.482 智能系统学报 第11卷 典粗糙集中的划分推广成更一般的覆盖，增强了其 分之间的关系，进而建立了多粒度覆盖粗糙集和证 处理数据的能力[」 据理论之间联系。 从粒计算的角度来看，Pawlak粗糙集及推广形 1相关概念 式都是基于单一二元关系，均可被称做单粒度粗糙 集。然而，在许多实际应用中，需要由多个二元关系 1.1 Pawlak粗糙集相关概念 诱导出的多粒度结构对目标概念进行刻画。为此， 定义1令S=(U,CUD,V.)是信息系 钱宇华等[⑧，0提出了基于全域中多个等价关系的经 统，其中U={1,x2x3,…,x}是非空有限对象 典多粒度粗糙集模型。苗夺谦等)在覆盖近似空 集，称为论域：C是条件属性集，D是决策属性集， 间中提出4种乐观多粒度覆盖粗糙集模型，其中集 V=UV。,Vn是属性a的属性值，f:U×CUD→V 合的第一、二型近似分别基于论域中对象极小描述 是一个信息函数，它指定U中每一个对象的属性 的交和并，集合的第三、四型近似分别基于论域中对 值，即a∈A,x∈U,fx,a)∈V。。通常用S= 象极大描述的交和并。 (U,A)代替S=(U,CUD,V.)。 另一方面，Dempster--Shafer(DS)证据理论产生 HBCC决定一个二元不可辨识关系)R。,定 自20世纪60年代。Dempster!)提出了集值映射的 义为 概念，并定义了上、下概率。随后，Shafer!用信度 Rg={(x,y）∈U×U|Ha∈B,f(x,a)=fy,a)} 函数对上、下概率重新进行诠释，创立“证据的数学 显然，R是集合U上的等价关系，对于BCC, 理论”。Dempster还定义了著名的Dempster证据组 关系RB产生U的一个划分U/Rg={[x]Bx∈U}, 合规则，该理论中的基本概念是信度函数，包括信任 即[x]B={y∈Ul(x,y)∈Rg}。 函数和似然函数，并以此来度量知识的不确定性。 定义2令S=(U,R)为近似空间，R是U上 与粗糙集理论相类似，证据理论也是一种处理不确 定性的有力工具16。许多专家对粗糙集和证据 的等价关系，HXCU,称R(X)和R(X)为X关于 理论之间的关系进行了研究和推广。姚一豫[)指 R的上、下近似)，如果 出可以用信任函数和似然函数对粗糙集中的上、下 R(X)={x∈U川[x]RCU) 近似算子进行解读：吴伟志等[16]将信任结构与近似 R(X)={x∈Ul[x]R∩U≠O} 空间相结合，从证据理论的角度研究Pawlak粗糙集 若R(X)≠R(X),称X为粗糙集山，否则称X 的知识约简：陈德刚等1)在统一框架下对若干覆盖 为可定义集四。 近似算子进行分类，基于粒和证据理论对这些覆盖 1.2覆盖粗糙集相关概念 粗糙近似算子进行度量，并且用信任函数和似然函 定义3令U为论域，C是U的一族子集。如 数对邻域覆盖粗糙集中上、下近似算子进行了度量， 果⑦C且UC=,则称C是U的一个覆盖[2)； 进而建立了上述函数与邻域信息系统属性约简之间 称序对(U,C)是覆盖近似空间2】。 的关系[ 定义4令(U,C)为覆盖近似空间，其中C= 将证据理论与多粒度粗糙集模型相结合是目前 的研究热点之一[202，谭安辉2基于证据理论刻 {C1,C2,…,C}。HXSU,称C(X)和C(X)为X 画了不完备信息系统中多粒度粗糙集的数值属性， 关于C的上、下近似2]，如果 指出只有悲观多粒度粗糙集的数值属性可以由信任 C(X)=U{C:CX,i∈{1,2，…，p}} 结构刻画，并构建了一种多粒度粗糙集的属性约简 C(X)=U{C:∩X≠☑，i∈{1,2，…，p}} 算法：林国平1)结合证据理论和多粒度粗糙集，提 定义5令(U,C)为覆盖近似空间，Hx∈U, 出一种新的融合多源信息的方法。然而，上述研究 集合mdc(x)和MDc(x)分别称x关于C的极小描 都没有考虑过如何构建多粒度覆盖粗糙集的信任结 述和极大描述四，如果 构以及如何用证据理论刻画多粒度覆盖粗糙集的数 mdc(x)={K∈Clx∈K∧(HS∈CAx∈S∧ 值属性。基于上述启发，本文首先在苗夺谦等提 SCK→K=S)} 出的4种乐观多粒度覆盖粗糙集模型的基础上定义 MDc(x)={K∈Clx∈KA(HS∈CAx∈SA 4种悲观多粒度覆盖粗糙集模型，然后基于证据理 KCS→K=S)} 论给出多粒度覆盖粗糙集的信任结构。通过集合的 1.3多粒度粗糙集相关概念 交运算和关系划分函数建立多粒度覆盖与单粒度划 下面简要给出多粒度粗糙集的两种模型，即乐典粗糙集中的划分推广成更一般的覆盖，增强了其 处理数据的能力［７，９］ 。 从粒计算的角度来看，Ｐａｗｌａｋ 粗糙集及推广形 式都是基于单一二元关系，均可被称做单粒度粗糙 集。 然而，在许多实际应用中，需要由多个二元关系 诱导出的多粒度结构对目标概念进行刻画。 为此， 钱宇华等［８，１０］提出了基于全域中多个等价关系的经 典多粒度粗糙集模型。 苗夺谦等［１１］ 在覆盖近似空 间中提出 ４ 种乐观多粒度覆盖粗糙集模型，其中集 合的第一、二型近似分别基于论域中对象极小描述 的交和并，集合的第三、四型近似分别基于论域中对 象极大描述的交和并。 另一方面，Ｄｅｍｐｓｔｅｒ⁃Ｓｈａｆｅｒ（ＤＳ） 证据理论产生 自 ２０ 世纪 ６０ 年代。 Ｄｅｍｐｓｔｅｒ ［１２］提出了集值映射的 概念，并定义了上、下概率。 随后， Ｓｈａｆｅｒ ［１３］ 用信度 函数对上、下概率重新进行诠释， 创立“证据的数学 理论”。 Ｄｅｍｐｓｔｅｒ 还定义了著名的 Ｄｅｍｐｓｔｅｒ 证据组 合规则，该理论中的基本概念是信度函数，包括信任 函数和似然函数，并以此来度量知识的不确定性。 与粗糙集理论相类似，证据理论也是一种处理不确 定性的有力工具［１４－１６］ 。 许多专家对粗糙集和证据 理论之间的关系进行了研究和推广。 姚一豫［１７］ 指 出可以用信任函数和似然函数对粗糙集中的上、下 近似算子进行解读；吴伟志等［１６］ 将信任结构与近似 空间相结合，从证据理论的角度研究 Ｐａｗｌａｋ 粗糙集 的知识约简；陈德刚等［１８］在统一框架下对若干覆盖 近似算子进行分类，基于粒和证据理论对这些覆盖 粗糙近似算子进行度量，并且用信任函数和似然函 数对邻域覆盖粗糙集中上、下近似算子进行了度量， 进而建立了上述函数与邻域信息系统属性约简之间 的关系［１９］ 。 将证据理论与多粒度粗糙集模型相结合是目前 的研究热点之一［２０－２１］ ，谭安辉［２２］ 基于证据理论刻 画了不完备信息系统中多粒度粗糙集的数值属性， 指出只有悲观多粒度粗糙集的数值属性可以由信任 结构刻画，并构建了一种多粒度粗糙集的属性约简 算法；林国平［１４］ 结合证据理论和多粒度粗糙集，提 出一种新的融合多源信息的方法。 然而，上述研究 都没有考虑过如何构建多粒度覆盖粗糙集的信任结 构以及如何用证据理论刻画多粒度覆盖粗糙集的数 值属性。 基于上述启发，本文首先在苗夺谦等［１１］ 提 出的 ４ 种乐观多粒度覆盖粗糙集模型的基础上定义 ４ 种悲观多粒度覆盖粗糙集模型，然后基于证据理 论给出多粒度覆盖粗糙集的信任结构。 通过集合的 交运算和关系划分函数建立多粒度覆盖与单粒度划 分之间的关系，进而建立了多粒度覆盖粗糙集和证 据理论之间联系。 １ 相关概念 １．１ Ｐａｗｌａｋ 粗糙集相关概念 定义 １ 令 Ｓ ＝ (Ｕ，Ｃ ∪ Ｄ，Ｖａ ，ｆ) 是信息系 统［１］ ，其中 Ｕ ＝ ｘ１ ，ｘ２ ，ｘ３ ，…，ｘｎ { } 是非空有限对象 集，称为论域； Ｃ 是条件属性集， Ｄ 是决策属性集， Ｖ ＝ ∪ａ∈Ａ Ｖａ ， Ｖａ 是属性 ａ 的属性值， ｆ：Ｕ × Ｃ ∪ Ｄ → Ｖ 是一个信息函数，它指定 Ｕ 中每一个对象的属性 值，即 ∀ａ ∈ Ａ， ｘ ∈ Ｕ，ｆ(ｘ，ａ) ∈ Ｖａ 。 通常用 Ｓ ＝ (Ｕ，Ａ) 代替 Ｓ ＝ (Ｕ，Ｃ ∪ Ｄ，Ｖａ ，ｆ) 。 ∀Ｂ ⊆ Ｃ 决定一个二元不可辨识关系［１］ＲＢ ，定 义为 ＲＢ ＝ { (ｘ，ｙ) ∈ Ｕ × Ｕ ∀ａ ∈ Ｂ，ｆ(ｘ，ａ) ＝ ｆ(ｙ，ａ) } 显然， ＲＢ 是集合 Ｕ 上的等价关系，对于 Ｂ ⊆Ｃ ， 关系 ＲＢ 产生 Ｕ 的一个划分 Ｕ／ ＲＢ ＝ [ｘ] Ｂ { ｘ ∈ Ｕ} ， 即 [ｘ] Ｂ ＝ ｙ ∈ Ｕ （ｘ，ｙ） ∈ ＲＢ { } 。 定义 ２ 令 Ｓ ＝ (Ｕ，Ｒ) 为近似空间， Ｒ 是 Ｕ 上 的等价关系， ∀Ｘ ⊆ Ｕ ，称 Ｒ＿ （Ｘ） 和 Ｒ － (Ｘ) 为 Ｘ 关于 Ｒ 的上、下近似［１］ ，如果 Ｒ＿ (Ｘ) ＝ ｘ ∈ Ｕ [ｘ] { Ｒ ⊆ Ｕ} Ｒ － (Ｘ) ＝ ｘ ∈ Ｕ [ｘ] { Ｒ ∩ Ｕ ≠ ⌀} 若 Ｒ＿ (Ｘ) ≠ Ｒ － (Ｘ) ，称 Ｘ 为粗糙集［１］ ，否则称 Ｘ 为可定义集［１］ 。 １．２ 覆盖粗糙集相关概念 定义 ３ 令 Ｕ 为论域， Ｃ 是 Ｕ 的一族子集。 如 果 ⌀ ∉ Ｃ 且 ∪ Ｃ ＝ Ｕ ，则称 Ｃ 是 Ｕ 的一个覆盖［２３］ ； 称序对 (Ｕ，Ｃ) 是覆盖近似空间［２３］ 。 定义 ４ 令 (Ｕ，Ｃ) 为覆盖近似空间，其中 Ｃ ＝ Ｃ１ ，Ｃ２ ，…，Ｃｐ { } 。 ∀Ｘ ⊆ Ｕ ，称 Ｃ＿ (Ｘ) 和 Ｃ － (Ｘ) 为 Ｘ 关于 Ｃ 的上、下近似［２３］ ，如果 Ｃ＿ (Ｘ) ＝∪ {Ｃｉ ⊆ Ｘ，ｉ ∈ {１，２，…，ｐ} } Ｃ － (Ｘ) ＝∪ {Ｃｉ ∩ Ｘ ≠ ⌀，ｉ ∈ {１，２，…，ｐ} } 定义 ５ 令 (Ｕ，Ｃ) 为覆盖近似空间， ∀ｘ ∈ Ｕ， 集合 ｍｄＣ (ｘ) 和 ＭＤＣ (ｘ) 分别称 ｘ 关于 Ｃ 的极小描 述和极大描述［１１］ ，如果 ｍｄＣ (ｘ) ＝ {Ｋ ∈ Ｃ ｘ ∈ Ｋ ∧ (∀Ｓ ∈ Ｃ ∧ ｘ ∈ Ｓ ∧ Ｓ ⊆ Ｋ⇒Ｋ ＝ Ｓ) } ＭＤＣ (ｘ) ＝ {Ｋ ∈ Ｃ ｘ ∈ Ｋ ∧ (∀Ｓ ∈ Ｃ ∧ ｘ ∈ Ｓ ∧ Ｋ ⊆ Ｓ⇒Ｋ ＝ Ｓ) } １．３ 多粒度粗糙集相关概念 下面简要给出多粒度粗糙集的两种模型，即乐 ·４８２· 智 能 系 统 学 报 第 １１ 卷