定理4设V“是V的对偶空间，则V到V“的映射：x→x“是一个同构映射 证明对x,x2e'fe有 (3+x)")=f(x+x2)=f(x)+f(32)=x"()+x)=(x”+x”() ()"f)=f)=f(x)=a"(f)=("f) 故有(3+x)”=x”+”,()”=”,因而这个映射保持加法和数量乘法若(x)=(),即 ”=”,则∈V有f(x)=f(x),由(3)式得x=x因此o为单射.又因为V与V"的维数相 同，所以σ为同构映射 作业：P417,习题6。 预习：下一节的基本概念 $3双线性函数 教学目标掌握双线性函数、度量矩阵的概念与性质，非退化双线性函数的概念 教学重点：双线性函数、度量矩阵的概念与性质， 教学方法：讲授法 教学过程 定义3设f(a,B)是数域P上线性空间V上的二元函数若它满足 1)f(akB+kB)=kfa,月)+kf(a,B方 2)f(ka+ka.B)=kf(a.B)+kf(az.B) 其中a,a,a2,B,B,是V中任意向量，k,k是P中任意数，则称∫为V上的一个双线性函数 例1欧氏空间V的内积f(a,B)=(a,B)是一个双线性函数. 例2设(a,f5(a)均为V上线性函数，则 fa,)=f(a)5(B)a,B∈V 定理 4 设 V  是 V  的对偶空间，则 V 到 V  的映射  : x x →  是一个同构映射. 证明 对 1 2 x x V f V , ,     有 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) x x f f x x f x f x x f x f x x f      + = + = + = + = + 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) kx f f kx kf x kx f kx f    = = = = 故有 1 2 1 2 1 1 ( ) ,( ) , x x x x kx kx      + = + = 因而这个映射保持加法和数量乘法.若 1 2   ( ) ( ) x x = ，即 1 2 x x ,   = 则 f V   有 1 2 f x f x ( ) ( ), = 由（3）式得 1 2 x x = .因此  为单射.又因为 V 与 V  的维数相 同，所以  为同构映射. 作业: P417，习题 6。 预习: 下一节的基本概念. §3 双线性函数 教学目标: 掌握双线性函数、度量矩阵的概念与性质，非退化双线性函数的概念。 教学重点: 双线性函数、度量矩阵的概念与性质。 教学方法: 讲授法. 教学过程: 定义 3 设 f ( , )   是数域 P 上线性空间 V 上的二元函数.若它满足： 1） 1 1 1 2 2 1 1 2 2 f k k k f k f ( ) ( , ) ( , );        + = + 2） 1 1 2 2 1 1 2 2 f k k k f k f ( , ) ( , ) ( , ),        + = + 其中 1 2 1 2       , , , , ,  是 V 中任意向量， 1 2 k k, 是 P 中任意数，则称 f 为 V 上的一个双线性函数. 例 1 欧氏空间 V 的内积 f ( , ) ( , )     = 是一个双线性函数. 例2 设 1 2 f f ( ), ( )   均为 V 上线性函数，则 1 2 f f f V ( , ) ( ) ( ) ,       = 