7.设A为三阶矩阵,a1,a2,a3为线性无关的三维列向量,且 Aa1=a1+a2+a3,Aa2=2a2+a3,Aa3=2a2+3a3 (1)求矩阵B,使A(a1a2a3)=(a1a2,a3)B; (2)求矩阵A的特征值; (3)求可逆矩阵P,使得P-1AP为对角矩阵.(2017年北京交通大学 8.设P[3是次数不超过3的多项式全体连同0多项式构成的线性空间,f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3∈ P[]3,现有P[]3的线性变换/ (f(x)=(a0-2a1)+(-30+2a1)x+(2a2-3a3)x2+(-4a2+3a3)x 求的特征值及特征向量,并判定a能否对角化.(2013年北京科技大学) 9.设A是三阶矩阵,r(4)=2,其二重特征值A=A2=6,且属于A1=A2=6的线性无关的特征向量 有a1=(1,1,0),a2=(2,1,1)2,求矩阵A.(2009年北京师范大学) 010.0 001 A 100.0 计算A2,A1,…,An+1,An,并求出A在复数域C中的全部特征值.(2016年北京师范大学) 11.设四阶实矩阵 sss s1ss (1)求A的特征值及所有特征向量 (2)4的可逆的充要条件是什么?当s=-1时,A是否可逆?若A可逆,求A的逆矩阵A- (3)s为何值时,A是正定矩阵?.(2011年大连理工大学) 2.设A和B都是n阶方阵,且r(4)+r(B)<n,其中r(A)表示4的秩,证明:A和B至少有一个公共特征向 量.(2013年大连理工大学)7. Aèn› , α1, α2, α3èÇ5Ã'nëï˛, Ö Aα1 = α1 + α2 + α3, Aα2 = 2α2 + α3, Aα3 = 2α2 + 3α3. (1)¶› B, ¶A(α1, α2, α3) = (α1, α2, α3)B; (2)¶› AAä; (3)¶å_› P, ¶P −1APèÈ› . (2017cÆœåÆ) 8. P[x]3¥gÍÿáL3ıë™NΔ0ı뙧Ç5òm, f(x) = a0 + a1x + a2x 2 + a3x 3 ∈ P[x]3, ykP[x]3Ç5CÜA : A (f(x)) = (a0 − 2a1) + (−3a0 + 2a1)x + (2a2 − 3a3)x 2 + (−4a2 + 3a3)x 3 ¶A Aä9Aï˛, ø½A UƒÈz. (2013cÆâEåÆ) 9. A¥n› , r(A) = 2, Ÿ­Aäλ1 = λ2 = 6, Ö·uλ1 = λ2 = 6Ç5Ã'Aï˛ kα1 = (1, 1, 0)t , α2 = (2, 1, 1)t , ¶› A. (2009cÆìâåÆ) 10. - A =   0 1 0 · · · 0 0 0 1 · · · 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · 1 1 0 0 · · · 0   OéA2 , A3 , · · · , An−1 , An, ø¶—A3EÍçC•‹Aä. (2016cÆìâåÆ) 11. o¢› A =   1 s s s s 1 s s s s 1 s s s s 1   (1)¶AAä9§kAï˛; (2)Aå_øá^á¥üo? s = −1û, A¥ƒå_? eAå_, ¶A_› A−1 ; (3)sè¤äû, A¥½› ? . (2011cåÎnÛåÆ) 12. A⁄B—¥nê , Ör(A) + r(B) < n, Ÿ•r(A) L´Aù, y²: A⁄Bñkòá˙
Aï ˛. (2013cåÎnÛåÆ) 6 厦门大学《高等代数》