第4期 车晓雅，等：基于证据理论刻画多粒度覆盖粗糙集的数值属性 485· 较小}，“颜色”的属性值是{优，良，差}，“价格”的 对}。有3个专家{甲，乙，丙}对6所房子进行评 属性值是{高，中，低}，“环境”的属性值是{安静，较 价，他们的评价结果互相独立。评价结果列于表1。 吵，很吵}，“购买意见”的决策值是{支持，中立，反 表1一个关于房屋评价的信息系统 Table 1 An information system of a house evaluation problem U 公摊面积 颜色 价格 环境 购买意见 小 {较大，普通} {优} {高 {安静} 1支持，中立} y {较大，普通 1良} {高，中，低} {安静，较吵} {支持，中立，反对} % {较大，普通 {优，良 中，低} {较吵，很吵 {中立，反对} {普通} 差} {低} {很吵； {中立 X5 {普通} 差} 中1 {很吵 {反对 X6 {普通，较小 {优，良 1高，低} {很吵； 1支持，反对} 由属性集A诱导出的一族覆盖C={C:,i=1,2 V1(x6)={x2,x3,x4,x5,x6} …,4}和等价关系R={R,i=1,2,…,4}及由决策 是关于覆盖族C的多粒度覆盖。 集B诱导出覆盖的C5,如下：C,={x1,x2,x3},{x1, ③由关系划分函数知，{x1,x2,x3,x6}= x2,x3,x4,x5,x6},{x6}f,C2={x1,x3,x6},{x2,x3, f1(V(x)=V(x2)=V(x3))f(V(xa)= x6},{x4,x5}},C3={{x1,x2,x6},{x2,x3,x5},{x2, (V(x5)=U,1(V1(x6)=U-{x1},所以 x3,x4,x6}{,C4={x1,x2},{x2,x3},{x3,x4,x5, {x1,x2,x3},{x4,x5},{x6}}是U上一个划分。 x6}},C5={{x1,x2,x6},{x1,x2,x3,x4},{x2,x3,x5, 根据第1型模型知，V,(D)={x6}}, x6}},R1={x1,x2,x3},{x4,x5},{x6}},R2= 71(D)={x6},{x1,x2,x3}}。U上焦元为{x1, {x1},{x2},{x3,x6},{x4,x5}},R3={{x1},{x2}, x2,x3},{x4,x5},{x6}},其概率指派函数值分别为 {x3},{x4},{x5},{x6}},R4={x1},{x2},{x3}, m({x6})=6-,m({x1,x2,x3})=2-1,m({x4,x5})= x4,x5,x6} 3-1。 选定专家决策D,={x1,x2,x6},用信任函数和 似然函数刻画决策D,在经典悲观多粒度粗糙集模 相应的信任函数和似然函数值为，Bl,(D)= 型和四型悲观多粒度覆盖粗糙集模型中的信任区间 P((D))=6-,Pv(X)=P(1(X))=2×31。 及不确定性，为用户做购买决定提供不同参考意见。 则专家决策D,在第一型悲观多粒度覆盖粗糙集模 1)对x,∈U,t∈{1,2，…，6}。 型中的信任区间为[6,2×3]，其不确定性为 ①7a(x,)=nmdc,(x,),i∈{1,2,3,4}。 2×31-61=2。R中，D,的近似集为0U,则 C1中，V(x)={x1,x2,x3},71(x2)= 相应信任区间为[0,1] {x1,x2,x3},7(x3)={x1,x2,x3},V11(x4)=U, 显然，本文所提出的模型相较于经典多粒度粗 V(x5)={x1,x2,x3,x4,x5,x6},V1(x6)={x6}; 糙集模型，更具实际应用价值。 C2中，V2(x1)={x1,x3,x6},V2(x2)={x2,x3, 2)j=2,3,4时，分别有7a(x)=Umd(x),∩ x6},721(x3)={x3,x6},72(x)={x4,x5}, MD(x),UMD(x),i∈{1,2,3,4}。计算过程与 V(x3)={x4,5},V2(x6)={x3,x6}; 1)相似，本文不再一一计算。 C3中，71(x1)={x1,x2,x6},V3(x2)={x2}, 4结论 V31(x3)={x2,x3},V31(x4)={x2,x3,x4,x6}, V31(x5)={x2,x3,x5},71(x6)={x2,x6}; 经过上述讨论，本文得出以下结论： C4中，V41(x)={x1,x2},V41(x2)={x2} 1)通过对现有多粒度覆盖粗糙集模型进行分 V41(x3)={x3},V41(x4)={x3,x4,x5,x6},V41(x5)= 析，构造了4种悲观多粒度覆盖粗糙集模型，以使其 {x3,x4,x5,x6},V41(x6)={x3,x4,x5,x6}。 能够与证据理论更好地结合： ②V(x,)=U{7(x,)i=1,2,…,m},则 2)基于集合的交、并运算和关系划分函数，实现 V1(x1)={x1,x2,x3,x6} 了悲观多粒度覆盖粗糙集到单粒度多元覆盖粗糙集 71(x2)={x1,x2,x3,x6} 再到单粒度经典粗糙集的转化，进而实现简化上述 V1(x3)={x1,x2,x3,x6},7(x4)=U 4种模型的目的： 7,(x5)=U 3)结合证据理论，刻画了上述模型的近似及其较小｝，“颜色”的属性值是｛优，良，差｝，“价格” 的 属性值是｛高，中，低｝，“环境”的属性值是｛安静，较 吵，很吵｝，“购买意见”的决策值是｛支持，中立，反 对｝。 有 ３ 个专家｛甲，乙，丙｝ 对 ６ 所房子进行评 价，他们的评价结果互相独立。 评价结果列于表 １。 表 １ 一个关于房屋评价的信息系统 Ｔａｂｌｅ １ Ａｎ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍ ｏｆ ａ ｈｏｕｓｅ ｅｖａｌｕａｔｉｏｎ ｐｒｏｂｌｅｍ Ｕ 公摊面积 颜色 价格 环境 购买意见 ｘ１ ｛较大，普通｝ ｛优｝ ｛高｝ ｛安静｝ ｛支持，中立｝ ｘ２ ｛较大，普通｝ ｛良｝ ｛高，中，低｝ ｛安静，较吵｝ ｛支持，中立，反对｝ ｘ３ ｛较大，普通｝ ｛优，良｝ ｛中，低｝ ｛较吵，很吵｝ ｛中立，反对｝ ｘ４ ｛普通｝ ｛差｝ ｛低｝ ｛很吵｝ ｛中立｝ ｘ５ ｛普通｝ ｛差｝ ｛中｝ ｛很吵｝ ｛反对｝ ｘ６ ｛普通，较小｝ ｛优，良｝ ｛高，低｝ ｛很吵｝ ｛支持，反对｝ 由属性集 Ａ 诱导出的一族覆盖 Ｃ ＝ ｛Ｃｉ，ｉ ＝ １，２， …，４｝ 和等价关系 Ｒ ＝ ｛Ｒｉ，ｉ ＝ １，２，…，４｝ 及由决策 集 Ｂ 诱导出覆盖的 Ｃ５ ，如下： Ｃ１ ＝ ｛｛ｘ１ ，ｘ２ ，ｘ３ ｝，｛ｘ１ ， ｘ２ ，ｘ３ ，ｘ４ ，ｘ５ ，ｘ６ ｝，｛ｘ６ ｝｝， Ｃ２ ＝ ｛｛ｘ１ ，ｘ３ ，ｘ６ ｝，｛ｘ２ ，ｘ３ ， ｘ６ ｝，｛ｘ４ ，ｘ５ ｝｝， Ｃ３ ＝ ｛｛ｘ１ ，ｘ２ ，ｘ６ ｝，｛ｘ２ ，ｘ３ ，ｘ５ ｝，｛ｘ２ ， ｘ３ ，ｘ４ ，ｘ６ ｝｝， Ｃ４ ＝ ｛｛ｘ１ ，ｘ２ ｝， ｛ｘ２ ，ｘ３ ｝， ｛ｘ３ ，ｘ４ ，ｘ５ ， ｘ６ ｝｝， Ｃ５ ＝ ｛｛ｘ１ ，ｘ２ ，ｘ６ ｝，｛ｘ１ ，ｘ２ ，ｘ３ ，ｘ４ ｝，｛ｘ２ ，ｘ３ ，ｘ５ ， ｘ６ ｝｝， Ｒ１ ＝ ｛｛ｘ１ ，ｘ２ ，ｘ３ ｝， ｛ｘ４ ，ｘ５ ｝， ｛ｘ６ ｝｝， Ｒ２ ＝ ｛｛ｘ１ ｝，｛ｘ２ ｝，｛ｘ３ ，ｘ６ ｝，｛ｘ４ ，ｘ５ ｝｝， Ｒ３ ＝ ｛｛ｘ１ ｝，｛ｘ２ ｝， ｛ｘ３ ｝，｛ｘ４ ｝， ｛ｘ５ ｝， ｛ｘ６ ｝｝， Ｒ４ ＝ ｛｛ｘ１ ｝， ｛ｘ２ ｝， ｛ｘ３ ｝， ｛ｘ４ ，ｘ５ ，ｘ６ ｝｝ 选定专家决策 Ｄ１ ＝ ｘ１ ，ｘ２ ，ｘ６ { } ，用信任函数和 似然函数刻画决策 Ｄ１ 在经典悲观多粒度粗糙集模 型和四型悲观多粒度覆盖粗糙集模型中的信任区间 及不确定性，为用户做购买决定提供不同参考意见。 １）对 ∀ｘｔ ∈ Ｕ，ｔ ∈ {１，２，…，６} 。 ① Ñｉ１ ｘｔ ( ) ＝∩ ｍｄＣｉ ｘｔ ( ) ，ｉ ∈ {１，２，３，４} 。 Ｃ１ 中， Ñ １１ ｘ１ ( ) ＝ ｘ１ ，ｘ２ ，ｘ３ { } ， Ñ １１ ｘ２ ( ) ＝ ｘ{ １ ，ｘ２ ，ｘ３ } ， Ñ１１ ｘ３ ( ) ＝ ｘ１ ，ｘ２ ，ｘ３ { } ， Ñ １１ ｘ４ ( ) ＝ Ｕ， Ñ１１ ｘ５ ( ) ＝ ｘ１ ，ｘ２ ，ｘ３ ，ｘ４ ，ｘ５ ，ｘ６ { } ， Ñ１１ ｘ６ ( ) ＝ ｘ６ { } ； Ｃ２ 中， Ñ２１ ｘ１ ( ) ＝ ｘ１ ，ｘ３ ，ｘ６ { } ， Ñ２１ ｘ２ ( ) ＝ ｘ{ ２ ，ｘ３ ， ｘ６ } ， Ñ ２１ ｘ３ ( ) ＝ ｘ３ ，ｘ６ { } ， Ñ ２１ ｘ４ ( ) ＝ ｘ４ ，ｘ５ { } ， Ñ２１ ｘ５ ( ) ＝ ｘ４ ，ｘ５ { } ， Ñ２１ ｘ６ ( ) ＝ ｘ３ ，ｘ６ { } ； Ｃ３ 中， Ñ３１ ｘ１ ( ) ＝ ｘ１ ，ｘ２ ，ｘ６ { } ， Ñ３１ ｘ２ ( ) ＝ ｘ２ { } ， Ñ３１ ｘ３ ( ) ＝ ｘ２ ，ｘ３ { } ， Ñ ３１ ｘ４ ( ) ＝ ｘ２ ，ｘ３ ，ｘ４ ，ｘ６ { } ， Ñ３１ ｘ５ ( ) ＝ ｘ２ ，ｘ３ ，ｘ５ { } ， Ñ３１ ｘ６ ( ) ＝ ｘ２ ，ｘ６ { } ； Ｃ４ 中， Ñ ４１ ｘ１ ( ) ＝ ｘ１ ，ｘ２ { } ， Ñ ４１ ｘ２ ( ) ＝ ｘ２ { } ， Ñ４１ ｘ３ ( ) ＝ ｘ３ { } ，Ñ４１ ｘ４ ( ) ＝ ｘ３ ，ｘ４ ，ｘ５ ，ｘ６ { } ， Ñ４１ ｘ５ ( ) ＝ ｘ３ ，ｘ４ ，ｘ５ ，ｘ６ { } ，Ñ４１ ｘ６ ( ) ＝ ｘ３ ，ｘ { ４ ，ｘ５ ，ｘ６ } 。 ② Ñ１ ｘｔ ( ) ＝∪ Ñｉ１ ｘｔ { ( ) ｉ ＝ １，２，…，ｍ} ，则 Ñ１ ｘ１ ( ) ＝ ｘ１ ，ｘ２ ，ｘ３ ，ｘ６ { } Ñ１ ｘ２ ( ) ＝ ｘ１ ，ｘ { ２ ，ｘ３ ，ｘ６ } Ñ１ ｘ３ ( ) ＝ ｘ１ ，ｘ２ ，ｘ３ ，ｘ６ { } ，Ñ１ ｘ４ ( ) ＝ Ｕ Ñ１ ｘ５ ( ) ＝ Ｕ Ñ１ ｘ６ ( ) ＝ ｘ２ ，ｘ３ ，ｘ４ ，ｘ５ ，ｘ６ { } 是关于覆盖族 Ｃ 的多粒度覆盖。 ③ 由 关 系 划 分 函 数 知， ｘ１ ，ｘ２ ，ｘ３ ，ｘ６ { } ＝ ｆ １ Ñ１ ｘ１ ( ) ＝ Ñ１ ｘ２ ( ) ＝ Ñ１ ｘ３ ( ( ) ) ，ｆ １（ Ñ １（ｘ４ ）） ＝ （Ñ１（ｘ５ ）） ＝ Ｕ，ｆ １（ Ñ １（ｘ６ ）） ＝ Ｕ － ｛ｘ１ ｝， 所 以 ｘ１ ，ｘ２ ，ｘ３ { } ， ｘ４ ，ｘ５ { } ， ｘ６ { { } } 是 Ｕ 上一个划分。 根 据 第 １ 型 模 型 知， Ñ１ ＿ Ｄ１ ( ) ＝ ｘ６ {{ } } ， Ñ１ Ｄ１ ( ) ＝ ｘ６ { } ， ｘ１ ，ｘ２ ，ｘ３ { { } } 。 Ｕ 上焦元为 ｛｛ ｘ１ ， ｘ２ ，ｘ３ ｝，｛ｘ４ ，ｘ５ ｝，｛ ｘ６ ｝｝，其概率指派函数值分别为 ｍ（｛ｘ６ ｝） ＝６ －１ ，ｍ（｛ｘ１ ，ｘ２ ，ｘ３ ｝） ＝ ２ －１ ，ｍ（｛ｘ４ ，ｘ５ ｝） ＝ ３ －１ 。 相应的信任函数和似然函数值为， ＢｅｌÑ１ Ｄ１ ( ) ＝ Ｐ Ñ１ ＿ Ｄ１ ( ( ) ) ＝ ６ －１ ， Ｐｌ Ñ１ (Ｘ) ＝ Ｐ(Ñ１ (Ｘ) ) ＝ ２ × ３ －１ 。 则专家决策 Ｄ１ 在第一型悲观多粒度覆盖粗糙集模 型中的信任区间为 ６ －１ [ ，２ ×３ －１ ] ，其不确定性为 ２ ×３ －１ － ６ －１ ＝ ２ －１ 。 Ｒ 中， Ｄ１ 的近似集为 ⌀、Ｕ， 则 相应信任区间为 [０，１] 显然，本文所提出的模型相较于经典多粒度粗 糙集模型，更具实际应用价值。 ２） ｊ ＝ ２，３，４ 时，分别有 Ñｉ１ (ｘ) ＝∪ ｍｄｃｉ (ｘ) ， ∩ ＭＤｃｉ (ｘ) ， ∪ ＭＤｃｉ (ｘ) ，ｉ ∈ {１，２，３，４} 。 计算过程与 １）相似，本文不再一一计算。 ４ 结论 经过上述讨论，本文得出以下结论： １）通过对现有多粒度覆盖粗糙集模型进行分 析，构造了 ４ 种悲观多粒度覆盖粗糙集模型，以使其 能够与证据理论更好地结合； ２）基于集合的交、并运算和关系划分函数，实现 了悲观多粒度覆盖粗糙集到单粒度多元覆盖粗糙集 再到单粒度经典粗糙集的转化，进而实现简化上述 ４ 种模型的目的； ３）结合证据理论，刻画了上述模型的近似及其 第 ４ 期 车晓雅，等：基于证据理论刻画多粒度覆盖粗糙集的数值属性 ·４８５·