D0I:10.13374/j.issn1001-053x.1982.02.036 北京钢铁学院攣报 1982年第2期 应用马氏决策规划探讨放矿的最佳截止时间 数学教研室庞鹏随戚围安 为了研究和管理放矿，JoLLey提出了一个模型，并在电子计算机上进行了随机模拟， 以后NMEHNTOB等又研究了自漏口每放出一个方块后，空位向上传递的规律，一并由此 确定空位传递的概事分布。 本文进一步研究了在单漏口情况下，每放出一个方块时该方块为废石的概率，从而探讨 在什么条件下截止放矿最为有利，对于多漏口的情形，：如果采用均匀放矿法，则本文提供的 方法仍然适用。 空位传递概率的计算 JoLLey提出的模型如下： 一方块填入 当第n层放出一个方块后，其空位由第n+1层 位的概容 的九个方块之一以一定的概率填充（如图1）；这 第N+I 样，当在出矿口每放出一个方块后，空位由下向上 传递，直到矿石的最高层，然后空位被废石占据。 位 NMEHNTOB等求出了空位由出矿口向上传 第N 递的概率分布，以出矿口中心为坐标原点。取空间直 角坐标系，当由出矿口放出一个方块后，空位传递到 第n层的诸方块中，其中心横坐标为K,从坐标为I的 …度出的方心 方块的概率，即传递到中心坐标为(K,l,n)的方块 的概率，按NMEHNTOB等人的方法，此概率为： 图1， P(K Poc0,coo, 2q (co0:+cos02)+r]d0:d0:d0, 并给出了p(o,o,n)的计算公式。并利用此公式，配合实验结果确定参数p,q,r。 为了找出废石向下转移的规律，我们就一般的点(K,1,),对此公式进行数学上 的处理，以便于计算。 首先，上式中的被积函数与，无，所以可先对，积分，得到： P(K)K+0:)(Poom0,c0 r)nd01d02d03· 利用多项式展开公式，得到： 127
北 京 钢 铁 学 院 学 报 年第 期 应用马氏决策规划探讨放矿的最佳截止时间 数学教研 室 庞肠肠 戚 国安 为了研究和 管理放矿 ， 提 出了一个模型 ， 并在 电子计算机 上进行 了随机模 拟 ， 以后 等又研 究了 自漏 口 每 放出一 个方 块后 ， 空位 向上传递 的规律 ， 一并由此 确定空位传递 的概串分布 。 本 文进一 步研究 了在单漏 口 情 况 下 ， 每放 出一个方块 时该 方块为废石的概率 ， 从而探讨 在什么条件下截止放矿 最为有利 ， 对 于多漏 口 的情形 ， 如果采用 均匀放矿 法 ， 则本文提供的 方法仍然适用 。 一 空位 传递概 率的计 算 提 出的模型如下 当第 层放出一 个方块后 ， 其 空位 由第 层 的九个方块之一 以一定的概率 填充 如图 蚕 这 样 ， 当在出矿 口 每放出一个方块后 ， 空反由下 向 上 传递 ， 直 到矿石的最 高层 ， 然后 空位 被废石 占据 。 等求出 了空位 由出矿 口 向 上传 递 的概率分布 。 以出矿 口 中心为坐标原点 。 取空间直 角坐标 系 ， 当由出矿 口 放出一个方块后 ， 空位传递到 第“ 层 的诸方块 中 ， 其 中心横坐标为 ，从坐标为 的 方块 的概率 ， 即传递 到 中心 坐标为 ， 。 ”的方瑛 的概率 ， 按 等人的方法 ， 此概率为 方 块城 入 位的概 ’ 和 第衬 伏 第 丫七弓 二 。 、 ， ‘ ， 二 一 二 ‘ 了 了 一 ” 〔 。 。 咖。 、 〕 ” 并给 出了 。 ， 。 ， 的计算公式 。 并利用 此公式 ， 配合实验结果 确定参数 ， ， 。 为 了找出废石 向 下转移的 规律 ， 我们就 一般 的点 ， ， ， 对此公式 进行数学上 的处理 ， 以 便于计算 。 首先 ， 上式 中的被积 函数与 ，无 ， 所 以可先对 积 分 ， 得 到 ‘ ， 升 ‘ ’ ‘ 八 ， ， 而而不了 “ 甲 一 润甲 一 忙 了 〔 帕 。 帕 。 〕 ” 利用多项式 展开公式 ， 得到 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1982．02．036
(4pco80,co802+2q(co80,+c0862)+r)n ∑ n12281+n2+n3 :ImInT Piq"atarcom0Co0 又 e ()=(cosk0,-isin k0)(co8102 isin102) 及利用对称区间〔~π，π)上奇偶函数积分的性质，得到： P(k,1,n)= Σ 0122n1+m,+ag ni n2 n3 n=a n:In:In,inlP"1q”tr4 c0 coc10co0 令 cosk x cos"x dx 则有I(~k,n)=I(k,n),下面仅就k≥0的情形，分几步考虑。 1)当k>n时， 这时对于1=0,1，…n。都有n+k-21=0,因此上式方括号中各项在(0，r)上的积 分均为0，于是I(k，,n)=0。 2)当k≤n时， 如果1+k为偶数，则当1=巴士兰时，上式方括号中的第1+1项为 C!co(n +k-21)x=C 它在〔0，π〕上的积分为πC:。方括号内其余各项的积分均为0，于是有 I(k,n)=-C! 如果n+k为奇数，则上式方括号内各项的积分均为0，因而I(k、n)=0, 综合1)与2)的结果，得到 I(k,n)= 是C:当kn或n+k为奇数时， 由此得到空位转移概率的计算公式为： P(k,1,n)= ∑ nn=n nnInInpiqnaterI(k,n+n) n122n,+":*58 I(1,n:+n3) (1) 由于I(-k,n)=I(k,n),所以 p(k,l,n)=p(-k,l,n)=p(k,l,n)=p(-k,-1,n) =p(l,k,n)=p(-1,k,n)=p(l,-k,n)=p(-1,-k,n) 因此在计算第·层的概率转移分布时，只要计算第一象限的分角线下的一部分就可以了。 又当k>n或I>n时，I(k,n)=0,I(l,n)=0,所以在第n层空位只能转移到直线 x=±n及直线y=土围成的正方形之内，不可能转移到外面去，因此，今后只在此正方形 内研究空位转移及废石的转移规律。 128
〔 咖 “ 砚 咖 〕 芝 生 ” 斗 一 里 “ “ ” “ 一 “ “ “ 一 “ 。 一 一 二 少 ‘ ‘ 二 及利用对称区间 〔 一 “ ， ， ， 一 咖 咖 。 一 ‘ 。 二 〕上奇偶函数积 分的性质 ， 得到 艺 一 一 二 共 里 ， “ ， “ 兀 ‘ 一 一 “ 哪 ” 哪 哪 “ 十 令 盆 。 一二二一兀 。 拍 则有 一 ， ， ， 下面仅就 的情形 ， 分几 步考虑 。 当 时 ， 这时对于 。 ， ， … 。 都有 一 ， 因此 上式方括号中各项在 ， “ 上的积 分均为。 ， 于是 ， 。 当 《 时 ， 。 如果 “ 为偶数 ， 则 当 卫泛二 时 ， 上式方括号中的第 项为 二 一 二 它在 ， “ 〕上的积 分为 兀 二 。 方括 号内其余 各项的积 分均为 ， 于 是有 ‘ ， 一 豆 七 二 如果 为奇数 ， 则 上式方括 号 内各项的积 分 均为 ， 因而 、 ， 综合 与 的结果 ， 得 到 ， ， 二” 二当 《 且 为偶数时 ， 当 或 为奇数时 ， ‘ 一一石 一 ‘ 由此得到空位转移概率的计算公 式为 ， ， ， 艺 “ “ ， 一 。 十 “ “ 一 〔 ， 由于 一 ， 一 ， ， ， 所以 ， ， 一 ， ， ， ， 一 ， 一 ， ， ， 一 ， ， ， 一 ， 一 ， 一 ， 因此 在计算第 层 的概率转移分布时 ， 只 要计算第一象限的分 角线下 的一 部分就可 以 了 。 又 当 或 时 ， ， 。 ， “ ， ， 所 以在第 层空位只 能转移到 直线 土 及 直线 二 土 围成的正方形之 内 ， 不 可能转移到外面去 ， 因此 ， 今后 只 在此正 方形 内研究 空位转移及 废石 的转移规律
二、废石转移律 设共有N层矿石，而第N+1层以上均为废石，用q,(k、1、)表示放出t个方块后， (k,1,)处为废石的概率，现在来求这个废石转移率。 1.,第N层的废石转移的概率分布 00002D00o8a 对于第N层，即矿石的最高层，当放出t个方块时，只 废品 ·0必9 000 要有一次空位转移到(k,1,N)处，该处即为废石所占 8o00000od80 耀：而且不管以后空位是否转移到该处，它都总是废石，而 ·当放出t个方块时，至少有一次空位转移到(k,1,N)处 矿石 “的概率为： (第N层) 1-〔1-p(k,1,N)) 所以第N层的废石转移概率分布为： 图2 q,(k,1,N)=1-〔1-p(k,1,N)' (2) 由此可见，当t=0时，q。(k,1,N)=0,即开始时，.(k,1,N)处为废石的概率为0。又当 t+∞时，q:(k,1,N)↑1，即当放出的方块愈多时，·(k,l,N)处为废石的概率愈大，最 后终将变为废石。 2.废石转移概率的递推公式： 设放出第t个方块时第+1层的各方块为废石概率q,(k,I,N+1)已知，现在来求第 n层各方块为废石的概率。 对于第n层，我们首先在q:-1(k,1,n)已知的条件下，求q:(k,1,n) 分两种情况考虑： 如果放出t-1个方块后，(k,1,)处为废石，而放出第t个方块时，空位没有转移 到(k,1,n处，则放出t个方块后，(k,1,n)处仍为废石，其概为(1-p(k,l,n) qt-1(k,1,n) 其次，如果放出t个方块时，空位已转移到(k,1,)处，而其上九个方块之一落下 一个废石填充，则放出t个方块后，(k,1,·)处仍为废石，其概率为 p(k,1,n)〔pA-1(k,1,n+1)+qBw1(k,l,n+1)+ +rq-1k,1,n+1) 其中 -1(k,1,n+1)=q-1(k-1,l,n+1) +q-(k-1,1+1,n+1)+q+:(k+1,1-1,n+1)+ +qt-1(k-1,1+1,n+1) (3) B-1(k,1,n+1)=q1-1(k-1,l,n+1)+ +q-1(k+1,1,n+1)+qt-1(k,1-1,n+1)+ +qt-1(k,1+1yn+1) (4) 又令 Lt-1(k,l,n+1)=pAt-1(k,I,n+1)+ +qB:-1(k,1,n+1)+rq-1(k,l,n+1) (5) 测上式可简化为： 129
二 、 废石 转移律 设共有 层矿石 ， 而 第 层 以 上均为废石 ， 用 ， 、 ， ， 滋 处为废石的概 率 ， 现在来求这个废石转移率 。 第 层 的废石转移的概串分布 ’ 对于第 层 ， 即矿石的最 高层 ， 当放出 个方块 时 ， 只 要有一次 空位转移到 ， ， 处 ， 该 处即 为废石所 占 、 表 示放出 个方块后 ， 夕 口 口 成 品 夕 ， 巧声 当 而且不 管以后 空位是否转移到该处 ， 它都总是 废石 ， 而 放出 个方块 时 ， 至 少有一次空 位转移到 ， ， 处 的概率为 一 〔 一 ， ， 〕 ’ 所 以 第 层 的废石转移 概率 分布为 ， ， 一 〔 一 ， ， 〕 ’ 由此可见 ， 当 仓时 ， 。 ， ， ， 即开 始时 ， ， ， ， 时 ， ， ， ’ 个 ， 即 当放出的方块愈多时 ， · ， ， 后 终将变为废石 。 废石转移概率的 递推公式 图 处为废石的概串为。 。 ‘ 又 当 ， 处为废石的概率愈大 ， 最 设放出第 个方块 时 第 层 的 各方块为废石概率 ， ， 已知 ， 现在来求第 饭层 各方块为废石的概率 。 对于 第 层 ， 我们首先在 卜 ， ， 已知 的条件下 ， 求 ， ， 分 两种情 况考虑 如果放出 一 个方块后 ， ， ， 处为废石 ， 而放出第 个方块时 ， 空位没有转移 到 ， ， 处 ， 则 放出 个方块后 ， ， ， 处仍为废石 ， 其概率为 〔 一 ， ， 〕 一 ， ， 。 其次 ， 如果放出 个方块 时 ， 空 位已转移到 ， ， 处 ， 而其上九个方块 之一 落下 一个废石填充 ， 则放出 个方块后 ， ， ， 处仍为废石 ， 其概率为 ， ， 〔 一 ， ， ， ， ， 一 丈 ， ， 〕 共中 又令 卜 ， ， 卜 一 ， ， ，一 一 ， ， 一 ， 一 ， 一 一 ， ， 卜 ， ， 卜 一 一 ， ， 卜 ， ， 一 ， 一 ， 卜 ， ， 卜 ， ， 卜 ， ， ， ， 卜 ， ， 娜上式可简化为 今。 命犷 尸‘，卜扭 ‘ 卜︸ 革
p(k,1,n)L(k,1,n+1 利用全概公式，便得到放出t个方块后，第n层的(k,1,n)处为废石的概率为： q:(k,l,n)=p(k,1,n)L-1(k,1,n+1)+ +〔1-p(k,1,n)q-1(k,l,n (6) 上式中的p(k,1,a)可按公式(1)计算，而L-1(k,1,n+1)由第n+1层的概率分布确 定，又由问题的实际意义知：qo(k,1,n)=q,(k,1,n)=…=q4)=0。即开始时起直 到放出t=N~n个方块为止，废石都不可能够转移到第n层，又设第·层的废石转移概率已 知，因此L:-:(k,I,·+1)也是知道的利用这些条件和递推公式(6)，即可求出放出t个 方块后，第层的各点处的废石转移概率。前面已经说明，矿石的最高层即第N层的废石转 移概事可由公式(2)计算，再利用公式(6)从第N层自上而下递推，最后可以得到出矿漏口处， 即(0,0,0)处为废石转移率，即放出第t个方块时，它是废石的概案q:, 3.废石转移律的单调性 现在用归纳法证明在任何（k,1,n)处，废石转移律具有单调性，即q:(k,【,n)↑1， (t→∞)。 前面已经说明，对于第N层（矿石最高层）的每一个点处，都有q:(k,l,)↑1，(t+ o),现在假设对于第n+1层的每一个点处都有：当t+o时，q,(k,1,n+1)↑1。进一步 要证明，对于第n层的任何点处，也有q:(k,1,n)↑1，(to)。 由公式(3)，(4)可见，当t→∞时，就有：A:-1(k,1,n+1)t4及B:-:(k,n+1)↑ 4。因此由公式(5)得到：L(k,1,n+1)↑1，(t+∞)。 现在证明q,(k,1,n)↑1，(t→o)。为此先证明q:(t,1,n)是单调增加的，前 面已说过，由问题的实际意义知： qo(k,1,n)=...=qN-n(k,1,n)=0 利用递推公式(6)得到： QN-n+1(k,1,n)=p(k,1,n)LN-n(k,1,n) +(1-p(k,1,n))qN-n(k,1,n) =p(k,1,n)Lw-n(k,1,n+1)≥0=qw-a(k,1,n) 设当t-1时有q,(k,1,n)≥qt-1(k,1,n),则由递推公式(6)得到： qt+i(k,1,n)-q:(k,1,n)=p(k,l,n)〔L.(k,l,n+1)- -Lt-1(k,1,n+1))+〔1-p(k,l,n)〔q.(k,l,n)- -qt-1(k,l,n)≥0 即：9t+1(k,1,n)≥q:(k,1,n)。又因为对于任何t均有0≤q:(k,1,n)≤1，所以q.(k, 1,n)又是有界的，因而极限存在，令 q=limq(k,1,n) t-0o 于是在递推公式(6)中，令t·∞，便得到 q=p(k,1,n)+〔1-p(k,l,n)〕q 因此当p(k,1,n)卡0时，即废石不可能移到(k,1,)处时，都有q=1,即当放出的方 块无限增加时，(k,I,n)处终将被废石所占据 特别，对于出矿漏口处，也有 9t↑1，(t+o) 130
， ， ， ， 利用全概公式 ， 便得 到放出 个方块后 ， 第 层 的 ， ， 处为废石 的概率为 、 ， ， ， ， ， ， 〔 一 ， ， 〕 ， ， ， 上式 中的 ， ， 可按公 式 计算 ， 而 ， ， 由第 层 的概率分布确 定 ， 又 由问题 的实际意义 知 。 ， ， ， ， … ， 。 。 即开 始时起直 到放出 二 一 个方块为止 ， 废石都不可能够转移到第 层 ， 又设 第 层 的废石转移概率已 知 ， 因此 卜 ， ， 也是知道的利用这些 条件和 递推公 式 ， 即可求出放出 个 方块后 ， 第 层 的 各点处的废石转移概率 。 前面 已经 说 明 ， 矿石的最高层即第 层的废石转 移概率可 由公式 计算 ， 再利用公 式 从第 层 自上而下递推 ， 最后可 以得到出矿漏 口 处 ， 即 ， ， 处为废石转移率 ， 即放出第 个方块 时 ， 它是废石 的概率 ， 废石转移律的单调性 现在用归纳法证 明在任何 ， ， 处 ， 废石转移律具有单调性 ， 即 ， ， 个 ， ， 。 前面 巳经说 明 ， 对于 第 层 矿石最 高层 的每一个点处 ， 都有 ， ， 个 ， ， ， 现在假设对于第 层的每一个点 处都有 当 ， 时 ， ， ， 个 。 进一步 要证 明 ， 对于 第 层的任何点处 ， 也有 ， ， 个 ， ， 。 由公 式 ， 可见 ， 当 时 ， 就 有 卜 ， ， 个 及 一 ， 个 。 因此 由公式 得到 ， ， 个 ， ‘ ， 。 现在证明 ， ， 个 ， ， 。 为此先证 明 ， ， 是单调增 加的 ， 前 面 已说过 ， 由问题的实际意义 知 。 ， ， … 卜 ， ， 利用递推公 式 得 到 一 ， 一 ， ， ， ， ， ， 〔 一 ， ， 〕 卜 。 ， ， ， ， 卜 ， ， 。 ， ， 设 当 一 时有 ， ， 》 ， ， ， 则 由递推公 式 得 到 十 ， ， 一 、 ， ， ， ， 〔 ， ， 一 一 ， ， 〕 〔 一 ， ， 〕〔 ， ， 一 一 一 ， ， 〕》 即 ， ， ， ， 。 又 因为对于任何 均有 《 ， ， ， 所以 ， ， 又是有界的 ， 因而极 限存在 ， 令 ， ， 刁卜 于 是在递推 公 式 中 ， 令 ， ， 便得到 ， ， 一 ， ， 〕 因此 当 ， ， 粉 时 ， 即废石不 可 能移到 ， ， 处时 ， 都有 ， 即 当放 出 的方 块无 限增 加时 ， ， ， 处终将被 废石所 占据 特别 ， 对于 出矿漏 口 处 ， 也有 个
三、最佳戴止放矿时间的探讨 现将按下列公式计算矿山的盈利： T v=(0.01JaHa-x) 其中J:精矿中每吨金属的调拨价格（元）， a:采出矿石的平均品位（%)事 Ha:采出矿石品位为a时的选矿金属回收系数（小数）， x:每吨采出矿石的采矿，运输和选矿成本（元）， T:采出矿石量（吨）， Q:开采的工业矿量（吨）。 设矿石的品位为α(%)，废石的品位为B(%),而每个方块的重量为o(吨)，则自漏 口放出T个方块时，矿石的期望盈利为 T 7=8∑(0.0iaH.-x)-0.o1(aH,-BH,g: t=1 由于q,是t的递增函数，且aH。~BH,>0,如果从某个t,处有 或 (0.01JaH。-x)-0.01J(aH.-aH)qt。≤0 0.01JaH。-x g。≥0.0iJ(aH.-H,) (7) 则当t≥t,时，(7)式总成立，从t。时起，矿山的盈利为0或负值，应停止放矿，由此可 见使(T)式成立的第一个t。的前一时刻，就是放矿的最佳截止时间，这时矿山的总期望盈利 为 to-1 g-1=Q∑(0.01JaH.-x)-0.01(aH.-BH,)q) t=1 以上只就单漏口放矿问题，探讨了最佳截止放矿时间，对于多漏口问题，如果采用均匀 放矿法，当废石均匀下降到一定高度后，各漏口的放矿互相不发生干扰，这时多漏口问题也 可以用单漏口的方法处理因而本文提供的方法仍然适用。本文曾经何品三教授审阅，在此表 示度心的感谢。 参考文献 (1)Jolly David Computer Simulation of the movement of are waete in undongvound mining piller,Carada mining and meta11 ury Bu11,(1968),61.675,pp854-859 (2)MxeHuroa B,P,Onpeneneane 2akana Pacupcneneane BepoarHo- cTen B CTaxacTnueckou Moneneu IauxeHn Pyau Hpn Buuycke 《ΦM3IKO-TEXHNYECKLIEΠPOBJIEMbI PA3 PASTKM nOJE- 3 HbIX MCKONIAEMbIX》 131
三 、 最佳戴止 放矿 时间的探讨 现将按下列公 式计算矿 山 的盈利 二 月 一丁 一 叼 其 中 精矿中每 吨金属 的调拨价格 元 ， 采出矿石的平均品位 ， 采 出矿石品位为 时的选矿 金属 回收系数 ， 、 数 ， 每吨采 出矿石 的采矿 ， 运 输和选矿 成本 元 ， 采 出矿石盆 吨 ， 开采 的工业矿童 吨 。 设矿石的品位为 ， 废石 的品位为 日 ， 而每个方块的重 最为 。 吨 ， 则 自漏 口 放出 个方块 时 ， 矿石的期 望盈利为 ，乏 一 。 一 一 。 一 日 ， 由于 是 的递 增 函数 ， 或 且 。 一 日 ， ， 如果 从某个 。 处有 一 一 一 ， 。 《 。 》 。 一 。 一 日 ， 则 当 》 。 时 ， 式 总成立 ， 从 。 时起 ， 矿山 的盈利为。 或负值 ， 应停止放矿 ， 由此可 见 使 式成立 的第一个 。 的前一 时刻 ， 就 是放矿的最佳截止时间 ， 这时矿 山的 总期望盈利 为 一 、 一 一井 夕 〔 。 。 。 一 二 一 。 。 。 一 ， 〕 、 心 以 上只就 单漏 口 放矿 问题 ， 探讨 了最佳截止放矿 时间 ， 对于多偏 口 问题 ， 如果采 用均匀 放矿法 ， 当废石均匀下降到一定 高度后 ， 各漏 口 的放矿互 相不发生干扰 ， 这 时多漏 口 问翅也 可 以用单漏 口 的方法处理 因而本文提 供 的方 法仍然适 用 。 本文 曾经何品 三教授 审阅 ， 在此表 示衷心的感谢 。 参 考 文 献 ， ， ， 地 ， 弓 只 ， ， 皿 几 及 刀 “ 一 盆 互 双 及 几 二 口 狱 从 只 了八 从 。 盆 了 《 中 一 马 玖 几 几 一 》 革 广，、 ， 、、夕沪
