484 智能系统学报 第11卷 LR2.6(W)=~LR吃6(~X) V(x)=X=X'成立，与X≠X'矛盾。∴HX,X'S U,X≠X',f(X)∩f(X')=0成立。 显然，如果C是U上的一族划分，上述4种多 粒度覆盖粗糙集模型将退化为经典悲观多粒度粗糙 其次须证，有U=Uxc(X)成立。 集模型。因此，上述4种模型是对经典多粒度粗糙 Hx∈U,有x∈f(V(x)),V,(x)≠⑦， 集模型的推广，并且也是粗糙集模型和覆盖粗糙集 V,(x)CU,则Uxc(X)=U成立。 模型的推广。 由划分定义知，f(X)为U上划分。 定理2令S=(U,A)为信息系统，C= 3 MGCRS与证据理论之间联系 {C1,C2,…,Cm}是U上一族覆盖。HXCU,x∈ 本节讨论证据理论和多粒度覆盖粗糙集之间的 U,概率指派函数m:2"→[0,1]定义如下： 联系。由于基于信任结构所导出的信任函数和似然 P(fX),X=V,(x)∈， 函数是度量多粒度覆盖粗糙集中上、下近似的基础， mg(X)=了 j=1,2,3,4 因此首先给出上述4种类型悲观多粒度覆盖粗糙集 0,其他 模型相应的信任函数和似然函数来度量集合的上、 式中：V={V(x)x∈U,j=1,2,3,4},则U上 下近似（记作V,7G=1,2,3,4)）。 相应的信任函数Bl,(X)和似然函数Pv,(X)为 下面假设P是一个平均概率分布，即HXCU, Bel,(X)=P((X))j=1,2,3,4 P(x)=X|×|U|1,I·|是集合的势。 Pw(X)=P(V,(X))j=1,2,3,4 定义14令S=(U,A)为信息系统，C= 证明j=1,2,3,4 {C,C2,…,Cm}是U上一族覆盖，x∈U,用V(x) 1)xSU,显然有U=U∑cX)。则 (i=1,2,…,mj=1,2,3,4)分别表示∩md(x)、 Umd(x)、∩MD.(x)、UMD(x),称V(x)=U ∑emg,()=∑cP()=U× {7(x)i=1,2,…,m=1,2,3,4}为x关于覆盖 (∑c(x)l)=∑xc)IxIU'= 族C的多元覆盖。 IUP×|∑c)|=lU×IU=1 HX二U,x∈U,X在上述4种悲观多粒度覆 2)下证Bel,(X)=P(V,(X)) 盖粗糙集模型中上、下近似的定义分别基于论域中 x极小描述或极大描述的交或并所得x的相关元。 Ba,W=EmW)）=APW,X)= 因为X定义于多粒度环境中，所以无论x的极小描 E听xI×IU=∑x= 述还是x的极大描述均同时与覆盖C,C2,…,Cm相 关。即j∈11,2,3,4}如果集合{(V(x)i=1, lUre(X')|×IU|- 2,…,m}中所有元均为X子集，则x属于又(X), f(X)={x∈U川V,(x)=X 如果至少存在一个V(x)与X相交不为空，则x属 .Uxcxf(X')=Urcx(E UIV;(x)=X')= {x∈U川V(x)∈X} 于V,(X)。鉴于此，Hx∈U,本文对集族 .Belg(X)=lUred(X')|×IU1=lU1× {7(x)li=1,2,…,m}取并集后得V(x),V(x) |{x∈U|V,(x)≤X)| 是论域U上一个单粒度覆盖，从而悲观多粒度覆盖 进一步，可证V(x)CX台x∈V,(X) 粗糙集转化为单粒度覆盖粗糙集。进一步，定理1 借助关系划分函数，将覆盖与划分建立联系，将覆盖 .Bel,()=I{x∈UlV,(x)CX}|×|U|- 粗糙集转化为经典粗糙集，进而在定理2中得出证 1=|U-1|,(X)|=P(,(X)) 据理论与多粒度悲观覆盖粗糙集之间联系。 同理可证，P,(X)=P(,(X))。 定理1令U为论域，C为U上覆盖，Hx∈U, 其中，j=1,2,3,4代表用相应信度函数分别刻 j∈{1,2,3,4}，定义关系划分函数f:C→0， 画4种多粒度覆盖粗糙集的近似。 f(X)={x∈UlX=V,(x)j=1,2,3,4},Hx∈U, 下面用例子进一步解释其具体含义。 则f(X)是U上的一个划分。 例1考虑一个房子的评价问题。设U= 证明j∈{1,2,3,4}，首先须证，VX, {x1,x2,…,x6}是6所房子的集合，令A={公摊面 X'U,X≠X',有fX)nf(X')≠O成立。 积，颜色，价格，环境}是属性集合，B={购买意见} 假设，3x∈U,使x∈f(X)∩f(X'),则有 是决策集合。“公摊面积”的属性值是{较大，普通，ＬＲ Ｐ ∑ｍ ｉ ＝ １ Ｃｉ (Ｘ) ＝ ～ ＬＲ Ｐ ∑ｍ ｉ ＝ １ Ｃｉ ＿ ( ～ Ｘ) 显然，如果 Ｃ 是 Ｕ 上的一族划分，上述 ４ 种多 粒度覆盖粗糙集模型将退化为经典悲观多粒度粗糙 集模型。 因此，上述 ４ 种模型是对经典多粒度粗糙 集模型的推广，并且也是粗糙集模型和覆盖粗糙集 模型的推广。 ３ ＭＧＣＲＳ 与证据理论之间联系 本节讨论证据理论和多粒度覆盖粗糙集之间的 联系。 由于基于信任结构所导出的信任函数和似然 函数是度量多粒度覆盖粗糙集中上、下近似的基础， 因此首先给出上述 ４ 种类型悲观多粒度覆盖粗糙集 模型相应的信任函数和似然函数来度量集合的上、 下近似（记作 Ñｊ ＿ ，Ñｊ (ｊ ＝ １，２，３，４) ）。 下面假设 Ｐ 是一个平均概率分布，即 ∀Ｘ ⊆ Ｕ， Ｐ（ｘ） ＝ Ｘ × Ｕ －１ ， · 是集合的势。 定义 １４ 令 Ｓ ＝ (Ｕ，Ａ) 为 信 息 系 统， Ｃ ＝ Ｃ１，Ｃ２，…，Ｃｍ { } 是Ｕ 上一族覆盖， ∀ｘ ∈Ｕ ，用 Ñｉｊ (ｘ) (ｉ ＝ １，２，…，ｍ；ｊ ＝ １，２，３，４) 分别表示 ∩ ｍｄｃｉ (ｘ) 、 ∪ ｍｄｃｉ (ｘ) 、 ∩ ＭＤｃｉ (ｘ) 、 ∪ ＭＤｃｉ (ｘ) ， 称 Ñｊ (ｘ) ＝ ∪ Ñｉｊ { (ｘ) ｉ ＝ １，２，…，ｍ；ｊ ＝ １，２，３，４} 为 ｘ 关于覆盖 族 Ｃ 的多元覆盖。 ∀Ｘ ⊆ Ｕ，ｘ ∈ Ｕ ， Ｘ 在上述 ４ 种悲观多粒度覆 盖粗糙集模型中上、下近似的定义分别基于论域中 ｘ 极小描述或极大描述的交或并所得 ｘ 的相关元。 因为 Ｘ 定义于多粒度环境中，所以无论 ｘ 的极小描 述还是 ｘ 的极大描述均同时与覆盖 Ｃ１ ，Ｃ２ ，…，Ｃｍ 相 关。 即 ∀ｊ ∈ ｛１，２，３，４｝ 如果集合 ｛（Ñｉｊ（ｘ））ｉ ＝ １， ２，…，ｍ｝ 中所有元均为 Ｘ 子集，则 ｘ 属于 Ñｊ ＿ (Ｘ) ， 如果至少存在一个 Ñｉｊ (ｘ) 与 Ｘ 相交不为空，则 ｘ 属 于 Ñｊ (Ｘ) 。 鉴 于 此， ∀ｘ ∈ Ｕ ， 本 文 对 集 族 Ñｉｊ { (ｘ) ｉ ＝ １，２，…，ｍ} 取并集后得 Ñｊ (ｘ) ， Ñｊ (ｘ) 是论域 Ｕ 上一个单粒度覆盖，从而悲观多粒度覆盖 粗糙集转化为单粒度覆盖粗糙集。 进一步，定理 １ 借助关系划分函数，将覆盖与划分建立联系，将覆盖 粗糙集转化为经典粗糙集，进而在定理 ２ 中得出证 据理论与多粒度悲观覆盖粗糙集之间联系。 定理 １ 令 Ｕ 为论域， Ｃ 为 Ｕ 上覆盖， ∀ｘ ∈Ｕ， ｊ ∈ {１，２，３，４} ， 定 义 关 系 划 分 函 数 ｆ ｊ：Ｃ → Ｕ， ｆ ｊ (Ｘ) ＝ ｘ ∈ Ｕ Ｘ ＝ Ñｊ { (ｘ) ，ｊ ＝ １，２，３，４} ，∀ｘ ∈ Ｕ， 则 ｆ ｊ (Ｘ) 是 Ｕ 上的一个划分。 证明 ∀ｊ ∈ {１，２，３，４} ， 首 先 须 证， ∀Ｘ， Ｘ′ ⊆Ｕ，Ｘ ≠ Ｘ′， 有 ｆ ｊ (Ｘ) ∩ ｆ ｊ (Ｘ′) ≠ ⌀ 成立。 假设， ∃ｘ ∈ Ｕ ，使 ｘ ∈ ｆ ｊ (Ｘ) ∩ ｆ ｊ (Ｘ′) ，则有 Ñｊ (ｘ) ＝ Ｘ ＝ Ｘ′ 成立，与 Ｘ ≠ Ｘ′ 矛盾。 ∴ ∀Ｘ，Ｘ′ ⊆ Ｕ，Ｘ ≠ Ｘ′， ｆ ｊ (Ｘ) ∩ ｆ ｊ (Ｘ′) ＝ ⌀ 成立。 其次须证，有 Ｕ ＝ ∪Ｘ⊆Ｕ ｆ ｊ (Ｘ) 成立。 ∀ｘ ∈ Ｕ ， 有 ｘ ∈ ｆ ｊ Ñｊ ( (ｘ) ) ， Ñｊ (ｘ) ≠ ⌀， Ñｊ (ｘ) ⊆Ｕ， 则 ∪Ｘ⊆Ｕ ｆ ｊ (Ｘ) ＝ Ｕ 成立。 由划分定义知， ｆ ｊ (Ｘ) 为 Ｕ 上划分。 定理 ２ 令 Ｓ ＝ (Ｕ，Ａ) 为 信 息 系 统， Ｃ ＝ Ｃ１ ，Ｃ２ ，…，Ｃｍ { } 是 Ｕ 上一族覆盖。 ∀Ｘ ⊆ Ｕ，ｘ ∈ Ｕ ，概率指派函数 ｍ：２ Ｕ → [０，１] 定义如下： ｍÑｊ （Ｘ） ＝ Ｐ（ｆ ｊ（Ｘ））， Ｘ ＝ Ñｊ (ｘ) ∈ Ñ ∗ ｊ ， ｊ ＝ １，２，３，４ ０， 其他 ì î í ï ï ïï 式中： Ñ ∗ ｊ ＝ Ñｊ { (ｘ) ｘ ∈ Ｕ，ｊ ＝ １，２，３，４} ，则 Ｕ 上 相应的信任函数 ＢｅｌÑｊ (Ｘ) 和似然函数 Ｐｌ Ñｊ (Ｘ) 为 ＢｅｌÑｊ (Ｘ) ＝ Ｐ Ñｊ ＿ ( (Ｘ) ) ，ｊ ＝ １，２，３，４ Ｐｌ Ñｊ (Ｘ) ＝ Ｐ(Ñｊ (Ｘ) ) ，ｊ ＝ １，２，３，４ 证明 ∀ｊ ＝ １，２，３，４ １） ∀Ｘ ⊆ Ｕ ，显然有 Ｕ ＝∪ ∑Ｘ⊆Ｕ ｆ(Ｘ) 。 则 ∑Ｘ⊆Ｕ ｍÑｊ (Ｘ) ＝ ∑Ｘ⊆Ｕ Ｐ ｆ( ｊ (Ｘ) ) ＝ Ｕ －１ × ∑Ｘ⊆Ｕ ｆ ( ｊ（Ｘ） ) ＝ ∑Ｘ⊆Ｕ ｆ ｊ (Ｘ) × Ｕ －１ ＝ Ｕ －１ × ∑Ｘ⊆Ｕ ｆ ｊ (Ｘ) ＝ Ｕ × Ｕ －１ ＝ １ ２）下证 ＢｅｌÑｊ (Ｘ) ＝ Ｐ Ñｊ ＿ ( (Ｘ) ) ＢｅｌÑｊ (Ｘ) ＝ ∑Ｘ′⊆Ｘ ｍÑｊ (Ｘ′) ＝ ∑Ｘ′⊆Ｘ Ｐ ｆÑｊ ( (Ｘ′) ) ＝ ∑Ｘ′⊆Ｘ ｆ ｊ (Ｘ′) × Ｕ －１ ＝ ∑Ｘ′⊆Ｘ ｆ ｊ (Ｘ′) × Ｕ －１ ＝ ∪Ｘ′⊆Ｘ ｆ ｊ (Ｘ′) × Ｕ －１ ∵ ｆ ｊ (Ｘ) ＝ ｘ ∈ Ｕ Ñｊ { (ｘ) ＝ Ｘ} ∴ ∪Ｘ′⊆Ｘ ｆ ｊ (Ｘ′) ＝∪Ｘ′⊆Ｘ ｘ ∈ Ｕ Ñｊ { (ｘ) ＝ Ｘ′} ＝ ｘ ∈ Ｕ Ñｊ { (ｘ) ∈ Ｘ} ∴ ＢｅｌÑｊ (Ｘ) ＝ ∪Ｘ′⊆Ｘ ｆ ｊ (Ｘ′) × Ｕ －１ ＝ Ｕ －１ × ｘ ∈ Ｕ Ñｊ { (ｘ) ⊆ Ｘ} 进一步，可证 Ñｊ (ｘ) ⊆ Ｘ⇔ｘ ∈ Ñｊ ＿ (Ｘ) ∴ ＢｅｌÑｊ (Ｘ) ＝ {ｘ ∈ Ｕ Ñｊ（ｘ） ⊆ Ｘ} × Ｕ － １ ＝ Ｕ －１ Ñｊ ＿ (Ｘ) ＝ Ｐ Ñｊ ＿ ( (Ｘ) ) 同理可证， Ｐｌ Ñｊ (Ｘ) ＝ Ｐ(Ñｊ (Ｘ) ) 。 其中， ｊ ＝ １，２，３，４ 代表用相应信度函数分别刻 画 ４ 种多粒度覆盖粗糙集的近似。 下面用例子进一步解释其具体含义。 例 １ 考 虑 一 个 房 子 的 评 价 问 题。 设 Ｕ ＝ ｘ１ ，ｘ２ ，…，ｘ６ { } 是 ６ 所房子的集合，令 Ａ ＝ ｛公摊面 积，颜色，价格，环境｝是属性集合， Ｂ ＝ ｛购买意见｝ 是决策集合。 “公摊面积”的属性值是｛较大，普通， ·４８４· 智 能 系 统 学 报 第 １１ 卷