第六章常微分方程 ●解的存在唯一性: 设矩阵函数A(1)和向量值函数f(1)在区间/上连续,t∈ 则对于任意的5=(51…,)∈R,初值问题 A(0)x+f(o dt 在区间上有唯一解 x(t)=5 向量函数的线性无关性 定义(向量值函数的相关与无关)设 n(1) 是定义在区间/上的n个向量值函数如果存在不全为零的n个常数 使得 aq(t)+…+cn9(1)=6(t∈D 则称这n个向量值函数在区间/上线性相关否则为线性无关 卯() 无关性判斷:若向量值函数,(1)= 1,…,n构成 n() 1(t)q2(1).qn() 2()g2(t).g(1) 的行列式W()=W(912,9)()= (称为 Wronski(朗斯基)行列式).在区间/上不恒等零,则线性无关 齐次方程=A)x的解集合是一个线性空间其维数等于n dx 如果求得方程x=A(D)x的一个基本解组 ,() q1(1)= P ( 则通解的就可以表示成 )=aq(t)+ag()+…+c9(t) 其中c,C2cn为任意常数.记c=(aC2,c)∈R 第六章常微分方程第六章 常微分方程 第六章 常微分方程 ⚫ 解的存在唯一性： 设矩阵函数 A(t) 和 向量值函数 f (t) 在区间 I 上连续,t I 0 . 则对于任意的  = (1 ,...,n ))  t n R ,初值问题      = = + ( )  ( ) ( ) t0 x A t x f t dt dx 在区间 I 上有唯一解. ⚫ 向量函数的线性无关性 定义 (向量值函数的相关与无关) 设 j n t t t nj j j , 1, , ( ) ( ) ( ) 1  =            =    是定义在区间 I 上的 n 个向量值函数. 如果存在不全为零的 n 个常数 c1 ,...,cn,使得 1 c 1 t cn t t I  ( )+...+ n ( )   (  ). 则称这 n 个向量值函数在区间 I 上线性相关. 否则为线性无关. 无关性判断: 若向量值函数 j n t t t nj j j , 1, , ( ) ( ) ( ) 1  =            =    构成 的行列式 W t W t t t t t t t t t t n n n n n n n ( ) ( ,..., )( ): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . . . . . . ( ) ( ) ( ) = 1 = 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2            . . . . . . . . . (称为 Wronski(朗斯基)行列式). 在区间 I 上不恒等零, 则线性无关。 齐次方程 dx dt = A(t)x 的解集合是一个线性空间.其维数等于 n 。 如果求得方程 dx dt = A(t)x 的一个基本解组: j n t t t nj j j , 1, , ( ) ( ) ( ) 1  =            =    , 则 通解的就可以表示成 x t c t c t cn t n ( ) = 1 ( ) + ( )+...+ ( ) 1 2  2  其中 c1 ,c2 ,...,cn 为任意常数. 记 c c c cn R t n = ( 1 , 2 ,..., ) 