第五章控制系统的频域分析 一、频域特性的概念 线性定常系统在正弦输入信号的作用下，其输出的稳态分量是与输入信号相同频率的正弦函 数。输出稳态分量与输入正弦信号的复数比称为频率特性。用数学式表示为： G(j@)=Y(jo) X(jo) 系统的频率特性GUo)是系统传递函数G(s)的特殊形式，它们之间的关系是 G(j0)=G(s)m 二、频率特性的表示方法 直角坐标式： G(Uo)=R(o)+jl(o)，见图1.5- 式中：R()-称之为实频特性 1()-称之为虚频特性 极坐标式： G(j)=A()e) 式中：4A(o)=GUo)-称之为幅频特性 (o)=∠GU)-称之为相频特性 直角坐标和级坐标表示方法之间的关系是 G(io) R(@)=A(@)coso(@) I(a)=A(@)sin @ A(@)=VR2()+I2(o) Ho)=(a) R(o) 图形如图1.5-1所示。 R(o) Re 图1.5-1
第五章 控制系统的频域分析 一、频域特性的概念 线性定常系统在正弦输入信号的作用下，其输出的稳态分量是与输入信号相同频率的正弦函 数。输出稳态分量与输入正弦信号的复数比称为频率特性。用数学式表示为： ( ) ( ) ( ) X j Y j G j = 系统的频率特性 G( j) 是系统传递函数 G(s) 的特殊形式，它们之间的关系是 s j G j G s = = ( ) ( ) 二、频率特性的表示方法 直角坐标式： G( j) = R() + jI() ，见图 1.5-1 式中： R() −称之为实频特性 I() −称之为虚频特性 极坐标式： ( ) ( ) ( ) j G j = A e 式中： A() = G( j) −称之为幅频特性 () = G( j) −称之为相频特性 直角坐标和级坐标表示方法之间的关系是 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sin ( ) ( ) ( ) cos ( ) 1 2 2 R I tg A R I I A R A − = = + = = 图形如图 1.5-1 所示。 I() R() () A() G( j) Re m I 图 1.5-1
三、幅相频率特性曲线（又称乃氏图，乃氏曲线） 以角频率0为参变量，对某一频率0，有相应的幅频特性4A(®)和相频特性(@)与之对应， 当0从0→0变化时，频率特性构成的向量在复平面上描绘出的曲线称为幅相频率特性曲 线。又称为乃氏图、乃氏曲线。 四、对数颜率特性（又称频率特性的对数坐标图，伯德图) 对数频率特性图（伯德图）有两张图，一张为对数幅频特性曲线图，另一张是对数相频特性 曲线图。前者以频率⊙为横坐标，并采用对数分度，将20gGUo)的函数值作为纵坐标， 并以分贝(B)为单位均匀分度。后者的横坐标也以频率⊙为横坐标（也用对数分度），纵 坐标则为相角（回），单位为度()，均匀分度。两张图合起来称为伯德图。 五、奈奎斯特稳定性判据（又称奈氏判据） 1.对于开环稳定的系统，闭环系统稳定的充分必要条件是开环系统的奈氏曲线 Gjo)HUo)不包围(10)点。反之，则闭环系统是不稳定的. 2.对于开环不稳定的系统，有P个开环极点位于右半3平面，则闭环系统稳定的充分 必要条件是当0：-0→0变化时，开环系统的奈氏曲线Gjo)H(jo)逆时针 包围(1,0)点p次。 六、稳定裕量（又称稳定裕度） 稳定裕量是衡量系统相对稳定性的指标，稳定裕量分为相位裕量和增益裕量（又称相角裕量 和幅值裕量)两种。 1.相位裕量 当开环幅相频率特性曲线（奈氏曲线）的幅值为1时，其相位角(@)与-180°（即 负实轴)的相角差y,称为相位裕量y。即 y=(0.)-(-180)=180°+0) 奈氏曲线与单位园相交的频率，称为幅值穿越频率 当o=o时，有GUjo)HUo=1
三、幅相频率特性曲线（又称乃氏图，乃氏曲线） 以角频率 为参变量，对某一频率 ，有相应的幅频特性 A() 和相频特性 () 与之对应， 当 从 0 → 变化时，频率特性构成的向量在复平面上描绘出的曲线称为幅相频率特性曲 线。又称为乃氏图、乃氏曲线。 四、对数频率特性（又称频率特性的对数坐标图，伯德图） 对数频率特性图（伯德图）有两张图，一张为对数幅频特性曲线图，另一张是对数相频特性 曲线图。前者以频率 为横坐标，并采用对数分度，将 20lg G( j) 的函数值作为纵坐标， 并以分贝（dB）为单位均匀分度。后者的横坐标也以频率 为横坐标（也用对数分度），纵 坐标则为相角 () ，单位为度 () ，均匀分度。两张图合起来称为伯德图。 五、奈奎斯特稳定性判据（又称奈氏判据） 1. 对于开环稳定的系统，闭环系统稳定的充分必要条件是开环系统的奈氏曲线 G( j)H( j) 不包围 (−1, j0) 点。反之，则闭环系统是不稳定的。 2. 对于开环不稳定的系统，有 p 个开环极点位于右半 s 平面，则闭环系统稳定的充分 必要条件是当 ： − → 变化时，开环系统的奈氏曲线 G( j)H( j) 逆时针 包围 (−1, j0) 点 p 次。 六、稳定裕量（又称稳定裕度） 稳定裕量是衡量系统相对稳定性的指标，稳定裕量分为相位裕量和增益裕量（又称相角裕量 和幅值裕量）两种。 1. 相位裕量 当开环幅相频率特性曲线（奈氏曲线）的幅值为 1 时，其相位角 ( ) c 与−180 （即 负实轴）的相角差 ，称为相位裕量 。即 ( ) ( 180 ) 180 ( ) c c = − − = + 又称为截止频率、剪切 频率。 式中：c −奈氏曲线与单位园相交 的频率，称为幅值穿越 频率， 当 =c时，有 G( j)H( j) =1
当y>0时，相位裕量为正，闭环系统稳定。当y=0时，表示奈氏曲线恰好通过 (仁L0)点，系统处于临界稳定状态。当y时，闭环系统稳定。当K。=时，系统处于临界稳定状态。当K。1时， 闭环系统不稳定。 七、闭环频率特性性能指标 常用的闭环频率特性性能指标有：谐振蜂值、谐振频率、带宽和带宽频率。 1.谐振峰值M, 谐振峰值M,是指系统闭环频率特性幅值的最大值。 2.系统带宽和带宽频率 当闭环幅频特性M(o)下降到0.707M(O)时的频率o称为带宽频率。 M(O)-闭环幅频特性M(o)的初值。频率范围[O,o,]称为系统的带宽。 八、频域指标与时域指标之间的关系 1,典型二阶系统频域与时域指标间的关系 )截止频率 0.=0VV1+45-252 2)相位裕量 y=18-- 25 W+45-25 3)带宽频率 0=01-252)+2-452+45
当 0时 ，相位裕量为正，闭环系统稳定。当 = 0时 ，表示奈氏曲线恰好通过 (−1, j0) 点，系统处于临界稳定状态。当 <0 时，相位裕量为负，闭环系统不稳定。 2. 增益裕量 Kg 增益裕量定义为奈氏曲线与负实轴相交处的幅值的倒数。即 ( ) ( ) 1 g g g G j H j K = 又称为相角交界频率 。 式中 奈氏曲线与负实轴相交 处的频率，称为相位穿 越频率 ( ) :g − 当 = ( ) ( ) = −180 g g g 时，有： G j H j 当 Kg 1时 ，闭环系统稳定。当 Kg = 1时 ，系统处于临界稳定状态。当 Kg <1 时， 闭环系统不稳定。 七、闭环频率特性性能指标 常用的闭环频率特性性能指标有：谐振峰值、谐振频率、带宽和带宽频率。 1. 谐振峰值 Mr 谐振峰值 Mr 是指系统闭环频率特性幅值的最大值。 2. 系统带宽和带宽频率 当 闭 环 幅 频特 性 M () 下降到 0.707M (0) 时的频率 b 称 为 带 宽 频率 。 M(0) −闭环幅频特性M() 的初值。频率范围 0，b 称为系统的带宽。 八、频域指标与时域指标之间的关系 1. 典型二阶系统频域与时域指标间的关系 1) 截止频率 4 2 c = n 1+ 4 − 2 2) 相位裕量 4 2 1 1 4 2 2 + − = − tg 3) 带宽频率 2 2 4 b = n (1− 2 ) + 2 − 4 + 4
4)谐振频率 a,=0,-250<5<0.707 1 5)谐振蜂值 M,-25-2E (0<5<0.707) 2.高阶系统频域与时域指标之间的近似关系 1 1)谐振峰值 2)超调量 0,%=[0.16+0.4(M,-1月×100%(1≤M,≤1.8) 3)调整时间 式中：k-2+1.5(M,-1)+2.5(M,-I)2(1≤M≤1.8) 九、截止频率®的计算（解析法）
4) 谐振频率 1 2 (0 0.707) 2 r = n − 5) 谐振峰值 (0 0.707) 2 1 2 1 2 − = M r 2. 高阶系统频域与时域指标之间的近似关系 1) 谐振峰值 sin 1 Mr 2) 超调量 % [0.16 0.4( 1)] 100% (1 M 1.8) p = + M r− r 3) 调整时间 c s k t = 式中： 2 1.5( 1) 2.5( 1) (1 M 1.8) r 2 k = + Mr − + Mr − 九、截止频率 c 的计算（解析法）
o的确定对于计算系统的相位裕量十分重要，依文献，可按以下步骤进行。 1.按分段描述方法，写出对数幅频特性曲线的渐近线方程表达式，即 201g A (@ 00≤0≤01 20lgA2(0) 01≤0≤02 L(o)= 20lgAn-1(0) 0m-2≤0≤0n-l 201g A (@ 0≥0n 2.按顺序求A,(⊙)=1之解0，验证01≤@≤0，成立与否；若成立，则⊙。=o,停 止计算（即已求出截止频率0。）。若o,-1≤o≤⊙，不成立，则令i=i+1,重新解A,(0)=1。 直至满足0,1≤0≤0，为止
c 的确定对于计算系统的相位裕量十分重要，依文献[10]，可按以下步骤进行。 1. 按分段描述方法，写出对数幅频特性曲线的渐近线方程表达式，即 20lg ( ) 20lg ( ) 20lg ( ) 20lg ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 0 1 = − − − n n n n n A A A A L 2．按顺序求 Ai () =1 之解 * ，验证 i− i * 1 成立与否；若成立，则 * c = ，停 止计算（即已求出截止频率 c ）。若 i− i * 1 不成立，则令 i = i +1 ，重新解 Ai () =1。 直至满足 i− i * 1 为止
