定理8.(函数与其极限间的关系)函数f(x的极限为A 的充要条件是函数f(x)等于A与无穷小量a的和 即f(x)=A+a 证明 设imf(x)=4,则对va>0总存在一个时刻在此时刻 以后,就恒有fx)-4k<e,从而/(x)-A为无穷小量,记 为a,则f(x)=A+a 设f(x)=A+a,且a为无穷小量,则对v>0总存在 个时刻,在此时刻以后,就恒有a=/(x)-A4<E 故lmf(x)=A5 定理8. (函数与其极限间的关系)函数ƒ(x)的极限为A 的充要条件是函数ƒ(x )等于A与无穷小量 α 的和. 即 ƒ(x) = A + α. 设lim ƒ(x) =A, 则对    0 " "  " "     0 设ƒ(x ) = A +α,且α为无穷小量, 则对 证明 故lim ƒ(x) =A. 总存在一个时刻,在此时刻. 以后,就恒有|ƒ(x)–A|<ε, 从而ƒ (x )−A为无穷小量, 记 为α,则ƒ (x )=A+α 总存在 一个时刻, 在此时刻以后,就恒有| α |= |ƒ (x)–A|< ε