第六章常微分方程 非齐次方程之解 非齐次方程 d=小0x+f()的通解可以表示为非齐次方程的 任意一个特解与相应齐次方程=A()x的通解之和 dt 6-4-3线性常系数方程组的解 如果A为常数矩阵那么方程 Ax +f(r dt 称为线性常系数方程组 d x 线性常系数齐次微分方程组=Ax的解 今设解为x()=pe,其中p∈R"是n维向量,代入方程 Ape“)台Ap=Ap 台λ是矩阵A的特征值,p是A的对应λ的特征向量。 求的解,转化为求矩阵A的特征值和特征向量的问题 例1:设x'=Ax=320x,求通解 解:由32-λ0=0.求得矩阵A的三个单重特 征值A1=1,2=4,A3=5,分别对应的特征向量为: P1=-9,P2=0,P3=1从而一般解为 =c1-9e+c,0le+c1 7 5 第六章常微分方程第六章 常微分方程 第六章 常微分方程 ⚫ 非齐次方程之解： 非齐次方程 A t x f (t) dt dx = ( ) + 的通解可以表示为非齐次方程的 任意一个特解与相应齐次方程 A t x dt dx = ( ) 的通解之和. 6-4-3 线性常系数方程组的解 如果 A 为常数矩阵.那么方程 dx dt = Ax + f (t) dx dt = Ax 称为线性常系数方程组。 ⚫ 线性常系数齐次微分方程组 dx dt = Ax 的解 今设解为 ( ) t x t pe  = , 其中 n p  R 是 n 维向量, 代入方程: ( ) ( ) t t A pe dt d pe   =  A p =  p   是矩阵 A 的特征值， p 是 A 的对应  的特征向量。 求的解，转化为求矩阵 A 的特征值和特征向量的问题。 例 1: 设 x Ax x            = = 2 3 4 3 2 0 4 1 0 , 求通解. 解: 由 0 2 3 4 3 2 0 4 1 0 = − − −    , 求得矩阵 A 的三个单重特 征值 1 =1, 2 = 4, 3 = 5, 分别对应的特征向量为：           = − 7 9 3 p1 ,           = 1 0 0 p2 ,           = 5 1 1 3 p .从而一般解为： ( ) t t t x t c e c e c e 5 3 4 1 2 5 1 1 1 0 0 7 9 3           +           +           = −