指出,随着我们所研究事务的复杂度的提高,测度论以及泛函分析、微分流形 等基本思想和方法是我们研究和认识复杂事务所必然需要的 可行性。(1)一元微分学(面对一般实函数)建立的思想和方法,可很大程度 地直接应用于有限维 Euclid空间之间映照;而有限维 Euclid空间之间映照 的微分学建立几乎可以“一模一样”的应用于一般赋范线性空间之间映照的微 分学的建立。由此,我们可以将新知识的学习过程作为“温故而知新”的过程。 (2)有限维 Euclid空间中微分流形的初步理论实质性地基于微分同胚的相 应结论,由此我们又可以实践“温故而知新”的过程。 《数学分析B》(上) 一元微积分 6学时必修 《数学分析B》(下) 高维微积分 6学时必修 知识体系/课程体系 微积分的一流化 赋范线性空间上微分学 《经典力学数学名著选讲》 2学时选修 微分流形上微积分 《流形上的微积分》 2学时选修 测度论与泛函分析 《应用实变函数与泛函分析 微积分的一流化进程”涉及的知识体系及其所属课程 按上所述,我们对“具有一流化的微积分的知识体系”的追求对于今后高层次 的学习以及研究等具有基础性的深远作用。在明确目标后,结合复旦现有的课程及 其学分设置,我们设想了“微积分一流化进程”的教学路径,现研究及实践的主要 内容如上图所示:①大学一年级必修“数学分析”,主要涉及 Euclid空间上微积 分→②大一暑期选修课程《经典力学数学名著选讲》(有关微积分的深化),主 要包括一般赋范空间上微分学,高维 Euclid空间上微积分的深化内容(包括秩定 理、 Morse定理、 Euclid空间中微分流形的初步理论等)→③大二、三选修 课程《流形上的微积分》,④《应用实变函数论与泛函分析基础》等,使得相关教 学的深度和广度能持平甚至超越国内外一流的微积分或数学分析的教程,如俄罗 斯数学教材选译之一的卓里奇箸《 Mathematical Analysis》。此教材被Wolf奖 获得者 V.I. Arnold誉为迄今为止最好的现代分析学教程,极力体现现代化的知识 体系及其在认识自然及非自然世界中的作用。 1.2数学通识——各课程间融会贯通与触类旁通的纽带 追求正本清源,不断加深各课程知识体系间的关系,有助于“融会贯通、触 类旁通”,切实加深对各课程所提供的知识的理解。一定程度上,知识体系应该 是由核心思想向外辐射,数理知识体系1的核心可谓微积分及线性代数。 事例1:微积分核心思想:动态逼近程度的刻画(点列极限)→整个微积分 体系的发展(包括导数、积分、级数)。学生学习微积分,仅需依赖极限这一唯 的核心概念,导数是一种特定的极限,积分、级数也是特定的极限,这些知识 1可以理解为:微积分+线性代数→常微分方程,偏微分方程;复变函数;概率统计等知识体系。此知识 体系,力学、数学、物理等理工专业均涉及,仅是要求程度有所不同。2 指出，随着我们所研究事务的复杂度的提高，测度论以及泛函分析、微分流形 等基本思想和方法是我们研究和认识复杂事务所必然需要的。  可行性。（1）一元微分学（面对一般实函数）建立的思想和方法，可很大程度 地直接应用于有限维 Euclid 空间之间映照；而有限维 Euclid 空间之间映照 的微分学建立几乎可以“一模一样”的应用于一般赋范线性空间之间映照的微 分学的建立。由此，我们可以将新知识的学习过程作为“温故而知新”的过程。 （2）有限维 Euclid 空间中微分流形的初步理论实质性地基于微分同胚的相 应结论，由此我们又可以实践“温故而知新”的过程。 “微积分的一流化进程”涉及的知识体系及其所属课程 按上所述，我们对“具有一流化的微积分的知识体系”的追求对于今后高层次 的学习以及研究等具有基础性的深远作用。在明确目标后，结合复旦现有的课程及 其学分设置，我们设想了“微积分一流化进程”的教学路径，现研究及实践的主要 内容如上图所示：① 大学一年级必修“数学分析”，主要涉及 Euclid 空间上微积 分 → ② 大一暑期选修课程《经典力学数学名著选讲》（有关微积分的深化），主 要包括一般赋范空间上微分学，高维 Euclid 空间上微积分的深化内容（包括秩定 理、Morser 定理、Euclid 空间中微分流形的初步理论等） → ③ 大二、三选修 课程《流形上的微积分》，④《应用实变函数论与泛函分析基础》等，使得相关教 学的深度和广度能持平甚至超越国内外一流的微积分或数学分析的教程，如俄罗 斯数学教材选译之一的卓里奇箸《Mathematical Analysis》。此教材被 Wolf 奖 获得者 V.I.Arnold 誉为迄今为止最好的现代分析学教程，极力体现现代化的知识 体系及其在认识自然及非自然世界中的作用。 1.2 数学通识——各课程间融会贯通与触类旁通的纽带 追求正本清源，不断加深各课程知识体系间的关系，有助于“融会贯通、触 类旁通”，切实加深对各课程所提供的知识的理解。一定程度上，知识体系应该 是由核心思想向外辐射，数理知识体系1的核心可谓微积分及线性代数。 事例 1：微积分核心思想：动态逼近程度的刻画（点列极限）→整个微积分 体系的发展（包括导数、积分、级数）。学生学习微积分，仅需依赖极限这一唯 一的核心概念，导数是一种特定的极限，积分、级数也是特定的极限，这些知识 1 可以理解为：微积分＋线性代数→常微分方程，偏微分方程；复变函数；概率统计等知识体系。此知识 体系，力学、数学、物理等理工专业均涉及，仅是要求程度有所不同