证明（AB)(B）=A(BB)A=AEA=AA=E ∴(AB)=BA。 推广（44，…Am)广-A…A4。 例 求矩阵X使满足AXB=C。 3-2 解 A= -3/2-35/2, 1-1 又由 AXB=C→AAXBB-I=AΓCB-I→X=ACB 于是X=ACB -21 -32 1 1 1(3 =0-2 (0 25 -2 1 10-4 -104 例设方阵A满足方程A2-A-2E=0,证明A,A+2E都可逆，并求它们的 逆矩阵。 证明由A-A-2E=0,得A(4-E)=2B,→A4:E=E,故4何逆。 2 =4-). 又由A2-A-2E=0 =(4+29(4-39+4E=0=(4+294-3]-E 616 证明 ( )( )( ) 11 1 1 1 1 AB B A A BB A AEA AA E −− − − − − = = == ( ) 1 1 1 AB BA − − − ∴ = 。 推广 ( ) 1 1 11 A12 2 1 A A A AA m m − − −− " " = 。 例 设 123 13 2 1 2 2 1, , 2 0 5 3 343 31 A BC ⎛ ⎞ ⎛⎞ ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎛ ⎞ = == ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝⎠ ， 求矩阵 使满足 X AXB C= 。 解 1 132 32 3 52 , 111 A− ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ =− − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − 1 3 1 5 2 B− ⎛ ⎞ − = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − 又由 1 1 11 11 AXB C A AXBB A CB X A CB − − −− −− =⇒ = ⇒ = 于是 1 1 X A CB − − = 1 3 2 13 3 1 32 3 52 2 0 5 2 1 1 1 31 1 1 3 1 0 2 5 2 0 2 2 1 10 4 10 4 ⎛ ⎞⎛ ⎞ − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ − =− − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − ⎝ ⎠⎝ ⎠ − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎛ ⎞ − = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − 例 设方阵 A 满足方程 2 AAE − − = 2 0，证明 AA E , 2 + 都可逆，并求它们的 逆矩阵。 证明 2 由AAE −− = 2 0 ，得AA E E ( − =) 2 ， 2 A E A E − ⇒ = ，故 可逆 。 A ( ) 1 1 2 A A E − ∴ = − 。 2 又由AAE −− = 2 0 ( )( ) ( ) ( ) 1 2 3 40 2 3 4 A EA E E A E A E E ⎡ ⎤ ⇒ + − + =⇒ + − − = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦