有|f(P)-4k<E成立,则称A为n元函数f(P)当P→P时的极限,记为 Im f(P)=A 多元函数的连续性 设n元函数f(P)的定义域为点集D,B是其聚点且B∈D,如果 f(P)=f(P) 则称n元函数f(P)在点处连续设P是函数f(P)的定 义域的聚点,如果f(P)在点处不连续,则称6是函数f(P)的间断点 f(x,y)=x+y ,(x,y)≠(0,0) 例5讨论函数 (x,y)=(00)在0,0)处的连续性 解取x=Pcos6,y=psnO (xy)-f(00y=sn20+cs30<2 彐δ VE>0, <√x2+y2<δ (x,y)-f0)<2p<E imf(x,y)=f(0,0), 故函数在(0,0)处连续 例6讨论函数 1(xy)={x2+y2,x+y2≠0 +y2=0 在(0,0)的连续性 解取8 有 | f (P) − A|  成立，则称 A 为 n 元函数 f (P) 当 P → P0 时的极限，记为 f P A P P = → lim ( ) 0 . 三、多元函数的连续性 设 n 元函数 f (P) 的定 义域为 点集 0 D, P 是其 聚点 且 P0  D ，如果 lim ( ) ( ) 0 0 f P f P P P = → 则称 n 元函数 f (P) 在点 P0 处连续. 设 P0 是函数 f (P) 的定 义域的聚点，如果 f (P) 在点 P0 处不连续，则称 P0 是函数 f (P) 的间断点. 例 5 讨论函数      =  + + = 0, ( , ) (0,0) , ( , ) (0,0) ( , ) 2 2 3 3 x y x y x y x y f x y 在(0,0)处的连续性． 解 取 x =  cos , y =  sin  f (x, y) − f (0,0) (sin cos ) 3 3 =   +   2    0, , 2   = 当  +   2 2 0 x y 时 f (x, y) − f (0,0)  2   lim ( , ) (0,0), ( , ) (0,0) f x y f x y = → 故函数在(0,0)处连续. 例 6 讨论函数      + = +  = + 0, 0 , 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y xy f x y 在(0,0)的连续性 解 取 y = kx