第4期 车晓雅，等：基于证据理论刻画多粒度覆盖粗糙集的数值属性 ·483. 观多粒度粗糙集和悲观多粒度粗糙集。 2多粒度覆盖粗糙集(MGCRS) 定义6令S=(U,A)是信息系统，A是属性 集合，A1,A2,…,AnCA,其中m是自然数。HXC 本节选取苗夺谦等)提出的4种乐观多粒度 U,X关于A1,A2,…,Am的乐观多粒度上、下近 覆盖粗糙集模型。上述模型基于论域中极小描述或 似8,1o1为 极大描述的交或并定义。 谭安辉等[2]指出，在信息系统中，集合的悲观 2A(x)=ix eUlle]∈XV,S 多粒度近似可以由信度函数刻画，但是集合的乐观 多粒度近似一般不具备这种特性。因而本文首先基 XV…V[x]aSx} 于苗夺谦等[)提出的4种乐观多粒度覆盖粗糙集 豆m-豆4(-刘 模型定义悲观多粒度覆盖粗糙集模型。 对于给定的近似空间〈U,C),Hx∈U,x的 式中~X=U-X。 极小描述包含了近似空间中与x相关的核心对象， 定义7令S=(U,A)是信息系统，A是属性 当讨论近似空间〈U,C〉中集合近似的问题时，极小 集合，A1,A2,…,AmCA,其中m是自然数。HXC 描述可以提供关于x简单且关键的概括。 U,X关于A1,A2,…,A的悲观多粒度上、下近 定义10令〈U,C>为多粒度覆盖近似空间， 似[8,1o1为 C1,C2,…,Cm∈C,其中m是自然数。VXCU,其 A)=tx∈Ul∈XN[S 关于C1,C2,…,Cm的第一型上、下近似定义如下： f=1 FR吃sX)={xeU川nmd,(x)GXA XA…A[x]an∈X} nmdc(x)GX∧·∧nmde.(x)CX)} 三4W= (- FR(X)=-FRX) i1 定义11令〈U,C>为多粒度覆盖近似空间， 式中~X=U-X。 C1,C2,…,Cm∈C,其中m是自然数。XCU,其 2.4证据理论相关概念 关于C,C2,…,Cm的第二型上、下近似定义如下： 定义8令U为论域，2”是U的全体子集，集 SR(X)={xE UlU mdc,(x)XA 函数m:2”→[0,1】称为概率指派函数2】，即mass Umde(x)CXA…∧Umde(x)CX) 函数，如果 1)m(0)=0: SR(X)=-SR(-X) 2)∑cm0=1。 x的极大描述包含近似空间中所有与x相关的 对象，当讨论近似空间〈U,C)中集合近似的问题 若m()≠0，则称X为m的焦元。 时，极大描述可以提供一个详细且综合的对于x的 定义9令0为论域，m:2“→[0,1]是一个 概括。 基本概率指派函数。集函数Bl:2→[0,1]称为 定义12令〈U,C>为多粒度覆盖近似空间， U上的信任函数，如果Bl(X)=∑rcm(K'), C1,C2,…,Cm∈C,其中m是自然数。HXCU,其 HXC2“。集函数P:2”→[0,1]称为U上的似 关于C1,C2,…,Cm的第三型上、下近似定义如下： 然函数1，如果P(X)=∑m(X'),HX二2。 TR(X)=E UIn MDG,()SXA 基于相同的概率指派函数，信任函数和似然函 O MDc,()X A..An MDc.(x)X) 数是对偶的，即Bl(X)=~P(~X),其中~X= TR吃GW)=~TR2:6(~X) U-X。 定义13令〈U,C)>为多粒度覆盖近似空间， 信任函数满足下列性质： C1,C2,…,Cm∈C,其中m是自然数。HXCU,其 1)Bel(☑)=0： 中m是自然数。VXCU,其关于C,C2,…,Cm的 2)Bel(U)=1: 第4型上、下近似定义如下： 3）Bel(Ux)≥ ∑can（ LR吃(W)={x∈MDe()GXA l)1J1xBl(neX)X1,X2,…,XmCU。 UMD,(x)X A...AU MDc.(X)观多粒度粗糙集和悲观多粒度粗糙集。 定义 ６ 令 Ｓ ＝ (Ｕ，Ａ) 是信息系统， Ａ 是属性 集合， Ａ１ ，Ａ２ ，…，Ａｍ ⊆ Ａ ，其中 ｍ 是自然数。 ∀Ｘ ⊆ Ｕ ， Ｘ 关于 Ａ１ ，Ａ２ ，…，Ａｍ 的乐观多 粒 度 上、 下 近 似［８，１０］为 ∑ ｍ ｉ ＝ １ Ａ Ｏ ｉ （Ｘ） ＝ ｘ ∈ Ｕ [ｘ] Ａ１ ⊆ Ｘ ∨ [ｘ] { Ａ２ ⊆ Ｘ ∨ … ∨ [ｘ] Ａｍ ⊆ Ｘ} ∑ ｍ ｉ ＝ １ Ａ Ｏ ｉ (Ｘ) ＝ ～ ∑ ｍ ｉ ＝ １ Ａ Ｏ ｉ ( ～ Ｘ) 式中 ～ Ｘ ＝ Ｕ － Ｘ 。 定义 ７ 令 Ｓ ＝ (Ｕ，Ａ) 是信息系统， Ａ 是属性 集合， Ａ１ ，Ａ２ ，…，Ａｍ ⊆ Ａ ，其中 ｍ 是自然数。 ∀Ｘ ⊆ Ｕ ， Ｘ 关于 Ａ１ ，Ａ２ ，…，Ａｍ 的悲观多 粒 度 上、 下 近 似［８，１０］为 ∑ ｍ ｉ ＝ １ Ａｉ Ｐ (Ｘ) ＝ ｘ ∈ Ｕ [ｘ] Ａ１ ⊆ Ｘ ∧ [ｘ] { Ａ２ ⊆ Ｘ ∧ … ∧ [ｘ] Ａｍ ⊆ Ｘ} ∑ ｍ ｉ ＝ １ Ａ Ｐ ｉ (Ｘ) ＝ ～ ∑ ｍ ｉ ＝ １ Ａ Ｐ ｉ ( ～ Ｘ) 式中 ～ Ｘ ＝ Ｕ － Ｘ 。 ２．４ 证据理论相关概念 定义 ８ 令 Ｕ 为论域， ２ Ｕ 是 Ｕ 的全体子集，集 函数 ｍ ：２ Ｕ → [０，１] 称为概率指派函数［２２］ ，即 ｍａｓｓ 函数，如果 １） ｍ(⌀) ＝ ０； ２） ∑Ｘ⊆Ｕ ｍ(Ｘ) ＝ １。 若 ｍ(Ｘ) ≠ ０，则称 Ｘ 为 ｍ 的焦元。 定义 ９ 令 Ｕ 为论域， ｍ ：２ Ｕ → [０，１] 是一个 基本概率指派函数。 集函数 Ｂｅｌ：２ Ｕ → [０，１] 称为 Ｕ 上的信任函数［１９］ ，如果 Ｂｅｌ（Ｘ） ＝ ∑Ｘ′⊆Ｘ ｍ(Ｘ′) ， ∀ Ｘ ⊆２ Ｕ 。 集函数 Ｐｌ：２ Ｕ → [０，１] 称为 Ｕ 上的似 然函数［１９］ ，如果 Ｐｌ（Ｘ） ＝ Ｘ′∩∑Ｘ≠⌀ ｍ(Ｘ′) ，∀Ｘ ⊆ ２ Ｕ 。 基于相同的概率指派函数，信任函数和似然函 数是对偶的，即 Ｂｅｌ(Ｘ) ＝ ～ Ｐｌ ( ～ Ｘ) ，其中 ～ Ｘ ＝ Ｕ －Ｘ 。 信任函数满足下列性质： １） Ｂｅｌ(⌀) ＝ ０； ２） Ｂｅｌ(Ｕ) ＝ １； ３ ） Ｂｅｌ ∪ｍ ｉ ＝ １Ｘｉ ( ) ≥ ∑Ｊ⊂{１，２，…，Ｍ} （ － １） Ｊ ＋１× Ｂｅｌ（∩ｉ∈ＪＸｉ） ∀Ｘ１ ，Ｘ２ ，…，Ｘｍ ⊆ Ｕ。 ２ 多粒度覆盖粗糙集（ＭＧＣＲＳ） 本节选取苗夺谦等［１１］ 提出的 ４ 种乐观多粒度 覆盖粗糙集模型。 上述模型基于论域中极小描述或 极大描述的交或并定义。 谭安辉等［２２］指出，在信息系统中，集合的悲观 多粒度近似可以由信度函数刻画，但是集合的乐观 多粒度近似一般不具备这种特性。 因而本文首先基 于苗夺谦等［１１］提出的 ４ 种乐观多粒度覆盖粗糙集 模型定义悲观多粒度覆盖粗糙集模型。 对于给定的近似空间 􀎮Ｕ，Ｃ􀎯 ， ∀ｘ ∈ Ｕ ， ｘ 的 极小描述包含了近似空间中与 ｘ 相关的核心对象， 当讨论近似空间 􀎮Ｕ，Ｃ􀎯 中集合近似的问题时，极小 描述可以提供关于 ｘ 简单且关键的概括。 定义 １０ 令 􀎮Ｕ，Ｃ􀎯 为多粒度覆盖近似空间， Ｃ１ ，Ｃ２ ，…，Ｃｍ ∈ Ｃ ，其中 ｍ 是自然数。 ∀Ｘ ⊆ Ｕ ，其 关于 Ｃ１ ，Ｃ２ ，…，Ｃｍ 的第一型上、下近似定义如下： ＦＲ Ｐ ∑ｍ ｉ ＝ １ Ｃｉ ＿ (Ｘ) ＝ ｘ ∈ Ｕ ∩ ｍｄＣ１ { (ｘ) ⊆ Ｘ ∧ ∩ ｍｄＣ２ (ｘ) ⊆ Ｘ ∧ … ∧∩ ｍｄＣｍ (ｘ) ⊆ Ｘ} ＦＲ Ｐ ∑ｍ ｉ ＝ １ Ｃｉ (Ｘ) ＝ ～ ＦＲ Ｐ ∑ｍ ｉ ＝ １ Ｃｉ ＿ ( ～ Ｘ) 定义 １１ 令􀎮 Ｕ，Ｃ 􀎯为多粒度覆盖近似空间， Ｃ１ ，Ｃ２ ，…，Ｃｍ ∈ Ｃ ，其中 ｍ 是自然数。 ∀Ｘ ⊆ Ｕ ，其 关于 Ｃ１ ，Ｃ２ ，…，Ｃｍ 的第二型上、下近似定义如下： ＳＲ Ｐ ∑ｍ ｉ ＝ １ Ｃｉ ＿ (Ｘ) ＝ ｘ ∈ Ｕ ∪ ｍｄＣ１ { (ｘ) ⊆ Ｘ ∧ ∪ ｍｄＣ２ (ｘ) ⊆ Ｘ ∧ … ∧∪ ｍｄＣｍ (ｘ) ⊆ Ｘ} ＳＲ Ｐ ∑ｍ ｉ ＝ １ Ｃｉ (Ｘ) ＝ ～ ＳＲ Ｐ ∑ｍ ｉ ＝ １ Ｃｉ ＿ ( ～ Ｘ) ｘ 的极大描述包含近似空间中所有与 ｘ 相关的 对象，当讨论近似空间 􀎮Ｕ，Ｃ􀎯 中集合近似的问题 时，极大描述可以提供一个详细且综合的对于 ｘ 的 概括。 定义 １２ 令 􀎮Ｕ，Ｃ􀎯 为多粒度覆盖近似空间， Ｃ１ ，Ｃ２ ，…，Ｃｍ ∈ Ｃ ，其中 ｍ 是自然数。 ∀Ｘ ⊆ Ｕ ，其 关于 Ｃ１ ，Ｃ２ ，…，Ｃｍ 的第三型上、下近似定义如下： ＴＲ Ｐ ∑ｍ ｉ ＝ １ Ｃｉ ＿ (Ｘ) ＝ ｘ ∈ Ｕ ∩ ＭＤＣ１ { (ｘ) ⊆ Ｘ ∧ ∩ ＭＤＣ２ (ｘ) ⊆ Ｘ ∧ … ∧∩ ＭＤＣｍ (ｘ) ⊆ Ｘ} ＴＲ Ｐ ∑ｍ ｉ ＝ １ Ｃｉ (Ｘ) ＝ ～ ＴＲ Ｐ ∑ｍ ｉ ＝ １ Ｃｉ ＿ ( ～ Ｘ) 定义 １３ 令 􀎮Ｕ，Ｃ􀎯 为多粒度覆盖近似空间， Ｃ１ ，Ｃ２ ，…，Ｃｍ ∈Ｃ ，其中 ｍ 是自然数。 ∀Ｘ⊆ Ｕ ，，其 中 ｍ 是自然数。 ∀Ｘ ⊆ Ｕ ，其关于 Ｃ１ ，Ｃ２ ，…，Ｃｍ 的 第 ４ 型上、下近似定义如下： ＬＲ Ｐ ∑ｍ ｉ ＝ １ Ｃｉ ＿ (Ｘ) ＝ ｘ ∈ Ｕ ∪ ＭＤＣ１ { (ｘ) ⊆ Ｘ ∧ ∪ ＭＤＣ２ (ｘ) ⊆ Ｘ ∧ … ∧∪ ＭＤＣｍ (ｘ) ⊆ Ｘ} 第 ４ 期 车晓雅，等：基于证据理论刻画多粒度覆盖粗糙集的数值属性 ·４８３·