lim =lim =lim x→0x2+k 其值随k的不同而变化,极限不存在 故函数在(0,0)处不连续 闭区域上连续函数的性质 (1)最大值和最小值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数,在D上至少取得它的最大值和最小值各 次 (2)介值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数,如果在D上取得两个不同的函数值,则 它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次 (3)一致连续性定理 在有界闭区域D上的多元连续函数必定在D上一致连续 多元初等函数:由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤 所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域 般地,求lmf(P)时,如果f(P)是初等函 数,且P是f(P)的定义域的内点,则f(P)在 点P处连续,于是皿f(P)=f() lin vay+1-1 原式=lmx+1-1 =lim x1+ 解9 2 2 0 0 lim x y xy y x + → → 2 2 2 2 0 lim x k x kx y kx x + = = → 2 2 2 2 0 lim x k x kx y kx x + = = → 其值随 k 的不同而变化，极限不存在 故函数在(0,0)处不连续． 闭区域上连续函数的性质 （1）最大值和最小值定理 在有界闭区域 D 上的多元连续函数，在 D 上至少取得它的最大值和最小值各 一次． （2）介值定理 在有界闭区域 D 上的多元连续函数，如果在 D 上取得两个不同的函数值，则 它在 D 上取得介于这两值之间的任何值至少一次． （3）一致连续性定理 在有界闭区域 D 上的多元连续函数必定在 D 上一致连续． 多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤 所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的． 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域． lim ( ) ( ). ( ) ( ) lim ( ) ( ) 0 0 0 0 0 P f P f P P f P f P f P f P P P P P = → → 点 处连续，于是 数，且 是 的定义域的内点，则 在 一般地，求 时，如果 是初等函 例７ . 1 1 lim 0 0 xy xy y x + − → → 求 解 ( 1 1) 1 1 lim 0 0 + + + − = → → xy xy xy y x 原式 1 1 1 lim 0 0 + + = → → xy y x . 2 1 =