a1,a2,…,an线性表示推出。 14.提示:对等式中的系数是否有为零进行讨论。 15.提示:充分性由 Cramer法则导出;必要性利用第13题的结论。 16.提示:记A的行向量为a1,a2,…,an,C的行向量为c1,c2,…,Cn,则由 AB=C得Ba1=c1(i=12,…,m)。若λ1a1+2a2+…+nan=0,则可得 λBa1+Ba2+…+λnBan=0,即λ1c1+A2c2+…+1nCn=0 由此得A1=2= 17.提示:用数学归纳法 18.提示:按定义写出线性组合为0的表达式,再左乘A,证明每个系数为0。 a1a 12 19.提示:记A=(a,a2,…,a),则4=/a3aan2…aan a'a a'a §2秩 1.(1)3;(2)2;(3)an≠0时,秩为n;a,=0时,秩为n-1。 2.3 3.(1)线性相关;(2)线性无关。 4.秩为4;a1,a2,a4,a3是一个极大无关组 5.当a=0或a=-10时,a1,a2,a3,a4线性相关 当a=0时,a1是一个极大无关组,此时a2=2a1,a3=3a1,a4=4a1 当a=-10时,a2,a3,a是一个极大无关组,此时a1=-a2-a3-a4 6.提示:考虑极大无关组 7.不等价。 9 b≠ 10.提示:由(a1,a2,…,an)=(,b2…,bn)D可得 m=rank(a1a2,…,an)≤rank(,b2…,bn)。 11.提示:n=mank(1-A-B)≤rank(-A)+rank(B),以及从A2=A得 rank(I-A)+rank(A)≤n 12.提示:利用定理2.2.5的(6)。 13.提示:由ABA=B-可推知(I-AB)I+AB)=O。 14.提示:利用定理2.2.5的(4)和(6)。 16.提示:(1)充分性易知。必要性:设rank(A)=n。通过行初等变换,即存 在可逆矩阵P,使得PA=\B其中B1为n阶可逆矩阵。此时5 a a an , , , 1 2  线性表示推出。 14．提示：对等式中的系数是否有为零进行讨论。 15．提示：充分性由 Cramer 法则导出；必要性利用第 13 题的结论。 16．提示：记 A 的行向量为 a a am , , , 1 2  ，C 的行向量为 m c , c , , c 1 2  ，则由 AB  C 得 T i T i T B a  c （ i 1,2,  ,m ）。若 1a1  2 a2   m am  0 ，则可得 B a  B a   B a  0 T m T m T T T T 1 1 2 2   ，即 c  c   c  0 T m m T T 1 1 2 2   。 由此得 1  2   m  0。 17．提示：用数学归纳法。 18．提示：按定义写出线性组合为 0 的表达式，再左乘 A ，证明每个系数为 0。 19．提示：记 ( , , , ) A  a1 a2  an ，则                n T n T n T n n T T T n T T T T a a a a a a a a a a a a a a a a a a A A        1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 。 §2 秩 1．（1）3；（2）2；（3） an  0 时，秩为 n ； an  0 时，秩为 n 1。 2．3。 3．（1）线性相关；（2）线性无关。 4．秩为 4； 1 a ， 2 a ， 4 a ， 5 a 是一个极大无关组。 5．当 a  0 或 a  10 时， 1 a ， 2 a ， 3 a ， 4 a 线性相关。 当 a  0 时， 1 a 是一个极大无关组，此时 a2  2a1，a3  3a1，a4  4a1。 当 a  10 时， 2 a ， 3 a ， 4 a 是一个极大无关组，此时 a1  a2  a3  a4 。 6．提示：考虑极大无关组。 7．不等价。 8．a 1。 9． 2 1 a  b  。 10．提示：由   a a am , , , 1 2    b b bm , , ,  1 2  D 可得 m  rank a1 , a2 ,  , am   rank   b b bm , , , 1 2  。 11．提示： n  rank( I  A B )  rank (I  A)  rank( B )，以及从 A  A 2 得 rank (I  A)  rank( A )  n。 12．提示：利用定理 2.2.5 的（6）。 13．提示：由 1 ABA  B 可推知 (I  AB)(I  AB)  O。 14．提示：利用定理 2.2.5 的（4）和（6）。 15. 1。 16．提示：（1）充分性易知。必要性：设 rank( A )  n 。通过行初等变换，即存 在可逆矩阵 P1 ，使得          2 1 1 B B P A ，其中 B1 为 n 阶可逆矩阵。此时