第7章非线性控制系统分析 非线性系统的形式和种类繁多，在构成控制系统的环节中，有一个或一个以上的环节具 有非线性特性时，这种控制系统就属于非线性控制系统。本章所说的非线性环节是指输入、 输出间的静特性不满足线性关系的环节。对于非线性控制系统，目前还没有通用的分析设计 方法，这里主要介绍工程上常用的相平面分析法和描述函数法。 7.1非线性控制系统概述 7,1.1非线性现象的普遍性 组成实际控制系统的环节总是在一定程度上带有非线性。例如，作为放大元件的品体管 放大器，由于它们的组成元件（如晶体管、铁心等）都有一个线性工作范用，超出这个范围， 放大器就会出现饱和现象：执行元件例如电动机，总是存在摩擦力矩和负载力矩，因此只有 当输入电压达到一定数值时，电动机才会转动，即存在不灵敏区，同时，当输入电压超过 定数值时，由于磁性材料的非线性，电动机的输出转矩会出现饱和：各种传动机构由于机械 加工和装配上的缺陷，在传动过程中总存在着间隙，等等。 实际控制系统总是或多或少地存在者非线性因素，所谓线性系统只是在忽略了非线性 因素或在一定条件下进行了线性化处理后的理想模型。 7.1.2控制系统中的典型非线性特性 在实际控制系统中所遇到的非线性特性是各式各样的。常见的典型非线性特性有下述几 种： 1.饱和非线性特性 实际放大器只能在一定的输入范围内保持输出和输入之间的 线性关系：当输入超出该范围时，其输出则保持为一个常值。这 种特性称为饱和非线性特性，如图7-1所示，其中-a<x<a的 区域是线性范围，线性范围以外的区域是饱和区。许多元件的 图7-1饱和非线性 291
291 第 7 章 非线性控制系统分析 非线性系统的形式和种类繁多，在构成控制系统的环节中，有一个或一个以上的环节具 有非线性特性时，这种控制系统就属于非线性控制系统。本章所说的非线性环节是指输入、 输出间的静特性不满足线性关系的环节。对于非线性控制系统，目前还没有通用的分析设计 方法，这里主要介绍工程上常用的相平面分析法和描述函数法。 7.1 非线性控制系统概述 7.1.1 非线性现象的普遍性 组成实际控制系统的环节总是在一定程度上带有非线性。例如，作为放大元件的晶体管 放大器，由于它们的组成元件(如晶体管、铁心等)都有一个线性工作范围，超出这个范围， 放大器就会出现饱和现象；执行元件例如电动机，总是存在摩擦力矩和负载力矩，因此只有 当输入电压达到一定数值时，电动机才会转动，即存在不灵敏区，同时，当输入电压超过一 定数值时，由于磁性材料的非线性，电动机的输出转矩会出现饱和；各种传动机构由于机械 加工和装配上的缺陷，在传动过程中总存在着间隙，等等。 实际控制系统总是或多或少地存在着非线性因素，所谓线性系统只是在忽略了非线性 因素或在一定条件下进行了线性化处理后的理想模型。 7.1.2 控制系统中的典型非线性特性 在实际控制系统中所遇到的非线性特性是各式各样的。常见的典型非线性特性有下述几 种： 1．饱和非线性特性 实际放大器只能在一定的输入范围内保持输出和输入之间的 线性关系；当输入超出该范围时，其输出则保持为一个常值。这 种特性称为饱和非线性特性，如图 7-1 所示，其中− a x a 的 区域是线性范围，线性范围以外的区域是饱和区。许多元件的 图 7-1 饱和非线性
运动范围由于受到能源、功率等条件的限制，也都有饱和非线性特性。有时，工程上还人为 引入饱和非线性特性以限制过载。 2.不灵敏区（死区）非线性特性 一般的测量元件、执行机构都存在不灵敏区。例如某些检测元件对于小于某值的输入 量不敏感：某些执行机构接受到的输入信号比较小时不会动作，只有在输入信号大到一定程 度以后才会有输出。这种只有在输入量超过一定值后才有输出的特性称为不灵敏区非线性特 性，如图7-2所示。其中，一△<x<△的区域叫做不灵敏区或死区。 图？一2不灵敏区非线性特性 图7-3具有不灵敏区的饱和特性 3.具有不灵敏区的饱和非线性特性 在很多情况下，系统元件同时存在死区特性和饱和限幅特性。譬如，电枢电压控制的 直流电动机的控制特性就具有这种特性。具有不灵敏区的饱和非线性特性如图7-3所示。 4.继电非线性特性 实际继电器的特性如图7-4所示，输入和输出之间的关系不完全是单值的。由于继电 器吸合及释放状态下磁路的磁阻不同，吸合与释放电流是不相同的。因此，继电器的特性有 一个滞环。这种特性称为具有滞环的三位置继电特性。当m=-1时，可得到纯滞环的两位 置继电特性，如图7-5所示。当m=1时，可得到具有三位置的理想继电非线性特性，如图 7-6所示。 图7-4具有海环的三位置继电非线性特性 图7-5具有滞环的两位置继电非线性特性 29
292 运动范围由于受到能源、功率等条件的限制，也都有饱和非线性特性。有时，工程上还人为 引入饱和非线性特性以限制过载。 2．不灵敏区(死区)非线性特性 一般的测量元件、执行机构都存在不灵敏区。例如某些检测元件对于小于某值的输入 量不敏感；某些执行机构接受到的输入信号比较小时不会动作，只有在输入信号大到一定程 度以后才会有输出。这种只有在输入量超过一定值后才有输出的特性称为不灵敏区非线性特 性，如图 7-2 所示。其中， − x 的区域叫做不灵敏区或死区。 图 7—2 不灵敏区非线性特性 图 7-3 具有不灵敏区的饱和特性 3．具有不灵敏区的饱和非线性特性 在很多情况下，系统元件同时存在死区特性和饱和限幅特性。譬如，电枢电压控制的 直流电动机的控制特性就具有这种特性。具有不灵敏区的饱和非线性特性如图 7-3 所示。 4．继电非线性特性 实际继电器的特性如图 7-4 所示，输入和输出之间的关系不完全是单值的。由于继电 器吸合及释放状态下磁路的磁阻不同，吸合与释放电流是不相同的。因此，继电器的特性有 一个滞环。这种特性称为具有滞环的三位置继电特性。当 m = −1 时，可得到纯滞环的两位 置继电特性，如图 7-5 所示。当 m =1 时，可得到具有三位置的理想继电非线性特性，如图 7-6 所示。 图 7-4 具有滞环的三位置继电非线性特性 图 7-5 具有滞环的两位置继电非线性特性
5.间隙非线性特性 间隙非线性的特点是：当输入量的变化方向改变时，输出量保持不变，一直到输入量 的变化超出一定数值（间隙）后，输出量才跟若变化。机械传动一般都有问隙存在。齿轮传动 中的间隙是最明显的例子。间隙非线性如图T-7所示。 图7-6具有三位置的理想继电非线性特性 图7-7间障非线性特性 7.1,3非线性控制系统的特殊性 与线性系统相比，非线性系统有若本质的不同和许多特殊的运动形式，主要表现在下述 几个方面。 1.叠加原理不能应用于非线性控制系统 对于线性系统，如果系统对输入x的响应为y,对输入X2的响应为2，则在信号 x=ax+ax2 的作用下(a1、a2为常量)，系统的输出为 y=ay+ay 这便是叠加原理。但在非线性系统中，这种关系不成立。 在线性系统中，一般可采用传递函数、频率特性、根轨迹等概念。同时，由于线性系统 的运动特征与输入的幅值、系统的初始状态无关，故通常是在典型输入函数和零初始条件下 进行研究的。然而，在非线性系统中，由于叠加原理不成立，不能应用上述方法。 2.对正弦输入信号的响应 在线性系统中，当输入是正弦信号时，系统的稳态输出是相同频率的正弦信号。系统的 稳态输出和输入仅在幅值和相角上不相同。利用这一特性，可以引入频率特性的概念来描述 系统的动态特性。 非线性系统对正弦输入信号的响应比较复杂，其稳态输出除了包含与输入频率相同的信 293
293 5．间隙非线性特性 间隙非线性的特点是：当输入量的变化方向改变时，输出量保持不变，一直到输入量 的变化超出一定数值(间隙)后，输出量才跟着变化。机械传动一般都有间隙存在。齿轮传动 中的间隙是最明显的例子。间隙非线性如图 7-7 所示。 图 7-6 具有三位置的理想继电非线性特性 图 7-7 间隙非线性特性 7.1.3 非线性控制系统的特殊性 与线性系统相比，非线性系统有着本质的不同和许多特殊的运动形式，主要表现在下述 几个方面。 1．叠加原理不能应用于非线性控制系统 对于线性系统，如果系统对输入 1 x 的响应为 1 y ，对输入 2 x 的响应为 2 y ，则在信号 1 1 2 2 x = a x + a x 的作用下( 1 a 、 a2 为常量)，系统的输出为 1 1 2 2 y = a y + a y 这便是叠加原理。但在非线性系统中,这种关系不成立。 在线性系统中，一般可采用传递函数、频率特性、根轨迹等概念。同时，由于线性系统 的运动特征与输入的幅值、系统的初始状态无关，故通常是在典型输入函数和零初始条件下 进行研究的。然而，在非线性系统中，由于叠加原理不成立，不能应用上述方法。 2．对正弦输入信号的响应 在线性系统中，当输入是正弦信号时，系统的稳态输出是相同频率的正弦信号。系统的 稳态输出和输入仅在幅值和相角上不相同。利用这一特性，可以引入频率特性的概念来描述 系统的动态特性。 非线性系统对正弦输入信号的响应比较复杂，其稳态输出除了包含与输入频率相同的信
号外，还可能有与输入频率成整数倍的高次谐波分量。因此，频率法不能适用于非线性系统， 3.稳定性问题 线性系统若稳定，则它无论受到多大的扰动，扰动消失后系统一定会回到惟一的平衡点 (原点)。而非线性系统的平衡点可能不止一个，因此不存在系统是否稳定的笼统概念，一 个非线性系统在某些平衡状态可能是稳定的，在另外一些平衡状态却可能是不稳定的。 在线性系统中，系统的稳定性只与系统的结构和参数有关，而与外作用及初始条件无关。 非线性系统的稳定性除了与系统的结构和参数有关外，还与外作用及初始条件有关。 4.自持振荡问题 描述线性系统的微分方程可能有一个周期运动解，但这一周期运动实际上不能保持下 去。例如，二阶无阻尼系统的自由运动解是y()=Asm(+p)。这里O取决于系统的结 构、参数，振幅A和相位P取决于初始状态。一旦系统受到扰动，A和P的值都会改变。 因此，这种周期运动是不稳定的。非线性系统，即使在没有输入作用的情况下，系统有可能 产生一定频率和振幅的周期运动，并且当受到扰动作用后，运动仍保持原来的频率和振幅。 亦即这种周期运动具有稳定性。非线性系统出现的这种稳定周期运动称为自持振荡，简称自 振。自振是非线性系统特有的运动现象，是非线性控制理论研究的重要问题。 7.1.4非线性控制系统的分析方法 目前尚没有通用的求解非线性微分方程的方法。虽然有一些针对特定非线性问题的系 统分析与设计方法，但其适用范围有限。目前工程上广泛应用的分析、设计非线性控制系统 的方法有描述函数法和相平面分析法。 非线性控制系统的相平面分析法是一种用图解法求解二阶非线性常微分方程的方法。 相平面上的轨迹曲线描述了系统状态的变化过程，因此可以在相平面图上分析平衡状态的稳 定性和系统的时间响应特性。 描述函数法又称为谐波线性化法，它是一种工程近似方法。应用描述函数法研究非线性 控制系统的自持振荡时，能给出振荡过程的基本特性（如振幅、频奉）与系统参数（如放大系 数、时间常数等)的关系，给系统的初步设计提供一个思考方向。描述函数法是线性控制系 统理论中的频率法在非线性系统中的推广。 用计算机直接求解非线性微分方程，以数值解形式进行仿真研究，是分析、设计复杂非 线性系统的有效方法。随着计算机技术的发展，计算机仿真已成为研究非线性系统的重要手 段。 294
294 号外，还可能有与输入频率成整数倍的高次谐波分量。因此，频率法不能适用于非线性系统。 3．稳定性问题 线性系统若稳定，则它无论受到多大的扰动，扰动消失后系统一定会回到惟一的平衡点 （原点）。而非线性系统的平衡点可能不止一个，因此不存在系统是否稳定的笼统概念，一 个非线性系统在某些平衡状态可能是稳定的，在另外一些平衡状态却可能是不稳定的。 在线性系统中，系统的稳定性只与系统的结构和参数有关，而与外作用及初始条件无关。 非线性系统的稳定性除了与系统的结构和参数有关外，还与外作用及初始条件有关。 4．自持振荡问题 描述线性系统的微分方程可能有一个周期运动解，但这一周期运动实际上不能保持下 去。例如，二阶无阻尼系统的自由运动解是 y(t) = Asin(t +) 。这里 取决于系统的结 构、参数，振幅 A 和相位 取决于初始状态。一旦系统受到扰动， A 和 的值都会改变。 因此，这种周期运动是不稳定的。非线性系统，即使在没有输入作用的情况下，系统有可能 产生一定频率和振幅的周期运动，并且当受到扰动作用后，运动仍保持原来的频率和振幅。 亦即这种周期运动具有稳定性。非线性系统出现的这种稳定周期运动称为自持振荡，简称自 振。自振是非线性系统特有的运动现象，是非线性控制理论研究的重要问题。 7.1.4 非线性控制系统的分析方法 目前尚没有通用的求解非线性微分方程的方法。虽然有一些针对特定非线性问题的系 统分析与设计方法，但其适用范围有限。目前工程上广泛应用的分析、设计非线性控制系统 的方法有描述函数法和相平面分析法。 非线性控制系统的相平面分析法是一种用图解法求解二阶非线性常微分方程的方法。 相平面上的轨迹曲线描述了系统状态的变化过程，因此可以在相平面图上分析平衡状态的稳 定性和系统的时间响应特性。 描述函数法又称为谐波线性化法，它是一种工程近似方法。应用描述函数法研究非线性 控制系统的自持振荡时，能给出振荡过程的基本特性(如振幅、频率)与系统参数(如放大系 数、时间常数等)的关系，给系统的初步设计提供一个思考方向。描述函数法是线性控制系 统理论中的频率法在非线性系统中的推广。 用计算机直接求解非线性微分方程，以数值解形式进行仿真研究，是分析、设计复杂非 线性系统的有效方法。随着计算机技术的发展，计算机仿真已成为研究非线性系统的重要手 段