第4章根轨迹法 在时域分析中已经看到，控制系统的性能取决于系统的闭环传递函数，因此，可以根据 系统闭环传递函数的零、极点研究控制系统性能。但对于高阶系统，采用解析法求取系统的 闭环特征方程根（闭环极点）通常是比较困难的，且当系统某一参数（如开环增益）发生变 化时，又需要重新计算，这就给系统分析带来很大的不便。1948年，伊万思根据反馈系统 中开、闭环传递函数间的内在联系，提出了求解闭环特征方程根的比较简易的图解方法，这 种方法称为根轨迹法。因为根轨迹法直观形象，所以在控制工程中获得了广泛应用。 本章介绍根轨迹的概念，绘制根轨迹的法则，广义根轨迹的绘制以及应用根轨迹分析控 制系统性能等方面的内容。 4.1根轨迹法的基本概念 本节主要介绍根轨迹的基本概念，根轨迹与系统性能之间的关系，并从闭环零、极点与 开环零、极点之间的关系推导出根轨迹方程，并由此给出根轨迹的相角条件和幅值条件。 4.1.1根轨迹的基本概念 根轨迹是当开环系统某一参数（如根轨迹增益K·)从零变化到无穷时，闭环特征方程 的根在s平面上移动的轨迹。根轨迹增益K~是首1形式开环传递函数对应的系数。 在介绍图解法之前，先用直接求根的方法来说明根轨迹的含义。 控制系统如图4-1所示。其开环传递函数为 K K R(s) C(s) G)=s05s+0ss+2 s0.5s+1） 根轨迹增益K”=2K。闭环传递函数为 0-8, K' 图41控制系统结构图 闭环特征方程为 52+2s+K*=0 特征根为： 113
113 第 4 章 根轨迹法 在时域分析中已经看到，控制系统的性能取决于系统的闭环传递函数，因此，可以根据 系统闭环传递函数的零、极点研究控制系统性能。但对于高阶系统，采用解析法求取系统的 闭环特征方程根（闭环极点）通常是比较困难的，且当系统某一参数（如开环增益）发生变 化时，又需要重新计算，这就给系统分析带来很大的不便。1948 年，伊万思根据反馈系统 中开、闭环传递函数间的内在联系，提出了求解闭环特征方程根的比较简易的图解方法，这 种方法称为根轨迹法。因为根轨迹法直观形象，所以在控制工程中获得了广泛应用。 本章介绍根轨迹的概念，绘制根轨迹的法则，广义根轨迹的绘制以及应用根轨迹分析控 制系统性能等方面的内容。 4.1 根轨迹法的基本概念 本节主要介绍根轨迹的基本概念，根轨迹与系统性能之间的关系，并从闭环零、极点与 开环零、极点之间的关系推导出根轨迹方程，并由此给出根轨迹的相角条件和幅值条件。 4.1.1 根轨迹的基本概念 根轨迹是当开环系统某一参数（如根轨迹增益 K ）从零变化到无穷时，闭环特征方程 的根在 s 平面上移动的轨迹。根轨迹增益 K 是首 1 形式开环传递函数对应的系数。 在介绍图解法之前，先用直接求根的方法来说明根轨迹的含义。 控制系统如图 4-1 所示。其开环传递函数为 (0.5 1) ( 2) ( ) * + = + = s s K s s K G s 根轨迹增益 K 2K * = 。闭环传递函数为 2 * * ( ) 2 ( ) ( ) s s K K R s C s s + + = = 闭环特征方程为 2 0 2 * s + s + K = 特征根为：
2=-1+1-K,2=-1-1-K 当系统参数K·(或K)从零变化到无穷大时，闭环极点的变化情况见表41。 表41K、K=0~0时图41系统的特征根 K 0 0 0 .2 0.5 0.25 -0.3 -1.7 1 0.5 2 25 -1+i2 .1-2 : 00 P -1+i∞ -1-joo 利用计算结果在s平面上描点并用平滑曲线 将其连接，便得到K(或K)从零变化到无穷 =25 大时闭环极点在s平面上移动的轨迹，即根轨迹， 如图42所示。图中，根轨迹用粗实线表示，箭 E=1 K=05 头表示K(或K)增大时两条根轨迹移动的方 1 向。 根轨迹图直观地表示了参数K(或K)变 K=25 化时，闭环极点变化的情况，全面地描述了参数 K对闭环极点分布的影响。 图42系统根轨迹图 4.1.2根轨迹与系统性能 依据根轨迹图（见图4-2），就能分析系统性能随参数（如K·)变化的规律 1.稳定性 开环增益从零变到无穷大时，图42所示的根轨迹全部落在左半s平面，因此，当心0 时，图41所示系统是稳定的：如果系统根轨迹越过虚轴进入右半s平面，则在相应K值下 系统是不稳定的：根轨迹与虚轴交点处的K值，就是临界开环增益 114
114 * 1 = −1+ 1− K , * 2 = −1− 1− K 当系统参数 * K （或 K ）从零变化到无穷大时，闭环极点的变化情况见表 4-1。 表 4-1 * K 、 K =0～ 时图 4-1 系统的特征根 * K K 1 2 0 0 0 -2 0.5 0.25 -0.3 -1.7 1 0.5 -1 -1 2 1 -1+j -1-j 5 2.5 -1+j2 -1-j2 ∞ ∞ -1+j∞ -1-j∞ 利用计算结果在 s 平面上描点并用平滑曲线 将其连接，便得到 K （或 * K ）从零变化到无穷 大时闭环极点在 s 平面上移动的轨迹，即根轨迹， 如图 4-2 所示。图中，根轨迹用粗实线表示，箭 头表示 K （或 * K ）增大时两条根轨迹移动的方 向。 根轨迹图直观地表示了参数 K （或 * K ）变 化时，闭环极点变化的情况，全面地描述了参数 K 对闭环极点分布的影响。 4.1.2 根轨迹与系统性能 依据根轨迹图（见图 4-2），就能分析系统性能随参数（如 * K ）变化的规律。 1．稳定性 开环增益从零变到无穷大时，图 4-2 所示的根轨迹全部落在左半 s 平面，因此，当 K>0 时，图 4-1 所示系统是稳定的；如果系统根轨迹越过虚轴进入右半 s 平面，则在相应 K 值下 系统是不稳定的；根轨迹与虚轴交点处的 K 值，就是临界开环增益。 图 4-2 系统根轨迹图
2.稳态性能 由图4-2可见，开环系统在坐标原点有一个极点，系统属于1型系统，因而根轨迹上的 K值就等于静态误差系数K。 当)=10)时， ea=0: 当r(0)=1时， en=l/K=2/K' 3.动态性能 由图42可见，当00.5时，闭环特征根为一对共轭复根，系统呈现欠阻尼状态，阶跃响应为振荡衰 减过程，且随K增加，阻尼比减小，超调量增大，但1，基本不变。 上述分析表明，根轨迹与系统性能之间有者密切的联系，利用根轨迹可以分析当系统参 数(K)增大时系统动态性能的变化趋势。用解析的方法逐点描画、绘制系统的根轨迹是 很麻烦的。我们希望有简便的图解方法，可以根据已知的开环零、极点迅速地绘出闭环系统 的根轨迹。为此，需要研究闭环零、极点与开环零、极点之间的关系。 4.1.3闭环零、极点与开环零、极点之间的关系 控制系统的一般结构如图43所示，相应开环传递函数为G(s)H(s)。假设 KGΠ(s-) R(s) G(s)= (4-1) c4 s-p,) H() Ki II(s-= 图43系统结构图 H(s)= (4-2) II(s-e) 因此 115
115 2．稳态性能 由图 4-2 可见，开环系统在坐标原点有一个极点，系统属于Ⅰ型系统，因而根轨迹上的 K 值就等于静态误差系数 Kv 。 当 r(t) = 1(t) 时， ess = 0； 当 r(t) = t 时， * ess = 1 K = 2 K 3．动态性能 由图 4-2 可见，当 0 K 0.5 时，闭环特征根为实根，系统呈现过阻尼状态，阶跃响 应为单调上升过程； 当 K = 0.5 时，闭环特征根为二重实根，系统呈现临界阻尼状态，阶跃响应仍为单调过 程，但响应速度较 0 K 0.5 时为快； 当 K 0.5 时，闭环特征根为一对共轭复根，系统呈现欠阻尼状态，阶跃响应为振荡衰 减过程，且随 K 增加，阻尼比减小，超调量增大，但 s t 基本不变。 上述分析表明，根轨迹与系统性能之间有着密切的联系，利用根轨迹可以分析当系统参 数（ K ）增大时系统动态性能的变化趋势。用解析的方法逐点描画、绘制系统的根轨迹是 很麻烦的。我们希望有简便的图解方法，可以根据已知的开环零、极点迅速地绘出闭环系统 的根轨迹。为此，需要研究闭环零、极点与开环零、极点之间的关系。 4.1.3 闭环零、极点与开环零、极点之间的关系 控制系统的一般结构如图 4-3 所示，相应开环传递函数为 G(s)H(s) 。假设 = = − − = g i i f i G i s p K s z G s 1 1 * ( ) ( ) ( ) (4-1) * 1 1 ( ) ( ) ( ) m H j j f n j j g K s z H s s p = + = + − = − (4-2) 因此
门s-)s-) G(s)H(s)=- (4-3) II(s-P)II(6-P) 式中，K=K。K:为系统根轨迹增益。对于m个零点、n个极点的开环系统，其开环传 递函数可表示为 KΠs-) G(s)H(s)= (4-4) Π-P,) 式中，二，表示开环零点，P,表示开环极点。系统闭环传递函数为 G(s) Πs-)1s-p,) (6)=1+Gs)H (45) s-p)+门e- 由式(4-5)可见： ()闭环零点由前向通路传递函数G(s)的零点和反馈通路传递函数H(s)的极点组 成。对于单位反馈系统H()=1,闭环零点就是开环零点。闭环零点不随K变化，不必专 门讨论之。 (②)闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益K均有关。闭环极点随K而变 化，所以研究闭环极点随K‘的变化规律是必要的。 根轨迹法的任务在于，由已知的开环零、极点的分布及根轨迹增益，通过图解法找出 闭环极点。一旦闭环极点确定后，再补上闭环零点，系统性能便可以确定。 4.1.4根轨迹方程 闭环控制系统一般可用图43所示的结构图来描述。开环传递函数可表示为 Πs-) G(s)H(s)=- G-p)
116 * 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f m i j i j f g n i j i j g K s z s z G s H s s p s p = = + = = + − − = − − （4-3） 式中， * * * K = KG K H 为系统根轨迹增益。对于 m 个零点、 n 个极点的开环系统，其开环传 递函数可表示为 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 * j n j i m i s p K s z G s H s − − = = = （4-4） 式中， i z 表示开环零点， j p 表示开环极点。系统闭环传递函数为 * 1 1 * 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) f n G i j i j g n m j i j i K s z s p G s s G s H s s p K s z = = + = = − − = = + − + − （4-5） 由式（4-5）可见： ⑴ 闭环零点由前向通路传递函数 G(s) 的零点和反馈通路传递函数 H(s) 的极点组 成。对于单位反馈系统 H(s) = 1 ，闭环零点就是开环零点。闭环零点不随 * K 变化，不必专 门讨论之。 ⑵ 闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益 * K 均有关。闭环极点随 * K 而变 化，所以研究闭环极点随 * K 的变化规律是必要的。 根轨迹法的任务在于，由已知的开环零、极点的分布及根轨迹增益，通过图解法找出 闭环极点。一旦闭环极点确定后，再补上闭环零点，系统性能便可以确定。 4.1.4 根轨迹方程 闭环控制系统一般可用图 4-3 所示的结构图来描述。开环传递函数可表示为 = = − − = n j j m i i s p K s z G s H s 1 1 * ( ) ( ) ( ) ( )
系统的闭环传递函数为 G(s) (s)=+G(s)H(s) (46) 系统的闭环特征方程为 1+G(s)H(s)=0 (47) K'T6-3) G(s)H(s)= H-p) -1 (4-8) 显然，在s平面上凡是满足式(48)的点，都是根轨迹上的点。式(48)称为根轨迹 方程。式(48)可以用幅值条件和相角条件来表示。 I-3 幅值条件： G(s)H(s)=K =1 (49) Iks-p, 相前条作：<G0Ho)-三4--之4-P ∑0，-∑0，=(2k+1)xk=0,±1，±2，…(4-10) 式中，∑P,、∑日，分别代表所有开绿零点、极点到根轨迹上某一点的向量相角之和。 比较式(49)和(4-10)可以看出，幅值条件(49)与根轨迹增益K有关，而相角 条件(410)却与K无关。所以，5平面上的某个点，只要满足相角条件，则该点必在根 轨迹上。至于该点所对应的K值，可由幅值条件得出。这意味着：在s平面上满足相角条 件的点，必定也同时满足幅值条件。因此，相角条件是确定根轨迹s平面上一点是否在根轨 迹上的充分必要条件。 例4-1设开环传递函数为 G(s)H(s)= K'(s-) s(s-P2Xs-P3) 117
117 系统的闭环传递函数为 1 ( ) ( ) ( ) ( ) G s H s G s s + = （4-6） 系统的闭环特征方程为 1+ G(s)H(s) = 0 （4-7） 即 G(s)H(s) = 1 ( ) ( ) 1 1 * = − − − = = n j j m i i s p K s z （4-8） 显然，在 s 平面上凡是满足式（4-8）的点，都是根轨迹上的点。式（4-8）称为根轨迹 方程。式（4-8）可以用幅值条件和相角条件来表示。 幅值条件： G(s)H(s) = 1 ( ) ( ) 1 * 1 = − − = = n j j m i i s p s z K （4-9） 相角条件：∠ G(s)H(s) = − − − = = = n j j m i s zi s p 1 1 ( ) ( ) = = − = + n j j m i i k 1 1 (2 1) k = 0, 1, 2, （4-10） 式中， i 、 j 分别代表所有开环零点、极点到根轨迹上某一点的向量相角之和。 比较式（4-9）和（4-10）可以看出，幅值条件（4-9）与根轨迹增益 * K 有关，而相角 条件（4-10）却与 * K 无关。所以，s 平面上的某个点，只要满足相角条件，则该点必在根 轨迹上。至于该点所对应的 * K 值，可由幅值条件得出。这意味着：在 s 平面上满足相角条 件的点，必定也同时满足幅值条件。因此，相角条件是确定根轨迹 s 平面上一点是否在根轨 迹上的充分必要条件。 例 4-1 设开环传递函数为 ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 1 * s s p s p K s z G s H s − − − =
其零、极点分布如图44所示，判断s平面上某点是否是根轨迹上的点。 解在：平面上任取一点3，画出所有开环零、极点到点3，的向量，若在该点处相角条 含0-29，=-0+8+8)=2+ 成立，则5，为根轨迹上的一个点。该点对应的 根轨迹增益K‘可根据幅值条件计算如下： Πs-p K D ΠKs-yE 式中B,C,D分别表示各开环极点到S,点的向 量幅值，E表示开环零点到3，点的向量幅值。 应用相角条件，可以重复上述过程找到s 平面上所有的闭环极点。但这种方法并不实用。 图4-4系统开环零极点分布图 实际绘制根轨迹是应用以根轨迹方程为基础建 立起来的相应法则进行的
118 其零、极点分布如图 4-4 所示，判断 s 平面上某点是否是根轨迹上的点。 解 在 s 平面上任取一点 1 s ，画出所有开环零、极点到点 1 s 的向量，若在该点处相角条 件 − = − + + = = = n j j m i i 1 1 1 2 3 1 ( ) (2k +1) 成立，则 1 s 为根轨迹上的一个点。该点对应的 根轨迹增益 * K 可根据幅值条件计算如下： E BCD s z s p K m i i n j j = − − = = = 1 1 1 1 * ( ) ( ) 式中 B，C，D 分别表示各开环极点到 1 s 点的向 量幅值，E 表示开环零点到 1 s 点的向量幅值。 应用相角条件，可以重复上述过程找到 s 平面上所有的闭环极点。但这种方法并不实用。 实际绘制根轨迹是应用以根轨迹方程为基础建 立起来的相应法则进行的
