),元2=-x1 解 由元=元=0，可知原点是惟一平衡状态。选V(x)=x子+k,考虑状态方程 则有 (x)=2kxx2-22x=0 对所有状态，(x)=0,故系统是李雅普诺夫意义下稳定的。 例8-16试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。 x1=X3x2=-X1十X, 解原点是惟一平衡状态。选V(x)=x+x,则(x)=2x,(x)与x无关，故存 在非零状态（如x≠0，x=0),使广(x)=0,而对其余任意状态有广(x)>0,故广(x)正 半定。根据定理4的推论，系统不稳定。 例8-17试判断下列线性系统平衡状态的稳定性 =2-1,2=--53+2 解二=：=1是系统的惟一平衡状态，方程中的常数项可以看作是阶跃输入作用的 结果。作坐标变换x=二-1，水2=2-1。得到元=x2,元2=-x1-x2。原状态方程在 Z状态空间(1,1)处的稳定性判别问题就变成变换后状态方程在X状态空间原点处的稳 定性判别问恶。 选(x)=+写，对其求导，考虑状态方程，得到广(x)=2x+x=-2x,系统 原点是大范围一致渐近稳定的，因而原系统在平衡状态(1,1)处是大范围一致渐近稳定的。 注意：一般不能用李雅普诺夫函数去直接判别非原点的平衡状态稳定性。 例8-18试判断下列非线性系统平衡状态的稳定性。 文=x+x2 解这实际上是一个可线性化的非线性系统的典型例子。令文=0，得知系统有两个平 衡状态，x=0和x=-a。 对位于原点的平衡状态，选(x)=x2,有 /(x)=2ar2+2x3-2x2(a+x) 于是，当a0时，原点显然是不稳定的：a=0时原点也是不稳定的[x>0,户(x)>0]. 333
333 选 2 2 2 1 V(x) = x + x ，则考虑状态方程后得 2 2 2 V(x) = − x ，对于非零状态（如 x2 = 0 ， x1 0 ）存在 V(x) = 0 ，对于其余非零状态， V(x) 0 ，故 V (x) 负半定。根据定理 2，原 点是渐近稳定的，且是大范围一致渐近稳定。 例 8-15 下列线性系统平衡状态的稳定性： ( 0) x 1 = kx2 k ， 2 1 x = −x 解 由 x 1 = x 2 = 0 ，可知原点是惟一平衡状态。选 2 2 2 1 V(x) = x + kx ，考虑状态方程 则有 1 2 2 1 V x kx x kx x ( ) 2 2 0 =−= 对所有状态， V(x) = 0 ，故系统是李雅普诺夫意义下稳定的。 例 8-16 试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。 1 2 x = x ， 2 1 2 x = −x + x 解 原点是惟一平衡状态。选 2 2 1 2 V x x x ( ) = + ，则 2 2 2 V(x) = x ，V (x) 与 1 x 无关，故存 在非零状态（如 0, 0) x1 x2 = ，使 V(x) = 0 ，而对其余任意状态有 V(x) 0 ，故 V (x) 正 半定。根据定理 4 的推论，系统不稳定。 例 8-17 试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。 1 2 z z = −1， 2 1 2 z z z = − − + 2 解 1 1 z z = =1 是系统的惟一平衡状态，方程中的常数项可以看作是阶跃输入作用的 结果。作坐标变换 1 1 x z = −1， 2 2 x z = −1 。得到 1 2 x = x ， 2 1 2 x = −x − x 。原状态方程在 Z 状态空间（1，1）处的稳定性判别问题就变成变换后状态方程在 X 状态空间原点处的稳 定性判别问题。 选 2 2 1 2 V x x x ( ) = + ，对其求导，考虑状态方程，得到 2 2 2 2 2 V(x) = 2x1 + x = −2x ，系统 原点是大范围一致渐近稳定的，因而原系统在平衡状态（1，1）处是大范围一致渐近稳定的。 注意：一般不能用李雅普诺夫函数去直接判别非原点的平衡状态稳定性。 例 8-18 试判断下列非线性系统平衡状态的稳定性。 2 x ax x = + 解 这实际上是一个可线性化的非线性系统的典型例子。令 x = 0 ，得知系统有两个平 衡状态， x = 0 和 x a =− 。 对位于原点的平衡状态，选 2 V x x ( ) = ,有 2 3 2 V x ax x x a x ( ) 2 2 2 ( ) = + = + 于是，当 a 0 时，系统在原点处的平衡状态是局部 ( ) x a − 一致渐近稳定的；根据定 理 4，当 a 0 时，原点显然是不稳定的； a = 0 时原点也是不稳定的[ x 0,V(x) 0 ]
上述结论也可以从状态方程直接看出。 对于平衡状态X=-4,作坐标变换2=x+a,得到新的状态方程 2=-0z+z 因此，通过与原状态方程对比可以断定：对于原系统在状态空间x=一口处的平衡状态， 当a>0时是局部一致渐近稳定的：当a≤0时是不稳定的。 $8.3.4线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析 1.连续系统渐近稳定的判别 设系统状态方程为文=红，A为非奇异矩阵，故原点是惟一平衡状态。可以取下列 正定二次型函数V(x)作为李雅普诺夫函数，即 V(x)=x'Px (8-78) 求导并考虑状态方程 V(x)=Px+xPi=x(A'P+AP)x (8-79) 令 AP+AP=-0 (8-80) 得到 V(x)=-x'Qx (8-81) 根据定理1，只要Q正定（即(x)负定），则系统是大范围一致渐近稳定的。于是线性 定常连续系统渐近稳定的判定条件可表示为：给定一正定矩阵P,存在满足式(8-81)的 正定矩阵Q。 可以先给定一个正定的P矩阵，然后验证Q矩阵是否正定的步骤去分析稳定性。但若P 选取不当，往往会导致Q矩阵不定，使得判别过程多次重复进行。因此，也可以先指定正 定的Q矩阵，然后验证P矩阵是否正定。 定理5（证明从略）系统文=A红渐近稳定的充要条件为：给定正定实对称矩阵Q,存 在正定实对称矩阵P使式(8-80)成立。 x'Px是系统的一个李雅普诺夫函数。该定理为系统的渐近稳定性判断带来实用上的 极大方便，这时是先给定Q矩阵，采用单位矩阵最为简单，再按式(8-80)计算P并校验 其定号性，当P矩阵正定时，则系统渐近稳定：当P矩阵负定时，则系统不稳定：当P矩 阵不定时，可断定为非渐近稳定，至于具体的稳定性质，尚须结合其它方法去判断，既有可 能不稳定，也有可能是李雅普诺夫意义下稳定。总之，对于系统是否渐近稳定，只需进行 次计算。 由定理2可以推知，若系统状态轨迹在非零状态不存在(x)恒为零时，Q矩阵可给定 334
334 上述结论也可以从状态方程直接看出。 对于平衡状态 x a =− ，作坐标变换 z x a = + ，得到新的状态方程 2 z az z = − + 因此，通过与原状态方程对比可以断定：对于原系统在状态空间 x a =− 处的平衡状态， 当 a 0 时是局部一致渐近稳定的；当 a 0 时是不稳定的。 §8.3.4 线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析 1. 连续系统渐近稳定的判别 设系统状态方程为 x = Ax ， A 为非奇异矩阵，故原点是惟一平衡状态。可以取下列 正定二次型函数 V x( ) 作为李雅普诺夫函数，即 V x x Px T ( ) = （8-78） 求导并考虑状态方程 V x x Px x Px x A P AP x T T T T ( ) = + = ( + ) （8-79） 令 A P AP Q T + = − （8-80） 得到 V x x Qx T ( ) = − （8-81） 根据定理 1，只要 Q 正定（即 V (x) 负定），则系统是大范围一致渐近稳定的。于是线性 定常连续系统渐近稳定的判定条件可表示为：给定一正定矩阵 P ，存在满足式（8-81）的 正定矩阵 Q 。 可以先给定一个正定的 P 矩阵，然后验证 Q 矩阵是否正定的步骤去分析稳定性。但若 P 选取不当，往往会导致 Q 矩阵不定，使得判别过程多次重复进行。因此，也可以先指定正 定的 Q 矩阵，然后验证 P 矩阵是否正定。 定理 5 （证明从略）系统 x Ax = 渐近稳定的充要条件为：给定正定实对称矩阵 Q ，存 在正定实对称矩阵 P 使式（8-80）成立。 x Px T 是系统的一个李雅普诺夫函数。该定理为系统的渐近稳定性判断带来实用上的 极大方便，这时是先给定 Q 矩阵，采用单位矩阵最为简单，再按式（8-80）计算 P 并校验 其定号性，当 P 矩阵正定时，则系统渐近稳定；当 P 矩阵负定时，则系统不稳定；当 P 矩 阵不定时，可断定为非渐近稳定，至于具体的稳定性质，尚须结合其它方法去判断，既有可 能不稳定，也有可能是李雅普诺夫意义下稳定。总之，对于系统是否渐近稳定，只需进行一 次计算。 由定理 2 可以推知，若系统状态轨迹在非零状态不存在 V (x) 恒为零时， Q 矩阵可给定
为正半定的，即允许单位矩阵中主对角线上部分元素为零（取法不是唯一的，只要既简单又 能导出确定的平衡状态的解即可)，而解得的P矩阵仍应是正定的。 例8-19试用李雅普诺夫方程确定使图8-19所示系统渐近稳定的k值范围 图8-19例8-29的系统框图 解由图示状态变量列写状态方程为 「0101「0] =0-21x+0w -k0-1k 稳定性与输入无关，可令u=0。由于dtA=-K≠0，A非奇异，原点为惟一的平衡状态。 取Q为正半定矩阵 「000] Q=000 001 则(x)=-x'=-x,(x)负半定。令广(x)=0,有x=0,考虑状态方程中 元=-化-x,解得x=0:考虑到x=X2,解得x2=0,表明唯有原点存在广(x)=0。 4P+PA=-0 1 -2 0 P=z pas +pa P=Pas 0-2 1 =000 Lo 1 -1Ps Ps Ps Lps Ps Ps-k o -1 00-1 展开的代数方程为6个，即 -2kp3=0,-p23+p1-2A2=0,-p+PA2-B3=0 2p12-4P2=0,P1-3p23+P2=0,2P23-2p3=0 解得
335 为正半定的，即允许单位矩阵中主对角线上部分元素为零（取法不是唯一的，只要既简单又 能导出确定的平衡状态的解即可），而解得的 P 矩阵仍应是正定的。 例 8-19 试用李雅普诺夫方程确定使图 8-19 所示系统渐近稳定的 k 值范围。 图 8-19 例 8-29 的系统框图 解 由图示状态变量列写状态方程为 0 1 0 0 0 2 1 0 0 1 x x u k k = − + − − 稳定性与输入无关，可令 u = 0 。由于 det A = −K 0，A 非奇异，原点为惟一的平衡状态。 取 Q 为正半定矩阵 = 0 0 1 0 0 0 0 0 0 Q 则 2 3 V(x) x Qx x T = − = − ， V (x) 负半定。令 V(x) 0 ，有 x3 0 ，考虑状态方程中 3 1 3 x kx x = − − ，解得 x1 0 ；考虑到 1 2 x = x ，解得 x2 0 ，表明唯有原点存在 V(x) 0 。 令 A P PA Q T + = − 11 12 13 11 12 13 12 22 23 12 22 23 13 23 33 13 23 33 0 0 0 1 0 0 0 0 1 2 0 0 2 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 k p p p p p p p p p p p p p p p p p p k − − + − = − − − − 展开的代数方程为 6 个，即 13 − = 2 0 kp ， 23 11 12 − + − = kp p p2 0 ， 33 12 13 − + − = kp p p 0 2p12 − 4p22 = 0 ， p13 − 3p23 + p22 = 0， 2p23 − 2p33 = 0 解得
「k2+12k 6k 0 12-12k12-2k P= 6k 3k 12-2k 12-2k12-2k 0 12-2k12-2k 使P矩阵正定的条件为：12-2k>0及k>0。故0<k<6时，系统渐近稳定。由于是线 性定常系统，系统大范围一致渐近稳定。 2.离散系统渐近稳定的判别 设系统状态方程为x(化+)=中()，原点是平衡状态。取正定二次型函数 VIx()=x'(k)Px(k) (8-82) 以△Vx(k]代替户(x),有 △Tx(k】=x(k+I】-Tx(k月 (8-83) 考虑状态方程，有 AVx(k)=x(k+1Px(k+1)-x()Px(k) =[Dx(k)]'P(Dx(k)-x"(k)Px(k) (8-84) =x'(k)[ΦPD-P]x(k) bPΦ-P=-Q (8-85) 式(8-85)称为李雅普诺夫代数方程。x(k)Px(k)是系统的一个李雅普诺夫函数，于是有 △x(k】=-x'(k)Qx() (8-86) 定理6系统x(k+)=Dx(k)渐近稳定的充要条件是：给定任一正定实对称矩阵Q (常取Q=D,存在正定对称矩阵P,使式(8-85)成立
336 2 12 6 0 12 12 12 2 6 3 12 2 12 2 12 2 6 0 12 2 12 2 k k k k k k k k P k k k k k k k + − − = − − − − − 使 P 矩阵正定的条件为： 12 2 0 − k 及 k 0 。故 0 6 k 时，系统渐近稳定。由于是线 性定常系统，系统大范围一致渐近稳定。 2. 离散系统渐近稳定的判别 设系统状态方程为 x k x k ( 1) ( ) + = ，原点是平衡状态。取正定二次型函数 V[x(k)] x (k)Px(k) T = （8-82） 以 V[x(k)] 代替 V (x) ，有 V[x(k)] = V[x(k +1)] −V[x(k)] （8-83） 考虑状态方程，有 [ ( )] ( 1) ( 1) ( ) ( ) [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) T T T T T T V x k x k Px k x k Px k x k P x k x k Px k x k P P x k = + + − = − = − （8-84） 令 T − = − P P Q （8-85） 式（8-85）称为李雅普诺夫代数方程。 x (k)Px(k) T 是系统的一个李雅普诺夫函数，于是有 V[x(k)] x (k)Qx(k) T = − （8-86） 定理 6 系统 x k x k ( 1) ( ) + = 渐近稳定的充要条件是：给定任一正定实对称矩阵 Q （常取 Q ＝I），存在正定对称矩阵 P ，使式（8-85）成立