2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 1.直角坐标系中曲线y=f(x),a≤x≤b绕X轴旋转生成的旋转体的侧面积为 A=2rr(x1+[(Fdr 2.参数方程下曲线x=x(1),y=y(),a≤t≤β绕x轴旋转成的侧面积为 A=2rPyOVIoF+D(Fdr 例7.11设有曲 线y=√ 过原点作其切 线,求此曲线 (2,1) 切线及x轴为成 的平面区域绕x 轴旋转一周所得 y=vx-1 到的旋转体表面积 【解】可以求得 切线为y2,切 点为(21) 旋转体表面积由两部分组成 由曲线绕x轴旋转一周所 得到的旋转体表面积为4=2xy+y=r∫√4x-3d=65-1 由切线绕x轴旋转一周所得到的旋转体表面积为 42=2n 所以旋转体表面积A=4+4=z1√5-1) 例7.12设外旋轮线的方程为 x=a(t-sinn) y=a(-cost)oSt<2r,a>0) (1)求它绕x轴旋转一周生成的体积与侧面积 (2)求它绕y轴旋转一周生成的体积与侧面积 【解】(1)体积为 谭泽光刘坤林编水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor 电话823788052008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 1. 直角坐标系中曲线 y = f (x), a ≤ x ≤ b 绕 x 轴旋转生成的旋转体的侧面积为 [ ] ∫ = + ′ b a A f x f x dx 2 2π ( ) 1 ( ) 。 2. 参数方程下曲线 x = x(t), y = y(t), α ≤ t ≤ β 绕 x 轴旋转成的侧面积为 [ ] [ ] ∫ = ′ + + ′ β α A π y t x t y t dt 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 。 例 7. 11 设有曲 线 y = x −1 , 过原点作其切 线, 求此曲线, 切线及 x 轴为成 的平面区域绕 x 轴旋转一周所得 到的旋转体表面积. 【解】 可以求得 切线为 y x 2 1 = , 切 点为(2,1). 旋转体表面积由两部分组成: 由曲线绕 x 轴旋转一周所 得到的旋转体表面积为 ∫ = + ′ 2 1 2 1 A 2π y 1 y dx (5 5 1) 6 4 3 2 1 = − = − ∫ π π x dx 。 由切线绕 x 轴旋转一周所得到的旋转体表面积为 π 5π 2 5 2 1 2 2 0 2 = = ∫ A x dx 所以旋转体表面积 (11 5 1) 6 = 1 + 2 = − π A A A 。 例 7. 12 设外旋轮线的方程为 ⎩ ⎨ ⎧ ≤ ≤ > = − = − (0 2 , 0) (1 cos ) ( sin ) t a y a t x a t t π ， （1）求它绕 x 轴旋转一周生成的体积与侧面积； （2）求它绕 y 轴旋转一周生成的体积与侧面积。 【解】（1）体积为 谭泽光 刘坤林 编 水木艾迪考研培训网 6 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805