《数学分析》下册 第二十一章二重积分 海南大学数学系 y=,以将m平面上由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域△一对一地映成少 平面上的闭区域D,函数x=,以，y=刊在△内分别具有一阶连续偏导数 且它们的函数行列式 x,) Ju,-atu,可≠0，u,eA, 则 ∬r达迹ftu以ukih 证明用曲线网△把分成n个小区域△，在变换T作用下区域D也相应地分 成个n小区域D,记△，及D,的面积为4A,)及4(D,)=L,)由引理及二重积 分的中值定理，有 do).ah6la). 其中，)e△，f=1m.令=x,n=y6,小，则传，n,)eD.作 二重积分(，)的积分和 2n4o)2t.b6.i6.ia 上式右边的和式是上的可积函数心以，v,以的积分和。又由变换T的 连续性可知，当区域△的分割的细度P→0时，区域D相应的分制的细度T 也趋于零.因此得到 ∬fek∬/u以u,咖 例1求 ,其中D是由x=0,y=0,x+y=1所围区域， 解作变换u=-男=+y即-如+以y=北-川则0 etw 3《数学分析》下册 第二十一章 二重积分 海南大学数学系 3 y = y(u,v) 将 uv 平面上由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域  一对一地映成 xy 平面上的闭区域 D ，函数 x = x(u,v)， y = y(u,v) 在  内分别具有一阶连续偏导数 且它们的函数行列式 J(u,v)= ( ) (u v) x y , ,    0，(u,v)   ， 则 ( )  D f x, y dxdy = ( ( ) ( )) ( )   f x u,v , y u,v J u,v dudv ． 证明 用曲线网  把分成 n 个小区域 i ，在变换 T 作用下区域 D 也相应地分 成个 n 小区域 Di ，记 i 及 Di 的面积为 ( )  i 及 ( )  Di (i =1,  ,n) 由引理及二重积 分的中值定理，有 ( )  Di = J (u v)dudv i   , = J (ui ,vi) ( )  i , 其中 (ui ,vi) i (i =1,  ,n)．令 x  i = (ui ,vi)， y i = (ui ,vi) ，则 ( )  i i ,  Di ．作 二重积分 f (x, y) 的积分和  =  ( ) ( ) = n i i i Di f 1  ,  =  ( ( ) ( )) ( ) ( ) =  n i i f x ui vi y ui vi J ui vi 1 , , , ,  , 上式右边的和式是上的可积函数 f (x(u,v), y(u,v)) J(u,v) 的积分和．又由变换 T 的 连续性可知，当区域  的分割的细度 T → 0 时，区域 D 相应的分割的细度 TD 也趋于零．因此得到 ( )  D f x, y dxdy = ( ( ) ( )) ( )   f x u,v , y u,v J u,v dudv ． 例 1 求  + − D x y x y e dxdy ，其中 D 是由 x = 0, y = 0, x + y = 1 所围区域. 解 作变换 u = x − y,v = x + y 即 x = (u + v) y = (v − u) 2 1 , 2 1 ,则 J(u,v)= 0 2 1  ,  + − D x y x y e dxdy =   e  dudv v u 2 1 =   − 1 0 2 1 dv e du v v v u =   − 1 0 2 1 dv e du v v v u = ( ) 2 4 1 1 1 0 1 − − − − =  e e v e e dv