高等数学教案 第一章函数与极限 那么常数A就叫做函数x)当xxo时的极限，记为 limf(x)=A或fx)>A(当xxo). x→n 定义的简单表述： l1imf(x)=A→>0,30，当0<-xdk6时，x)-4A<e. 二、函数极限的几何意义： 例1.证明1imc=c. X→xa 证明：这里(x)-A=c-c=0, 因为V>0,可任取0，当0<r-x0k6时，有 x)-4=c-cl=0<6, 所以limc=c. 0 例2.证明limx=o 分析：(x)一Ar-xdl.因此E>0,要使x)-Ake,只要r-xdkE. 证明：因为Ve>0,38=6,当0<r-xdk6时，有xA=x-xok6,所以limx=x: x→术 例3.证明1im(2x-1)=1. r》 分析：x-A(2x-1)-1=2x-1 VG>0,要使A水G,只婴x-号 证明：因为ve>0,3G628-号，当0-1k6时，有4(2x-1少-1=2-1ke 所以1im(2x-)=1. 2 例4.证明1im x2-1 分析：注意函数在x=1是没有定义的，但这与函数在该点是否有极限并无关系 当1陈，4小H2ve>0医使水e,只要-ke 证明因为ve>0,,当0-k6时，有4小告本-1c, 所以1im2- =2 1x-1 三、单侧极限： 2