学习体现“温故而知新”的效果,而非总是在不断地学习“全新”的内容,有助 于加深认识 事例2:基于有限维 Euclid空间之间微分同胚理解张量分析中的曲线坐标 系,从参数区域至物理区域间向量值映照的 Jacobi阵直接给出局部协变基→基 于非奇异阵其逆阵的唯一存在性,获得协变基之对偶基(亦即逆变基)的唯一存 在性→基于向量值映照其 Jacobi阵的每列即为此向量值相对于相应曲线坐标的 变化率,导出 Christoffer号的意义及其计算式等—教学实践表明,简单应 用有限维 Euclid空间之间映照的微分学可对力学中广泛应用的曲线坐标系的基 本概念给予十分清晰的阐述。 事例3:基于线性代数中“同时对角化”的结论,亦即存在非奇异阵,可将 一个对称正定阵和对称阵同时分别合同于单位阵和对角阵。这一常作为习题的结 论,其构造性证明过程以及相关线性变化的意义(在力学实践中有着明确的意 义),可以系统清晰地定义曲面的 Gauss曲率、平均曲率并获得相关基本性 质。理论力学课程中,藉上述同时对角化的结论,可以清晰推导保守系统在平衡 位置附近作微振动时所具有的数学性质及其力学解释。 事例4:基于有限维 Euclid空间之间映照的微分学,结合矩阵基本运算, 可以完整清晰地推导微积分中的 Stokes公式。最终结果的获得,基于一个三阶 反对称阵左乘一个列向量等于此反对称阵对应对偶向量叉乘此列向量,这一熟 悉、简单的数学性质。理论力学中,又是藉此数学性质,获得任意运动向量相对 于绝对坐标系和运动坐标系关于时间变化率之间的基本关系,此种关系的一个基 本应用就是速度、加速度合成关系式的推导。由此可见,上述简单的数学性质可 能就是“刚性旋转”的共有数学机制。 我们生活的世界丰富多彩,但上帝可能就拿一样东西创造了这些,这就是 数学机制”,反映为某种数学关系式。课程中的定理或性质可能并不是归纳程 度最高的东西,更高的会有上述数学机制,往往可以跨课程,甚至跨学科。我们 将上述数学机制称为“数学通识”,对此进行研究并在微积分等基础课程中强调 这些将有助后续专业课程相关内容的学习,便于展现和理解“数学的作为”,有 助于融会贯通、触类旁通。 1.3数学与自然机理间的关系 将数理知识体系认识为:以严格的量化观点,认识自然及非自然世界的系统 的思想和方法,而非纯粹逻辑过程,此处强调理论联系实践的能力。另一方面, 往往对深层机制或规律的理解需要数理知识体系。 事例1:基于无穷小量的比较及运算,我们可以进行如下估计: m号号号:( =-2+ofr)thanks to ofr) +o(r)=o(r), o(r)+o(r )=o(r)3 学习体现“温故而知新”的效果，而非总是在不断地学习“全新”的内容，有助 于加深认识。 事例 2：基于有限维 Euclid 空间之间微分同胚理解张量分析中的曲线坐标 系，从参数区域至物理区域间向量值映照的 Jacobi 阵直接给出局部协变基→基 于非奇异阵其逆阵的唯一存在性，获得协变基之对偶基（亦即逆变基）的唯一存 在性→基于向量值映照其 Jacobi 阵的每列即为此向量值相对于相应曲线坐标的 变化率，导出 Christoffel 符号的意义及其计算式等——教学实践表明，简单应 用有限维 Euclid 空间之间映照的微分学可对力学中广泛应用的曲线坐标系的基 本概念给予十分清晰的阐述。 事例 3：基于线性代数中“同时对角化”的结论，亦即存在非奇异阵，可将 一个对称正定阵和对称阵同时分别合同于单位阵和对角阵。这一常作为习题的结 论，其构造性证明过程以及相关线性变化的意义（在力学实践中有着明确的意 义），可以系统清晰地定义曲面的 Gauss 曲率、平均曲率并获得相关基本性 质。理论力学课程中，藉上述同时对角化的结论，可以清晰推导保守系统在平衡 位置附近作微振动时所具有的数学性质及其力学解释。 事例 4：基于有限维 Euclid 空间之间映照的微分学，结合矩阵基本运算， 可以完整清晰地推导微积分中的 Stokes 公式。最终结果的获得，基于一个三阶 反对称阵左乘一个列向量等于此反对称阵对应对偶向量叉乘此列向量，这一熟 悉、简单的数学性质。理论力学中，又是藉此数学性质，获得任意运动向量相对 于绝对坐标系和运动坐标系关于时间变化率之间的基本关系，此种关系的一个基 本应用就是速度、加速度合成关系式的推导。由此可见，上述简单的数学性质可 能就是“刚性旋转”的共有数学机制。 我们生活的世界丰富多彩，但上帝可能就拿一样东西创造了这些，这就是 “数学机制”，反映为某种数学关系式。课程中的定理或性质可能并不是归纳程 度最高的东西，更高的会有上述数学机制，往往可以跨课程，甚至跨学科。我们 将上述数学机制称为“数学通识”，对此进行研究并在微积分等基础课程中强调 这些将有助后续专业课程相关内容的学习，便于展现和理解“数学的作为”，有 助于融会贯通、触类旁通。 1.3 数学与自然机理间的关系 将数理知识体系认识为：以严格的量化观点，认识自然及非自然世界的系统 的思想和方法，而非纯粹逻辑过程，此处强调理论联系实践的能力。另一方面， 往往对深层机制或规律的理解需要数理知识体系。 事例 1：基于无穷小量的比较及运算，我们可以进行如下估计： 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 2 3 3 3 3 3 4 3 1 ln cos ln 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 ( ) thanks to ( ) + ( ) = ( ) , ( ) ( ) ( ) 2 x x x x x o x o x o x o o x x o x o x o x o x o x o x o x                                            