教学过程 设V是数域P上n维线性空间.用L(W,P)表示V上全体线性函数组成的集合.对 f,gL(W,P),keP.定义f+g,f,如下： (f+g)(a)=f(a)+f(a).(hf)(a)=k(S(a)).VaEV. 则容易验证，∫+g,付∈L(W,P)称∫+g为∫与g的和，付为k与∫的数量乘积不难证明 如上定义的加法和数量乘法满足线性空间定义中条件1)一8)故L(心，P)构成P上的线性空间。 取定V的一组基6，.，6n令. c-6 i,j=1,2.,n (1) 则feL,P)且唯一对Va=∑xG,显然有 (a)=x, 引理对a∈V,有 a=∑fa)8 对eW,P),有 f=∑fe,f 证明 (2)→(3)成立1)与3)→(4)成立 由引理立得 定理2dim(L(W,P》=n,而且，.，fn是L(W,P)的一组基 定义2LW,P)称为V的对偶空间，由(1)决定的基称为6，6n的对偶基 今后用V表示V的对偶空间. 例V=Rxl对n个不同的a,a2,an∈R由拉格朗日插值公式，得到n多项式 教学过程: 设 V 是数域 P 上 n 维线性空间 . 用 L V P ( , ) 表 示 V 上全体线性函数组成的集合 . 对     f g L V P k P , ( , ), . 定义 f g kf + , ，如下： ( )( ) ( ) ( ), ( )( ) ( ( )), . f g f f kf k f V + = + =         则容易验证， f g kf L V P +  , ( , ) 称 f g + 为 f 与 g 的和， kf 为 k 与 f 的数量乘积.不难证明. 如上定义的加法和数量乘法满足线性空间定义中条件 1）—8）.故 L V P ( , ) 构成 P 上的线性空间. 取定 V 的一组基 1 , , n   令. 1, , ( ) , 1,2, , . 0 . i j i j f i j n i j   = = =    （1） 则 ( , ) i f L V P  且唯一.对 1 n i i i   x =  =  ，显然有 ( ) i i f x  = 引理 对   V ，有 1 ( ) n i i i    f = =  （3） 对  f L V P ( , ) ，有 1 ( ) n i i i f f f  = =  （4） 证明 （2）  （3）成立.1）与 3）  （4）成立 由引理立得 定理 2 dim( ( , )) , L V P n = 而且 1 2 , , , n f f f 是 L V P ( , ) 的一组基. 定义 2 L V P ( , ) 称为 V 的对偶空间，由（1）决定的基.称为 1 , , n   的对偶基. 今后用 V  表示 V 的对偶空间. 例 [ ] V R x = n 对 n 个不同的 1 2 , , , . n a a a R  由拉格朗日插值公式，得到 n 多项式