008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 a(1-cost)a(1-cost )dt=ra(1-3 cost+3cost-cos't)dt 侧面积为 2r0oyVex (2)绕y轴旋转体积与侧面积分别为 体积 (t-sint)asin tdt=6x'a 侧面积:27x√(x)2+(y)d=27a(-m02-21r7d 7.2定积分的物理应用 1.平面图形的形心 设∫(x),g(x)在区间[a,b]上可积,则平面图形 D=(x,y)≤x≤b,f(x)≤y≤g(x)的形心为 g()-(xk1(x)-f()k [8(x)-f(x)]dx [8(x) f(x)] 例7.13求半径为R的半圆板的形心 【解】设半圆板的圆心在原点,由对称性, R2-x2) x=0 R 例7.14假设区域D由曲线 y=px3(y>0,P>0)及其过点(p)的切线与x轴围成,设此区域的形心为(X,Y), (1)求X的值 (2)求尸的值,使D绕y轴旋转一周而生成的旋转体体积为 135 【解】(1) 3 P 切线为y=p+3p(x-1)与x轴交点为(230, 谭泽光刘坤林编水木艾迪考研培训网 7www.tsinghuatutor.com 电话823788052008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 ∫ − − π π 2 0 2 2 a (1 cost) a(1 cost)dt ∫ = − + − π π 2 0 3 2 3 a (1 3cost 3cost cos t)dt = 。 2 3 5π a 侧面积为 ∫ + π π 0 2 2 2 y (x') ( y') dt ∫ = + π π 0 2 2 2 y (x') ( y') dt ＝ dt t a∫ π π 2 0 3 2 8 sin ) 2 ) (cos 2 16 (1 cos 2 0 2 t d t a∫ = − − π π = 2 3 64 πa （2）绕 y 轴旋转体积与侧面积分别为 体积： = ， ∫ − π π 2 0 2 2 a (t sin t) asin tdt 3 3 6π a 侧面积： ∫ + π π 0 2 2 2 x (x') ( y') dt = ∫ − − π π 0 2 a(t sin t) 2 2costdt = 2 2 16π a 7.2 定积分的物理应用 1. 平面图形的形心 设 f (x), g(x) 在区间[a,b]上可积, 则平面图形 D = { } (x, y) a ≤ x ≤ b, f (x) ≤ y ≤ g(x) 的形心为 [ ] [ ] ∫ ∫ − − = b a b a g x f x dx x g x f x dx x ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] ∫ ∫ − − = b a b a g x f x dx g x f x dx y ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 例 7. 13 求半径为 R 的半圆板的形心. 【解】 设半圆板的圆心在原点, 由对称性, x = 0 . R R R x dx y R R π π 3 4 2 1 ( ) 2 1 2 2 2 = − = ∫− . 例 7. 14 假设区域 D 由曲线 ( 0, 0) 3 y = px y > P > 及其过点(1, p) 的切线与 x 轴围成，设此区域的形心为(X ,Y ) ， （1）求 X 的值； （2）求 p 的值，使 D 绕 y 轴旋转一周而生成的旋转体体积为 π 135 7 Vy = 。 【解】（1） y px p x x 3 3 1 2 1 ′ = = = = ， 切线为 y = p + 3p(x −1) 。与 x 轴交点为 ,0) 3 (2 , 谭泽光 刘坤林 编 水木艾迪考研培训网 7 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805