证明：若设B和C是A的可逆矩阵，则有 AB=BA=E,AC=CA=E 可得B=EB=(CA)B=C(AB)=CE=C 所以A的逆矩阵是唯一的，即B=C=。 2 例 设A= -10 求A的逆矩阵。 解利用待定系数法 设B= 6 是A的逆矩阵， 则 -(08-0 2a+c=1, a=0, --0- 2b+d=0, b=-1, -a=0, c=1, -b=1, d=2. 考查： a-004-8X0-0 所以 3.逆矩阵的运算性质 ()若A何逆，则4'亦可逆，且(A)=A (2)若何道，数*0则何逆，且(4'=r (3)若A可逆，则A也可逆，且(A)=(A)。 证明A(A)=(AA)'=E=E (4)=(r'）。 (4)若A,B为同阶方阵且均可逆，则AB亦可逆，且(AB)=BA~。15 证明： 若设 B 和 C 是 A 的可逆矩阵，则有 AB BA E AC CA E = = == , 可得 B == = == EB CA B C AB CE C ( ) ( ) 所以 A 的逆矩阵是唯一的，即 1 B C A− = = 。 例 设 2 1 1 0 A ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − ，求 A 的逆矩阵。 解 利用待定系数法 设 a b B c d ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠是 A 的逆矩阵， 则 2 1 10 10 01 a b AB c d ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ − 2 1, 0, 2 2 1 0 2 0, 1, 0 1 0, 1, 1, 2. ac a ac bd bd b ab a c b d ⎧ ⎧ + = = ⎪ ⎪ ⎛ ⎞⎛ ⎞ + + + = =− ⇒ =⇒ ⇒ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎨ ⎨ ⎝ ⎠⎝ ⎠ − − −= = ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ⎪ ⎪ − = = 考查： 2 1 0 1 0 1 2 1 10 10 1 2 1 2 10 01 AB BA ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − − = == = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ − − ， 所以 1 0 1 1 2 A− ⎛ ⎞ − = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 。 3. 逆矩阵的运算性质 ( ) ( ) 1 1 1 1, , . A A AA − − − 若 可逆 则 亦可逆 且 = () ( ) 1 1 1 2 , 0, , . A A AA λλ λ λ − − 若 可逆 数 则 可逆 且 ≠ = (3)若 A 可逆，则 T A 也可逆，且( ) ( ) 1 1 T T A A − − = 。 证明 ( )( ) 1 1 T T T T A A AA E E − − ∵ = == () ( ) 1 1 T T A A − − ∴ = 。 () ( ) 1 1 1 4, , , A B AB AB B A − − − 若 为同阶方阵且均可逆 则 亦可逆 且 =