p(k,1,n)L(k,1,n+1 利用全概公式，便得到放出t个方块后，第n层的(k,1,n)处为废石的概率为： q:(k,l,n)=p(k,1,n)L-1(k,1,n+1)+ +〔1-p(k,1,n)q-1(k,l,n (6) 上式中的p(k,1,a)可按公式(1)计算，而L-1(k,1,n+1)由第n+1层的概率分布确 定，又由问题的实际意义知：qo(k,1,n)=q,(k,1,n)=…=q4)=0。即开始时起直 到放出t=N~n个方块为止，废石都不可能够转移到第n层，又设第·层的废石转移概率已 知，因此L:-:(k,I,·+1)也是知道的利用这些条件和递推公式(6)，即可求出放出t个 方块后，第层的各点处的废石转移概率。前面已经说明，矿石的最高层即第N层的废石转 移概事可由公式(2)计算，再利用公式(6)从第N层自上而下递推，最后可以得到出矿漏口处， 即(0,0,0)处为废石转移率，即放出第t个方块时，它是废石的概案q:, 3.废石转移律的单调性 现在用归纳法证明在任何（k,1,n)处，废石转移律具有单调性，即q:(k,【,n)↑1， (t→∞)。 前面已经说明，对于第N层（矿石最高层）的每一个点处，都有q:(k,l,)↑1，(t+ o),现在假设对于第n+1层的每一个点处都有：当t+o时，q,(k,1,n+1)↑1。进一步 要证明，对于第n层的任何点处，也有q:(k,1,n)↑1，(to)。 由公式(3)，(4)可见，当t→∞时，就有：A:-1(k,1,n+1)t4及B:-:(k,n+1)↑ 4。因此由公式(5)得到：L(k,1,n+1)↑1，(t+∞)。 现在证明q,(k,1,n)↑1，(t→o)。为此先证明q:(t,1,n)是单调增加的，前 面已说过，由问题的实际意义知： qo(k,1,n)=...=qN-n(k,1,n)=0 利用递推公式(6)得到： QN-n+1(k,1,n)=p(k,1,n)LN-n(k,1,n) +(1-p(k,1,n))qN-n(k,1,n) =p(k,1,n)Lw-n(k,1,n+1)≥0=qw-a(k,1,n) 设当t-1时有q,(k,1,n)≥qt-1(k,1,n),则由递推公式(6)得到： qt+i(k,1,n)-q:(k,1,n)=p(k,l,n)〔L.(k,l,n+1)- -Lt-1(k,1,n+1))+〔1-p(k,l,n)〔q.(k,l,n)- -qt-1(k,l,n)≥0 即：9t+1(k,1,n)≥q:(k,1,n)。又因为对于任何t均有0≤q:(k,1,n)≤1，所以q.(k, 1,n)又是有界的，因而极限存在，令 q=limq(k,1,n) t-0o 于是在递推公式(6)中，令t·∞，便得到 q=p(k,1,n)+〔1-p(k,l,n)〕q 因此当p(k,1,n)卡0时，即废石不可能移到(k,1,)处时，都有q=1,即当放出的方 块无限增加时，(k,I,n)处终将被废石所占据 特别，对于出矿漏口处，也有 9t↑1，(t+o) 130， ， ， ， 利用全概公式 ， 便得 到放出 个方块后 ， 第 层 的 ， ， 处为废石 的概率为 、 ， ， ， ， ， ， 〔 一 ， ， 〕 ， ， ， 上式 中的 ， ， 可按公 式 计算 ， 而 ， ， 由第 层 的概率分布确 定 ， 又 由问题 的实际意义 知 。 ， ， ， ， … ， 。 。 即开 始时起直 到放出 二 一 个方块为止 ， 废石都不可能够转移到第 层 ， 又设 第 层 的废石转移概率已 知 ， 因此 卜 ， ， 也是知道的利用这些 条件和 递推公 式 ， 即可求出放出 个 方块后 ， 第 层 的 各点处的废石转移概率 。 前面 已经 说 明 ， 矿石的最高层即第 层的废石转 移概率可 由公式 计算 ， 再利用公 式 从第 层 自上而下递推 ， 最后可 以得到出矿漏 口 处 ， 即 ， ， 处为废石转移率 ， 即放出第 个方块 时 ， 它是废石 的概率 ， 废石转移律的单调性 现在用归纳法证 明在任何 ， ， 处 ， 废石转移律具有单调性 ， 即 ， ， 个 ， ， 。 前面 巳经说 明 ， 对于 第 层 矿石最 高层 的每一个点处 ， 都有 ， ， 个 ， ， ， 现在假设对于第 层的每一个点 处都有 当 ， 时 ， ， ， 个 。 进一步 要证 明 ， 对于 第 层的任何点处 ， 也有 ， ， 个 ， ， 。 由公 式 ， 可见 ， 当 时 ， 就 有 卜 ， ， 个 及 一 ， 个 。 因此 由公式 得到 ， ， 个 ， ‘ ， 。 现在证明 ， ， 个 ， ， 。 为此先证 明 ， ， 是单调增 加的 ， 前 面 已说过 ， 由问题的实际意义 知 。 ， ， … 卜 ， ， 利用递推公 式 得 到 一 ， 一 ， ， ， ， ， ， 〔 一 ， ， 〕 卜 。 ， ， ， ， 卜 ， ， 。 ， ， 设 当 一 时有 ， ， 》 ， ， ， 则 由递推公 式 得 到 十 ， ， 一 、 ， ， ， ， 〔 ， ， 一 一 ， ， 〕 〔 一 ， ， 〕〔 ， ， 一 一 一 ， ， 〕》 即 ， ， ， ， 。 又 因为对于任何 均有 《 ， ， ， 所以 ， ， 又是有界的 ， 因而极 限存在 ， 令 ， ， 刁卜 于 是在递推 公 式 中 ， 令 ， ， 便得到 ， ， 一 ， ， 〕 因此 当 ， ， 粉 时 ， 即废石不 可 能移到 ， ， 处时 ， 都有 ， 即 当放 出 的方 块无 限增 加时 ， ， ， 处终将被 废石所 占据 特别 ， 对于 出矿漏 口 处 ， 也有 个