是V上的一个双线性函数 例3设A∈P,X,Y∈P",则 f(X,Y)=XAY 是P"上的一个双线性函数 设X=(x,x,Y=5,.,y,A=(a)m,则(1)即 r.n- 若设6，.，6n为V的基f(a,B)为V上任一双线性函数，令 a=(6,.,6n)X,B=(6,6n)Y 则 fa)=fxys,)=∑f6s,y (3) 令a,=fe,)i,j=1,2,nA=(a,)m,则(3)就成为(1)或(2).因此，(1)或(2)就 是n维线性空间'上双线性函数的一般形式. 定义4设f(@,B)是V上的一个双线性函数.，.，6n是V的基则矩阵 A=(f(G,E,)》=(ag) 4) 称为f(a,B)在6，6，下的度量矩阵 显然，取定V的基，.，6。后每个双线性函数对应一个由(4)式给出的n级矩阵，且厂≠方时 对应的A≠A.反之，任给A∈P,由例3说明知有一个V上双线性函数以A为度量矩阵因此在给 定V的基后.'上全体双线性函数与P上全体n阶方阵之间有一个双射 设G,.,6n与，.，是V的两组基，(，.，n)=(6,6,)C,a,B∈V, a=(6,.,6)X=(,.,n)X,B=(6,.,8n)Y=(,nn)X 则显然有X=CX,Y=CY若f(a,B)在无，.6与，.，下的度量矩阵分别为A,B,则有 f(a,B)=XAY =(CX)'A(CY)=X(C'AC)Y.f(a,B)=X'BY. 由此可得B=CAC.即同一双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的是 V 上的一个双线性函数. 例3 设 , , n n n A P X Y P    ，则 f X Y X AY ( , ) =  （1） 是 n P 上的一个双线性函数. 设 1 1 ( , , ) , ( , , ) , ( ) , X x x Y y y A a n n ij n n = = =   则（1）即 1 1 ( , ) n n ij i j i j f X Y a x y = = = （2） 若设 1 , , n   为 V 的基. f ( , )   为 V 上任一双线性函数，令 1 1 ( , , ) , ( , , ) ,       = = n n X Y 则 1 1 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) n n n n i i j j i j i j i j i j f f x y f x y       = = = = = =    （3） 令 ( , ) , 1,2, , ( ) ij i j ij n n a f i j n A a   = = =  ，则（3）就成为（1）或（2）.因此，（1）或（2）就 是 n 维线性空间 V 上双线性函数的一般形式. 定义 4 设 f ( , )   是 V 上的一个双线性函数. 1 , , n   是 V 的基.则矩阵 ( ( , )) ( ) A f a i j ij = =   （4） 称为 f ( , )   在 1 , , n   下的度量矩阵. 显然，取定 V 的基 1 , , n   后.每个双线性函数对应一个由（4）式给出的 n 级矩阵，且 1 2 f f  时 对应的 A A 1 2  .反之，任给 . n n A P   由例 3 说明知有一个 V 上双线性函数以 A 为度量矩阵.因此在给 定 V 的基后.V 上全体双线性函数与 P 上全体 n 阶方阵之间有一个双射. 设 1 , , n   与 1 , ,  n 是 V 的两组基， 1 1 ( , , ) ( , , ) , , ,       n n =   C V 1 1 1 1 1 1 ( , , ) ( , , ) , ( , , ) ( , , )           = = = = n n n n X X Y Y 则显然有 1 1 X CX Y CY = = , .若 f ( , )   在 1 , , n   与 1 , ,  n 下的度量矩阵分别为 A B, ，则有 1 1 1 1 1 1 f X AY CX A CY X C AC Y f X BY ( , ) ( ) ( ) ( ) , ( , ) ,     = = = =      由此可得 B C AC =  . 即同一双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的