∴.H是对称矩阵。 HHT=H2=(E-2XXT) =E-4XX'+4(XX')(XX)=E-4XX7+4X(X'X)X7 =E-4XXT+4XXT=E 例 证明任一n阶矩阵都可表示成对称阵与反称阵之和。 证明设C=A+A 则CI=(A+A)=A+A=C, 所以C为对称矩阵，所以C2也是对称矩阵。 设B=A-AI,则BT=(A-A)T=A-A=-B, 所以B为反对称矩阵，所以B2也是反对称矩阵。 而4=4++4-=S+8,证毕。 2 222 三、 可逆矩阵 1.概念的引入 在数的运算中，当数a≠0时，有 aa"=a"a=l 其中a=1为a的倒数，（或称a的逆）。 在矩阵的运算中，单位阵E相当于数的乘法运算中1，那么，对于矩阵A, 如果存在一个矩阵A,使得AA=AA=E,则矩阵A称为A的逆矩阵，A称 为可逆矩阵。 2.逆矩阵的概念 定义设A是一个阶方阵，若存在一个阶矩阵B,使得：AB=BA=E, 则称矩阵A可逆，且称B是的逆矩阵，记作A,即A=B. 例 :AB=BA=E,.B是的一个逆矩阵 说明若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的，14 ∴H是对称矩阵。 2 2 (2 ) T T HH H E XX = =− 4 4( )( ) 4 4 ( ) T T T T TT =− + =− + E XX XX XX E XX X X X X 4 4 T T =− + = E XX XX E 例 证明任一n 阶矩阵都可表示成对称阵与反称阵之和。 证明 T 设C AA = + ( ) T TT T 则 ， C AA A AC = + = += 所以 C 为对称矩阵，所以 C/2 也是对称矩阵。 T 设B = − A A ， ( ) T TT T 则 ， B = − = − =− AA A A B 所以 B 为反对称矩阵，所以 B/2 也是反对称矩阵。 2 2 22 T T AA AA C B A + − 而 ，证毕。 = + =+ 三、 可逆矩阵 1. 概念的引入 在数的运算中，当数a ≠ 0时，有 1 1 aa a a 1 − − = = 其中 1 1 a a − = 为a 的倒数，（或称a 的逆）。 在矩阵的运算中，单位阵 E 相当于数的乘法运算中 1，那么，对于矩阵 A， 如果存在一个矩阵 1 A− ，使得 1 1 AA A A E − − = = ，则矩阵 1 A− 称为 A的逆矩阵，A称 为可逆矩阵。 2. 逆矩阵的概念 定义 设 是一个 阶方阵 若存在一个 阶矩阵 A n nB , , 使得: , AB BA E = = 1 1 A BA A A B ,,. − − 则称矩阵 可逆 且称 是 的逆矩阵 记作 ，即 = 例 设 1 1 12 12 , , 1 1 12 12 A B ⎛ ⎞⎛ ⎞ − = = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ − ∵ AB BA E = = ,∴B A 是 的一个逆矩阵. 说明 若 A是可逆矩阵，则 A的逆矩阵是唯一的