B==a-a-a=a1=l2.n (a-a）.(a-a-a,-a）.(a-an) 它n是Re)-卡仁周g以R是数无关台因秀人宫交a闭-0特 k=1 C=0,i=1,2,.n又因为dimV=m,所以p,(x),.,p(x)是V的一组基令L∈Vi=l,2,.,m) 满足 L,(px》=pa,px)∈'，i=l2,.,n. 则有 5-pa-6 因此L,L2,.,Ln是2(x),P,(x.,P(x)的对偶基 设6，.，5。与乃，.，是V的两组基，它们的对偶基分别为f,与g,gn再设 (,.,nn)=(8,en)A(g.,gn）=(f.fn)B. 其中A=(a,)m,B=(亿，)m由假设 7,=a5+a5+.+an5n,i=l2,.,n 8,=6f+65+.+bwf,i=l,2,n 因此 a-含a5*5加A+8a-6/ 由矩阵乘法定义，即得BA=E,也就是B=厂或B=(厂y,故有 定理3设6，.，6n及几，.，几n是V的两组基它们的对偶基分别为人，.，厂。与g,.,8a,若由 6,.,6n到。.，的过渡矩阵为A,则由厂，.厂到g,.,gn的过渡矩阵为('了 设是V的对偶空间，取定x=V,定义x“如下： x“f)=f(x).feV' 易知x“∈(W)=“1 1 1 1 1 1 ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1,2, , ( ) ( )( ) ( ) i i n i i i i i i i n x a x a x a x a P x i n a a a a a a a a − + − + − − − − = = − − − − 它们满足 1, , ( ) 0 . i j i j p i j   = =    .因而 1 ( ), , ( ) n p x p x 是线性无关的.因为将 i a 代入 1 ( ) 0 n k k k c p x =  = 即得 0, 1,2, . i c i n = = 又因为 dim , V n = 所以 1 ( ), , ( ) n p x p x 是 V 的一组基.令 ( 1,2, , ) L V i n i   = 满足 ( ( )) ( ), ( ) , 1,2, , . L p x p a p x V i n i i =  = 则有 1, , ( ( ) ( ) 0 . i j j i i j L p x p a i j  = = =    因此 1 2 , , , L L L n 是 1 2 ( ), ( ), , ( ) n p x p x p x 的对偶基. 设 1 , , n   与 1 , ,  n 是 V 的两组基，它们的对偶基分别为 1 , , n f f 与 1 , , n g g .再设 1 1 ( , , ) ( , , ) ,     n n = A 1 1 ( , , ) ( , , ) . n n g g f f B = 其中 ( ) , ( ) . A a B b = = ij nn ij nn 由假设 1 1 2 2 1 1 2 2 , 1,2, , . , 1,2, , i i i ni n j j j nj n a a a i n g b f b f b f i n     = + + + = = + + + = 因此 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1, , ( ) ( ) 0 . n j i kj k i i ni n j i j i nj ni k i j g b f a a a b a b a b a i j     =  = = + + + = + + + =     由矩阵乘法定义，即得 B A E  = ，也就是 1 1 B A − − = 或 1 B A( ) , − =  故有 定理 3 设 1 , , n   及 1 , ,  n 是 V 的两组基.它们的对偶基分别为 1 , , n f f 与 1 , , n g g ，若由 1 , , n   到 1 , ,  n 的过渡矩阵为 A ，则由 1 , , n f f 到 1 , , n g g 的过渡矩阵为 1 ( ) A −  . 设 V  是 V 的对偶空间，取定 x V= , 定义 x  如下： x f f x f V ( ) ( ). .   =   易知 x V V ( ) .      =